% Created 2025-01-22 周三 19:41
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\author{周计明}
\date{2023年4月}
\title{机械工程控制基础（双语）}
\institute[西工大]{西北工业大学}
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\hypersetup{
 pdfauthor={周计明},
 pdftitle={机械工程控制基础（双语）},
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 pdfcreator={Emacs 27.2 (Org mode 9.4.4)}, 
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\begin{document}

\maketitle
\begin{frame}{Outline}
\tableofcontents
\end{frame}


\section{Introduction to Control Systems}
\label{sec:org1a1838c}

\begin{frame}[label={sec:orgc35abd6}]{Course Information}
\begin{columns}
\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{itemize}
\item 机械工程控制基础（双语）
\item 32学时，两个学分
\item Modern Control Systems, 14rd Ed, Richard C. Dorf, Robert H. Bishop, Pearson. 2022
\item 成绩构成
\begin{itemize}
\item 平时成绩 10 \% ： 随机课堂小测验、签到、作业
\item 实验成绩 10 \%
\item 期末成绩 80 \% ： 填空、选择、分析、计算
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{column}

\begin{column}{0.4\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=1,scale=0.25]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\note{本门课程机械工程控制基础是双语课，32学时，两学分。使用的教材是 Modern Control System, 目前该教材已出版至第14版。课程成绩由三部分组成，平时成绩占10 \%，通过课堂随机测验、签到和作业完成情况来评定；实验成绩占10 \%，包括两个实操实验；期末成绩占 80\%，题型包括填空、选择、分析和计算等。}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgde62c33}]{Quote from the Preface}
\note{这本教材前言中有关教学方法的论述非常值得大家思考，作者认为，理想的教学方法是向学生提出一系列问题，并给出部分过去已有的结果。传统方法不重视向学生提出问题而是直接给出完整的答案，剥夺了学生感受刺激和兴奋的机会，因而与创造冲动无缘，同时也将人类获得科技进步的探索变成了一堆干巴巴的定理。教学的最高境界是向学生提供一些我们当前面临的、重要但尚无答案的问题，由学生自己去寻找答案。}
\begin{quote} %% :B\textsubscript{quote}:
We believe that the most important and productive approach to learning is for each of us to rediscover and recreate anew the answers and methods of the past. Thus, the ideal is to present the student with a series of problems and questions and point to some of the answers that have been obtained over the past decades. The traditional method to confront the student not with the problem but with the finished solution is to deprive the student of all excitement, to shut off the creative impulse, to reduce the adventure of humankind to a dusty heap of theorems. The issue, then, is to present some of the unanswered and important problems that we continue to confront, for it may be asserted that what we have truly learned and understood, we discovered ourselves.
\end{quote}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org100c4c9}]{Through and Across Parameters}
\begin{itemize}
\item She walked through (通过) the pool.
\item She walked across (跨过) the pool.
\item Through — Variables (通过型变量) that are measured with a gauge connected in \emph{series} to an element.
\item Across — Variables (跨越型变量) that are measured with a gauge connected in \emph{parallel} to an element.
\item Sensitivity
\item Examples
\end{itemize}

\note{在这本教材中，提出通过型和跨越型变量的概念。through和across的差别可以用这两个例句感受一下，前一句是指通过、穿过泳池，而后句是指从泳池的一边跨过另一边，并没有与水接触。类似的，通过型变量指需要用仪器跟被测元件串联起来测量的变量，比如电流、力、流量等，而跨越型变量是指需要用仪器跟元件并联起来测量的变量，如电压差、速度差、温度差等。这两种变量对统一电气、机械、热力和流体系统的数学表达起到了重要作用。本教材还提出了系统灵敏度概念，详细分析干扰信号、测量信号对于系统输出响应的影响。这一条十分重要！这一点国内教材通常没有涉及。教材每章还引入了循序渐进实例，将每一章的知识点穿插在实例中，突出理论联系实际。}
\end{frame}


\begin{frame}[label={sec:org7e5f253}]{Syllabus}
\begin{itemize}
\item Chapter 1 Introduction to control systems
\item Chapter 2 Mathematical models of systems
\item Chapter 4 Feedback control system characteristics
\item Chapter 5 The performance of feedback control systems
\item Chapter 6 The stability of linear feedback systems
\item Chapter 8 Frequency response methods
\item Chapter 9 Stability in frequency domain
\end{itemize}
\note{我们讲解的内容主要涉及教材的第1、2、4、5、6、8、9章，第1章是绪论，第2章是控制系统的数学模型，第4章反馈控制系统的特征，第5章反馈控制系统的性能，第6章线性反馈控制的稳定性，第8章频域响应方法，第9章频域内的稳定性，第三章状态变量模型和第七章根轨迹法以及第十章以后的内容限于学时原因，本课程不涉及。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org11f2207}]{Course Objectives（课程目标）}
\begin{itemize}
\item Control engineers have traditionally played an important role in industrial automation and space exploration. The objectives of the course are 
\begin{itemize}
\item Appreciate the \emph{value of feedback control} in various engineering and non-engineering disciplines.
\item Acquire a systematic approach in addressing and solving a problem
\begin{itemize}
\item Modeling（建模）
\item Analysis（分析）
\item Design（设计）
\item Implementation（实现）
\item Test（测试）
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{itemize}
\note{控制工程在工业自动化、太空探索领域发挥着重要作用，通过本门课程的学习，大家能体会到，工程及非工程学科中，反馈控制的重要价值。反馈概念会贯穿课程始终。掌握阐述问题及解决问题的系统方法，能够建立被研究系统的物理模型，并用数学手段进行表征和分析，进而设计出满足使用要求的控制系统模型，最后通过硬件制作实现相应的控制功能，并进行测试验证。这是我们通过本课程学习需要掌握的基本知识，分散在刚才所列的各章节中。重点掌握前两点，建模和分析，第二章侧重建模方法，其余章节侧重分析和设计。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org9982a5b}]{}
\begin{itemize}
\item Aware of techniques in analysis and design
\begin{itemize}
\item Stability (稳定判据): Routh-Hurwitz stability criterion and Nyquist stability criterion (劳斯判据和乃氏判据)
\item Performance (性能表征): Relate the second-order pole location to percent overshoot, setting time, rise time, and time to peak.
\item Limitations (分析方法的局限性) :
\item Computer-aided tools (计算机辅助分析工具，如 matlab)
\end{itemize}
\end{itemize}
\note{熟悉分析、设计中需要掌握的技巧，包括系统稳定性判据，一个是劳斯判据，另一个是乃氏判据，这是本门课程的重点更是难点。我们可以根据建立的系统模型判定出系统是否稳定，通俗点讲，就是当系统受到外界扰动后能否重新达到稳定状态。另一方面是对系统性能进行表征，判断出系统什么时候达到稳定，稳定的水平如何。当然每种分析方法也有自身的局限性。我们还要熟悉一些计算机辅助分析工具的使用，特别是matlab软件。对于现在的工科生来说，MATLAB已经成为必备神器，其重要性可能与office有得一拼，已经渗透到数值计算、机械化工、建模仿真、汽车航空、电力能源等学术研究和工业制造领域。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgb6697e1}]{Control Engineering}
\begin{itemize}
\item A multi-disciplinary course（多学科交叉课程）
\begin{itemize}
\item Feedback theory (反馈理论)
\item Linear system analysis线性系统分析
\item Network theory网络理论
\item Communication theory通信理论
\end{itemize}
\item Applicable to aeronautical, chemical, mechanical, enviromental, civil, and electrical engineering.
\item Role of control in EE curriculum（电气工程类课程中控制的角色）
\begin{itemize}
\item Electronics 电子
\item Semiconductor 半导体
\item Communication 通讯
\item Network 网络
\item Power 电力
\item Instrumentation 仪器
\end{itemize}
\end{itemize}
\note{必须强调的是，本课程是一门多学科交叉的课程，涉及反馈理论、线性系统分析理论、网络理论、通信理论等。这门课程可以应用于航天、化工、机械、环境、土建以及电气工程等领域，适用范围非常广泛。在电气工程类课程中的作用尤为突出，在电子、半导体、通讯、网络、电力、仪器仪表等方面发挥着极为重要的作用。因此，本课程的多学科性不仅反映在需要的基础理论学科广泛，而且应用领域同样广泛。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org7ea791a}]{Control System}
\begin{itemize}
\item A \emph{control system} is an interconnection of components forming a system configuration that will provide a desired system response.
\item A component or process to be controlled is representd by a block（方框）
\item The input-output relationship represents the cause-and-effect relationship （因果关系）of the process.
\item Depending on the system configuration, there are two kinds of control systems
\begin{itemize}
\item Open-loop control system 开环控制系统
\item Closed-loop control system 闭环控制系统
\end{itemize}
\end{itemize}

\begin{figure}[htbp]
\centering
\includegraphics[page=32, viewport=148 584 288 612, clip,scale=0.9]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\caption{Process to be controlled.}
\end{figure}

\note{控制系统是由不同组件相互连接形成、能实现某种预期响应输出的系统。比如体温计就代表了一个简单的控制系统。测体温前先将体温计甩至三十五度以下，然后夹在腋窝下，等五分钟后拿出来读数。由此可以看出，体温计的输出具有时间相关的特性，因此该系统是动态系统，体现出了一种因果关系。单输入、单输出系统（英文简写为SISO）可以用方框图来表示。方框来表示被控制对象或系统用，输入输出的箭头方向代表了信号或是信息在系统里的流动方向。根据系统构型的不同，有两类控制系统，分别是开环控制系统和闭环控制系统，接下来通过具体实例对这两类控制系统进行说明。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org6611fa5}]{Open-Loop Control System 开环系统}
\begin{itemize}
\item An \emph{open-loop control system} utilizes a controller or control actuator to obtain the desired system response.
\item An open-loop control system is a system without feedback.
\end{itemize}
\centering

\begin{center}
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{./shooting.png}
\end{center}

\begin{figure}[htbp]
\centering
\includegraphics[page=32, viewport=148 524 448 556, clip,scale=0.9]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\caption{Open-loop control system (without feedback).}
\end{figure}

\note{开环系统只使用了控制器或是执行元件以获得期望的系统响应，不具有反馈环节。举一个射击的例子。打靶时，枪手会瞄准靶标，启动扳机、子弹射出，最后不管子弹落在何处，总之会产生一个输出的响应。这个例子中控制系统包括的对象有，靶心位置，枪手，枪，子弹，子弹在靶子上的落点位置，对这些对象进行具体的功能说明，即可发现，瞄准的靶心位置即是控制系统的输入信号，枪手是控制器，枪是执行器，子弹是被控对象，子弹的实际落点为输出。}<1>

\note{显然，枪手扣动扳机前会依据靶心位置、现场风向、风力大小等天气情况综合评判枪的位置、握持力大小、扳机启动时机，一旦子弹射出，子弹的落点位置就不再受枪手控制，这种无反馈的控制系统被称为开环控制系统。开环控制系统的特点是误差比较大，抗干扰能力弱，或者说，为了减小误差，需要进行反复的训练，积累经验。1984年7月29日，许海峰在洛杉矶奥运会上的自选手枪项目中，以566环获得冠军，这个成绩意义非凡，它是中国奥运史上第一枚金牌。许海峰的成功离开刻苦训练、经验积累是不可能的。古时候有卖油翁的例子，卖油翁“取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓shao酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，靠的就是“唯手熟尔”。不管是射击、还是酌油，都是开环控制的例子，不是人人能为之的。}<2>
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgfc9edd4}]{Closed-Loop Control System 闭环系统}
\begin{columns}
\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{itemize}
\item A \emph{closed-loop control system} utilizes an additional measures of the actual output to compare the actual output with the desired output response.
\item The measure of the output is called the feedback signal（反馈信号）.
\end{itemize}
\end{column}

\begin{column}{0.4\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=.9\linewidth]{./pourwater.jpg}
\end{center}

\note{如何能克服开环控制系统的缺点，实现对被控对象的准确控制，我们可以构建闭环控制系统。让输出结果反馈到输入端，控制器根据输入输出的比较，调整控制策略，使输出按照预定目标进行。所以闭环系统引入额外的测量手段获得实际的输出信息，然后与期望输出进行比较，两者的差值作为新的输入信息进入到控制系统进行反馈控制以减小偏差。被测输出信息被称为反馈信号。}<1>

\note{倒茶这个动作就是个典型的闭环控制行为。水杯所处位置、水杯大小等信息作为输入信息输入人的大脑，大脑根据实际水流出的状态控制茶壶的高度、倾角、倾角变化速度等变量，使茶水稳定流出、不喷濺，直到期望的水位为止。}<2>
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org4b81221}]{Closed-Loop Control System}
\begin{itemize}
\item A \emph{feedback control system} is a control system that tends to maintain a prescribed relationship of one system variable to another by comparing functions of these variables and using the difference as a means of control.
\begin{itemize}
\item \emph{Feedback concept}: foundation for control system analysis and design
\end{itemize}
\end{itemize}

\begin{figure}[htbp]
\centering
\includegraphics[page=32, viewport=148 48 504 124, clip,scale=0.9]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\caption{Closed-loop feedback control system (with feedback).}
\end{figure}

\note{反馈控制系统是能够维持一个系统变量对另一个系统变量之间预定关系的控制系统，具体是通过比较两者之间的差值来实现的，即以偏差校正偏差。反馈的概念是整个控制系统分析与设计的基础。一个完整反馈控制系统通常是由控制器、执行器、被控对象和反馈测量元件等基本元件组成的。}
\end{frame}


\begin{frame}[label={sec:org7c1bf0b}]{Feedback amplifier 反馈放大器}
\begin{itemize}
\item Previous achievements: Lee de Forest （真空三极管发明者）
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{./KRAudio.jpg}
\end{center}

\note{下面举两个反馈控制的例子。第一个例子是反馈放大器。放大器我们都知道，就是把所接收到的微弱电磁波信号或电信号变成可以接受的水平。提到放大器，首先得从三极管说起。1906年，德福雷斯特制成第一个真空三极管（也称为电子管），但早期真空三极管真空度低，性能不稳定，研究和应用的进展缓慢。直到1912年，来自美国电话电报公司和通用电气公司的两名工程师研制出高真空三极管，才使三极管走上实用阶段。由真空管构成的放大电路即可实现信号放大功能。真空三极管也为计算机的诞生铺平了道路，在世界上第一台电子计算机ENIAC里面，电子管是其最基本的组成元件。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org794876c}]{Edwin Howard Armstrong}
\begin{columns}[t]
\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{itemize}
\item 再生电路、超外差电路、超再生电路
\item 1913年毕业于哥伦比亚大学，研究过三级管并设计反馈电路，后任该校教授。曾前往第一次世界大战的欧洲战场为美军效力。1918年在法国发明了超外差式接收机。1933年，获得了有关频率调制的发明专利权(\alert{FM})，频率调制的广播方式解决了无线电收音机的天线和噪音问题。
\end{itemize}
\end{column}
\begin{column}{0.4\columnwidth}
\centering
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{./edwart.jpg}
\end{center}
\(1890\sim 1954\) 

\note{反馈放大器发明的另一个关键人物是阿姆斯特朗。阿姆斯特朗发明了“反馈振荡器”和“再生电路”。振荡器的发明，使产生特定频率的无线电波成为可能；而再生电路，利用正反馈原理，使信号的放大能力大大加强，显著提高了接收机的性能。再生电路因其性能好、结构简单，在一战和二战时都曾广泛应用。1918年，阿姆斯特朗又提出了“超外差接收机”，这是一个具有划时代意义的发明，这使得接收机的灵敏度、选择性都大大提高，使商业无线电广播成为可能，并且直到今天，超外差原理仍然广泛应用于各类接收机中。采用正反馈可以在放大器放大倍数不变的情况下，使输出信号与不加正反馈相比时获得更大的放大效果。}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgd42f8ed}]{Feedback amplifier}
\begin{columns}
\begin{column}{0.7\columnwidth}
\begin{itemize}
\item Harold S. Black in 1921, \alert{negative feedback amplifier}
\item \emph{Objective}: Linearing, stabilizing, and improving the amplifiers
\item \emph{Approach}: Feeding systems output back to the input as a method of system control thus helping to eliminate distortion in telecommunications and to extend the frequency range of the amplifier.
\end{itemize}
\end{column}

\begin{column}{0.3\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{./ua-741.jpg}
\end{center}

\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{./voltage-transfer-curve.jpg}
\end{center}

\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{./Op-Amp.jpg}
\end{center}

\note{目前，电子管早已被体积小、能耗低的晶体管替代，并出现了由此形成的集成电路。运算放大器就是一个小的集成电路，在输出端开路情况下，输出电压与差动输入电压的关系曲线可近似用中间这幅图所示的折线来表示。折线中的水平部分称为运放的饱和区，中间部分为线性区，在此区域内输出电压与输入电压成正比，输出电压与输入电压之比称为开环增益或开环电压放大倍数。运算放大器的开环增益一般都很高，通常在十的五次方到十的七次方之间。对信号放大的同时，对噪音也进行了放大。不稳定或“啸叫”常常出现在反馈放大器的试验中。礼堂讲话中，麦克风有时会发出啸叫。早期为了解决长途电话的失真问题，贝尔实验室的Harold Black 工程师发明了负反馈放大器。}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orge28de0d}]{Negative feedback amplifier}
\begin{figure}[htbp]
\centering
\includegraphics[page=99, viewport=108 44 284 140, clip,scale=1.5]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\caption{An Inverting amplifier.}
\end{figure}

\note{将运算放大器的同相输入端接地，反向输入端加信号，则输出信号和输入信号反相，正电压变成了负电压，或是负电压变成了正电压，再将输出信号引到反相输入端，形成负反馈。根据运算放大器虚地、虚短等特性，容易得出该反馈放大器的放大倍数为R2和R1的比值。因此可通过调整两个电阻值的大小按需定制放大倍数，增大运算放大器的线性工作范围，使其工作更稳定，改善其频率特性。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orge2972ed}]{Automobile steering control system}
\begin{center}
\includegraphics[page=41, viewport=128 364 368 512, clip,scale=0.9]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\note{第二个例子比较通俗易懂，汽车转向控制系统。对于有人驾驶汽车，驾驶员按照其意愿控制汽车的行驶方向。当然汽车失控后就不能按既定路线行驶了，甚至会发生交通事故。司机控制汽车行驶是一个典型的反馈控制的实例，被控对象是汽车，司机既是控制器（人脑），也是执行器（手），还是反馈信号测量器（眼）。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgc8a8143}]{Automobile steering control system}
\begin{center}
\includegraphics[page=41, viewport=188 220 372 332, clip,scale=0.9]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\begin{figure}[htbp]
\centering
\includegraphics[page=41, viewport=104 540 456 612, clip,scale=0.9]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\caption{Automobile steering control system.}
\end{figure}

\note{汽车的实际行驶轨迹与预设道路曲线基本吻合。可以用这里显示的方框图进行控制过程表述。司机首先要设定一条期望的行驶轨迹，然后操作方向盘，控制汽车按设定路径行驶，实际的行驶轨迹又反馈给司机本人，司机根据设定路径和实际路径的差值作出下一步操控车辆的决策，进一步控制汽车，完成闭环控制。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org5cf3798}]{Other control system examples}
\begin{itemize}
\item Float level regulation 浮球水位调节
\item Temperature control (refrigerator, air-conditioner, heater) 温度控制
\item Household appliances and automation 家用电器及自动化
\item Automation and robots 自动化与机器
\item Automobile control and intelligent transportation system (ITS)
\item Entertainment 娱乐
\item Computer peripherals 计算机外设
\item Power industry 电力
\item Metallurgical industry 冶金
\item Automatic warehousing and inventory control 自动仓储与库存控制
\item Biomedical and biological control 生物与生物医学
\item Social, economic, and political 社会、经济、政治
\end{itemize}

\note{其他控制系统的例子也有很多，比如浮球水位调节器、冰箱、空调温度控制、家用电器控制等等。我这里列举了很多，就不再一一介绍了。}
\end{frame}


\begin{frame}[label={sec:org07f0671}]{Advantages of Control Systems 控制系统的优点}
\begin{columns}
\begin{column}{0.65\columnwidth}
\begin{itemize}
\item Power amplification (antenna) 功率放大
\item Remote control (robot) 遥控
\item Convenience of input form (heater) 方便输入
\item \alert{Compensation for disturbances} (compact disc) 扰动补偿
\item Sensitivity reduction (power converter) 降低敏感度（提高抗干扰能力）
\item \alert{Linearization} (microsensor) 线性化
\item Performance enhancement (communication system) 性能增强
\item Stability augmentation (fighter aircraft) 增稳
\end{itemize}
\end{column}

\begin{column}{0.35\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=.9\linewidth]{./cdplayer.jpg}
\end{center}

\note{控制系统具有很多优点，采用自动化技术不仅可以把人从繁重的体力劳动、部分脑力劳动以及恶劣、危险的工作环境中解放出来，而且能扩展人的器官功能，极大地提高劳动生产率，增强人类认识世界和改造世界的能力。这里列举了一系列具体优点，比如功率放大、遥控、方便输入、扰动补偿等，大多数都比较好理解。这里重点解释一下扰动补偿和线性化。我们以前使用 CD player 播放音乐，不会因为我们行驶在颠簸的路面上而导致音质受损，里面使用了复杂的扰动补偿控制技术。再比如古时候的指南车，不管车往哪个方向行驶，立于车上的木人始终手指初始设定的方向，使用的正是扰动补偿控制技术，其原理我们找机会进行专题介绍。}<1>
\note{关于线性化，比如计量称重的仪器，在量程范围内，能够准确衡量物体的重量，多个物体的累加重量可以通过分别测量单个物体的重量叠加获得，这是满足线性化的基本条件，即叠加原理。曹冲称象利用的就是线性系统的叠加原理。实际的物理系统并不是线性的，所有元件和系统在不同程度上均具有非线性的性质。但是对于大部分元件和系统来说，当信号或变量变化范围不大或非线性不太严重时，都可以近似地线性化。大多数控制系统可以简化为线性系统，可以将问题简化，使分析更容易。}<2>
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgd9206df}]{Brief History of Control}
\begin{columns}
\begin{column}{0.5\columnwidth}
\begin{itemize}
\item Float regulator mechanism
\begin{itemize}
\item The Greeks began engineering feedback systems around 300 BC
\item Ktesibios: water clock
\item Philon of Byzantium: oil lamp
\item Heron of Alexandria: pneumatica
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{column}

\begin{column}{0.5\columnwidth}
\begin{figure}[htbp]
\centering
\includegraphics[page=71, viewport=272 280 436 472, clip,scale=0.9]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\caption{Water clock.}
\end{figure}

\note{控制系统的历史悠久，没有人能确切知道第一个控制系统是什么时候发明的，但我们可以肯定地说，那时它一定没有被认为是一个‘控制系统’。因为控制太自然了，从抽象意义上说，任何一个可以被另一个对象或过程改变的对象或过程都可称之为控制。我们无法确定人类是何时开始有目的地改变（或控制）他所生存的环境。我刚所说的这段话是复述了，1996年 IEEE Control Systems 杂志第 3 期控制历史专辑中的一段话。一般认为，最早的控制系统是公元前300年到公元前1年古希腊人和阿拉伯人发明的水钟中的浮球调节装置，这一原理直至今天仍被广泛应用，如冲水马桶水箱阀门自动启闭即是利用浮球调节原理来实现的。}<1>
\note{图为水钟使用的浮球调节装置原理，水从漏壶中以恒定的流量注入受水壶，浮在受水壶水面上的漏箭随水面上升指示时间，流量恒定才能保证计时准确，也就是符合线性的特点。为了获得恒定的流量，必须使漏壶的水位保持恒定。当漏壶水位下降时，浮球随之下降，水自动注入漏壶，漏壶水位上升到设定高度时，浮球自动堵住入水口，漏壶水位保持在设定高度。在浮球调节装置这个设计巧妙的控制系统中，传感器、控制器、执行机构是一体的。}<2>
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org0ac2463}]{都江堰}
\begin{figure}[htbp]
\centering
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{./doujy.jpg}
\caption{秦昭王时,李冰父子主持修筑的都江堰水利工程体现系统观念和工程实践(前 300 年)。正确处理鱼嘴分水堤, 飞沙堰溢洪道, 宝瓶口引水口等主体工程的关系。}
\end{figure}
\note{秦昭王时期，也就是公元前300年，李冰父子主持修筑的都江堰水利工程体现了控制系统观念和工程实践。都江堰主体工程包括鱼嘴分水堤、飞沙堰溢洪道和宝瓶口进水口（图中三个红圈处），被控量为进入成都的水量，枯水期不能少，丰水期不能多，是个多环节控制系统，而且充满各种扰动、不确定性和时变性。}
\end{frame}



\begin{frame}[label={sec:org8721280}]{Brief History of Control}
\begin{itemize}
\item Speed control
\begin{itemize}
\item Edmund Lee: speed control of windmill
\item James Watt: flyball speed governor
\end{itemize}
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[page=35, viewport=100 404 348 612, clip,scale=0.8]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\note{人们公认的最早应用于工业领域的自动反馈控制器是1769年瓦特发明的飞球调速器（Flyball governor），用于控制蒸汽机输出轴的转速。飞球式调速器被认为是自动控制发展史上的一个里程碑。其工作原理是，轴的转速增加，带动调节器也会加速，导致飞球在离心力作用下其飞行半径增加，通过连杆机构作用使阀门关小，减少蒸汽机的进汽量，使蒸汽机输出轴的转速减小，直至达到设定转速为止。转速的大小，可通过飞球质量或飞球初始飞行半径来调节，飞球质量越大，或者初始飞行半径越大，轴的转速就越高。其实飞球式调速器并不是瓦特最先发明的。关于应用离心力控制速度的研究，科学家惠更斯和胡克都曾钻研过这个问题，并设计了利用离心力控制速度的装置。事实上在蒸汽机之前，离心力调速器已经在风车上被大量应用。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org497c4d7}]{Brief History of Control}
\begin{itemize}
\item In 1868，J.C. Maxwell published "On Governor" (调速器) and proposed concept of feedback control and stability conditions
\item In 1884，E.J. Routh (劳斯) proposed the Routh–Hurwitz stability criterion
\item In 1892，A.M. Lyapunov (李雅普诺夫) proposed the stability theory
\item In 1895，A.Hurwitz (赫尔维茨) proposed the Hurwitz stability criterion
\item In 1932，H. Nyquist (提出乃奎斯特) proposed the Nyquist stability criterion（本课程的重点）
\item In 1945，H.W. Bode (伯德) proposed the general design methodology of feedback controllers（本课程的重点）
\end{itemize}

\note{19世纪最初的70年，大量的工作围绕改进调速器展开，很多科学家采用性能更好的调速器来开展各自领域的研究工作，世界各地出现了大量调速器方面的专利。1868年 ，J.C.Maxwell的论文" On Governor"系统地分析了几类调速器并给出了稳定性条件，被认为是第一个系统地分析反馈控制系统的理论研究。1877年，E.J.Routh得到特征方程所有根都有负实部的多项式系数稳定条件 ，Adolf Hurwitz 1895 年也独立地推出了这个判据，因而并称 Routh-Hurwitz 判据。上世纪30年代以后，相继出现了乃氏稳定判据和波德图这两个重要的分析工具，它们也是本门课程的重点和难点。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org6e84f1f}]{PID 控制}
\centering
\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{./pidcontrol.png}
\end{center}
\note{19 世纪后半叶到上世纪初, 反馈控制器被大量应用，包括电压、电流与频率的调节、蒸汽发电中的锅炉控制、电机的速度控制、船与飞行器的驾驶与稳定控制，工业实践中的温度、压力与流量控制等。1911年，Elmer Sperry发明带有PID控制的船的自动驾驶仪，1922年, Nicholas Minorsky通过分析船的自动驾驶问题, 推导出了我们现在所称的PID控制器的控制器形式。PID是迄今为止应用最广泛的一种控制方法，目前95\%以上的过程控制回路和90\%以上航空航天控制回路还都是基于 PID 控制。}<1>
\note{直到1940年以前，在绝大部分场合，控制系统设计仍是一门艺术或手艺，采用的是“试错法”。虽然 PID只有三个参数，但PID调参方法已有上千种，都是经验公式，而工程界依然认为大部分PID控制回路并没有调整在好的工作状态。第二次世界大战期间，反馈控制方法被广泛用于设计研制飞机自动驾驶仪、火炮定位系统、雷达天线控制系统以及其他军用系统。这些系统的复杂性和对快速跟踪、精确控制的高性能追求，迫切要求拓展已有的控制技术。第二次世界大战结束时，经典控制技术和理论已基本建立。}<2>
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org9f19ccb}]{Classic and Modern Control Theories}
\begin{itemize}
\item In 1948，N. Wiener published ``Cybernetics'' (控制论)，a symbol of the basic formation of the classic control theory
\end{itemize}

\definecolor{grey}{RGB}{0,0,255}
\begin{block}{}
\textbf{Based on transfer function, the classical control theory mainly studies analysis and design of single-input-single-output control systems.}
\end{block}

\begin{center}
\includegraphics[width=0.85\textwidth]{./mordercontrol.png}
\end{center}

\note{1948年维纳为他的学说取名 Cybernetics就是为了向 Maxwell的 On Governor论文致敬，因为 Cybernetics和Governor的希腊文和拉丁文是同一个含义。这标志经典控制理论的基本形成；经典控制理论以传递函数为基础，主要研究单输入-单输出系统的分析和控制问题。到20世纪50年代，经典控制理论发展到相当成熟的地步，形成了相对完整的理论体系，为指导当时的控制工程实践发挥了极大的作用，构成了现代控制理论的重要基础。以经典控制理论为基础形成的现代控制理论主要包括，非线性系统理论、自适应控制理论、模糊控制、鲁棒控制、智能控制、随机控制等，主要采用状态空间法进行研究。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orge9970b8}]{Classic Control Theory}
\begin{itemize}
\item 1954年，钱学森出版了英文版《工程控制论》，首先把控制理论推广到工程技术领域。
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{./Figure1-7.png}
\end{center}

\note{1954年，钱学森出版了英文版的《工程控制轮》，首先把控制理论推广到工程技术领域。作为技术科学的控制论，对工程、生物、生命、经济、科学以及社会研究都有深刻的意义，比起相对论和量子论对社会的作用有过之而无不及。我们可以毫不含糊地说从科学理论的角度来看，二十世纪上半叶的三大伟绩是相对论、量子论和控制论，也许可以称他们为三项科学革命，是人类认识客观世界的三大飞跃。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org1602dde}]{Modern Products of Control Systems}
\begin{itemize}
\item Sputnik, Apollo Program and Space Shuttle
\end{itemize}
\vspace{8pt}
\centering
\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{./Figure1-8.png}
\end{center}

\note{这三张图代表了三个历史性事件。一是苏联在1957年10月4日成功发射了世界第一颗人造地球卫星``斯普特尼克1号''；二是1969年7月20日美国阿波罗11号将三名宇航员送到月球，宇航员阿姆斯特朗迈出了人类在月球上的第一步，三是美国在1981年4月12日首次发射了世界第一架航天飞机哥伦比亚号。这些都是控制系统应用的杰出代表。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org71209bf}]{Modern Products of Control Systems}
\begin{itemize}
\item Mars rover: Spirit(勇气号), Opportunity(机遇号), Curiosity(好奇号), Perseverance(毅力号), Zhu Rong(祝融号)
\end{itemize}
\vspace{8pt}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{./Figure1-9.png}
\end{center}

\note{此外，世界各国总共向火星发射了30多个探测器，但只有不到三分之一成功抵达了火星。``机遇号''和``勇气号''火星车是火星漫步者计划中的``双胞胎''探测器。功勋卓著的``勇气号''2004年1月4日在火星着陆，最初的设计寿命只有短短的90天，然而勇气号一直工作到了2009年6月的某一天，从此``勇气号''转化为了一个静止观测平台，并顽强的继续工作到了2011年5月25号。北京时间2021年 5 月 15 日，中国首辆火星车 “祝融” 号与着陆器成功登陆火星，寿命约相当于92个地球日。祝融在我国传统神话中是火神，在史书里记载祝融是一个负责管火的官职。我国成为继苏联、美国后第三个真正“踏上”（成功着陆）火星的国家，也是首次火星探测即实现着陆的国家。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org12687d8}]{Modern Products of Control Systems}
\begin{itemize}
\item James Webb Space Telescope
\end{itemize}
\vspace{8pt}
\centering
\begin{center}
\includegraphics[width=0.65\textwidth]{./Figure1-10.jpg}
\end{center}

\note{韦伯太空望远镜是美国航空航天局、欧洲航天局和加拿大航空航天局联合研发的红外线观测用太空望远镜，为哈勃空间望远镜的继任者，号称鸽王，耗资100亿美元。韦伯望远镜本应在2007年发射，初始预算5亿美元。质量为6.2吨，约为哈勃空间望远镜（11吨）的一半。主反射镜由铍制成，口径达到6.5米，面积为哈勃太空望远镜的5倍以上。它能在近红外波段工作、在接近绝对零度的环境中运行。2021年12月25日在法属圭亚那库鲁基地成功发射升空。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org07e60db}]{Modern Products of Control Systems}
\begin{itemize}
\item The jewellery in the crown of industry 工业皇冠上的明珠
\end{itemize}
\vspace{8pt}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{./Figure1-11.jpg}
\end{center}
\note{航空发动机因其技术跨度广、研发周期长，资金需求大，而被称为现代工业“皇冠上的明珠”。航空发动机要在高温高压下工作，同时保持高转速和持久的高可靠性，从而成为人类历史上最复杂最精密的工业产品。发动机健康管理（EHM）技术是在传统发动机状态监视、故障诊断的基础上，综合利用信息融合技术、人工智能技术研究产生的一种新发动机管理方案，是航空发动机故障诊断技术的必然发展趋势之一，其中发动机振动监测及故障诊断是EHM技术的重要组成内容。马航MH370失联后，美国航空调查人员和国家安全人员认为MH370航班发回的发动机数据显示其至少工作了5小时。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgbd35f51}]{Modern Products of Control Systems}
\begin{itemize}
\item CNC machines
\end{itemize}
\vspace{8pt}
\centering
\begin{center}
\includegraphics[width=0.65\textwidth]{./Figure1-12.jpg}
\end{center}
\note{数控机床很好地解决了复杂、精密、小批量、多品种的零件加工问题，是一种柔性、高效能的自动化机床。数控机床作为高端制造的“工业母机”，是高端制造业的的基础，生产高端设备的高端设备。CNC系统是一种位置控制系统，它是根据输入数据插补出理想的运动轨迹，然后输出到执行部件加工出所需要的零件。因此，数控装置主要由输入、处理和输出三个基本部分构成。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org5da56a1}]{The Future Evolution of Control Systems}
\begin{itemize}
\item Goal of control systems: provides extensive flexibility and a high level of automony.
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[page=57, viewport=108 404 416 616, clip,scale=0.7]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\note{刚性自动化（Fixed Automation）主要设计用于反复高效地生产单个产品。过去，往往只产生一种或有限种类的产品，而且产量很大、变化很小，因此这种模式在生产车间运行良好。随后出现了下一代自动化——可编程自动化（Programmable Automation），旨在实现安装实施后允许某种程度的可配置性。这包括编写新的代码来执行新运营的能力，当然这需要手动操作机械装置来进行转换。更现代的方法是柔性自动化（Flexible Automation），设备操作人员按下按钮，就可以利用配方控制和机械自动化无缝地将一个进程转换到另一个。这使制造商能够在同一台机器上生产更多的产品。一旦刚性自动化系统中的任何产品出现变化，该系统就变得极低效。相反，在柔性自动化系统中，随着产品组合的增加，一旦制定了合适的组合，就可以获得最优的解决方案，因此柔性自动化则变得更具成本效益。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgabeb647}]{Summary}
\begin{itemize}
\item A control system
\begin{itemize}
\item Consisting of interconnected components
\item Designed to achieve a desired purpose
\end{itemize}
\item Control systems can be open-loop or closed-loop
\item The use of feedback (conceptually or pragramatically) is important
\item Control system design is essentially an iterative process
\item Knowledge of feedback and control is essential in many engineering disciplines
\end{itemize}
\note{总结一下这一章的内容，控制系统是由相互联系的构件组成，以获得期望的目标输出，控制系统可以是开环，也可以是闭环。控制系统中反馈的概念非常重要，而且控制系统的设计通常需要迭代进行。反馈和控制的相关知识在许多工程学科中都很重要，作为工科学生一定要打好这方面的基础。}
\end{frame}

\section{Mathematical Models of Systems}
\label{sec:org0ee39c4}



\begin{frame}[label={sec:org7ea2f84}]{Chapter 2 Contents}
\begin{itemize}
\item Introduction
\item Differential equations of physical systems 物理系统微分方程
\item Linear approximation of physical systems 线性化
\item The Laplace transform 拉氏变换
\item The transfer function of linear systems \textcolor{blue}{传递函数}
\item Block diagram models \textcolor{blue}{方框图模型}
\item Signal-flow graph models \textcolor{blue}{信号流图}
\item Summary
\end{itemize}
\note{本章的内容涵盖物理系统的微分方程建模，系统模型的线性化，工程数学中曾经学过的拉氏变换，这三部分内容是前期学过各门课的基础，主要来自物理和高数。后面这三部分内容，传递函数、方框图模型和信号流图，是本门课程新涉及的新内容。要求大家掌握拉氏变换在定义传递函数中的作用，能够应用方框图及信号流图分析复杂系统的传递函数，深刻理解物理建模在控制系统设计分析中所起的重要作用。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org41b7094}]{Approach to Dynamics System Problems}
\begin{itemize}
\item Define the system and its components 定义系统及组件
\item Formulate the mathematical model and list the necessary assumptions 基于必要假设列数学模型
\item Write the differential equations describing the model 建立描述模型的微分方程
\item Solve the equations for the desired output variables 解方程，得到输出变量
\item Examine the solutions and the assumptions 检验假设及解的合理性
\item If necessary, reanalyze or redesign the system  再分析及再设计
\end{itemize}
\note{求解动态系统问题的方法，首先要定义系统及其构成组件，然后进行必要的简化和假设，确立系统的数学模型，通常使用微分方程对系统进行描述，接下来用数值或解析的方法求解微分方程，获得系统的期望输出变量，最后检验解及假设的合理性与准确性，如有必要，还需要进行再分析及再设计。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orge2108a8}]{Differential Equations of Physical Systems}
\begin{itemize}
\item Differential equations 微分方程
\begin{itemize}
\item Used to represent the behavior of dynamic systems 用于动态系统的行为表征
\item Obtained by utilizing the physical laws of the process 基于被控过程的物理定律建立
\end{itemize}
\item \emph{Modeling}: applicable to mechanical, electrical, fluid, and themodynamic systems 微分方程建模方法适用于力学、电学、流体及热力学系统
\item \emph{Modeling approach}:
\begin{itemize}
\item Governing equation 控制方程
\item Characteristics of the components (elements) 构成元件特点
\item Characteristics of the signals (variables)  信号（或变量）特点
\end{itemize}
\end{itemize}
\note{微分方程是研究客观世界强有力的数学工具，至今已有三百多年的发展历史。1846年勒维耶利用微分方程预见了海王星的存在及其准确位置，如今微分方程在自动控制、弹道设计、飞行稳定控制等许多领域都有应用。我们这门课里，主要应用微分方程表征动态系统的行为，通常来说，可以基于我们熟悉的物理定律建立控制系统相应的数学模型，包括力学、电学、流体及热力学等系统。建模方法可以直接应用控制方程进行描述，比如用牛顿第二定律描述物体的运动行为，也可以基于构成组件的特点综合分析，比如汽车即可视为由质量、弹簧、阻尼构成的机械系统，或者是根据输入输出系统的信号特征建立模型。这些方法将在后续各章进行介绍。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgc17c481}]{Characteristics of Variables 变量特征}
\begin{itemize}
\item The variables (signals) can either be \alert{through-variables} or \alert{across variables}
\item Through-variables 通过型变量
\begin{itemize}
\item Force 力
\item Torque 扭矩
\item Current 电流
\item Fluid volumetric flow rate 水流率
\item Heat flow rate 热流率
\end{itemize}
\item Across variables 跨越型变量
\begin{itemize}
\item Translational velocity 平移速度
\item Angular velocity 角速度
\item Voltage 电压
\item Pressure 水压
\item Temperature 温度
\end{itemize}
\end{itemize}

\note{根据变量的不同特征，可将其分为通过型变量和跨越型变量，以最熟悉的电流及电压来说明两者的区别。电流通过导体，属于连续流通的状态，因此属于通过型变量；电压一般施加在负载比如电阻的两端，经过负载后，一般都有压降，具有不连续的特点，因此属于跨越型变量。以此类推出其他通过型及跨越型的变量。两种变量既可以是原因，也可以是结果。电阻回路中，跨越型变量电压是原因，通过型变量电流是结果，在质量系统中，通过型变量力是原因，跨越型变量速度是结果，因为力是改变运动状态的原因。判断属于哪一种变量，主要看经过系统后是否连续，还是有变化。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgb81decd}]{Characteristics of Elements 元件特征}
\begin{columns}
\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{itemize}
\item Inductive storage 感性储能元件
\begin{itemize}
\item Inductance 电感
\item Translational or rotational spring 弹簧
\item Fluid inertia 流体惯量
\end{itemize}
\item Capacitive storage 容性储能元件
\begin{itemize}
\item Capacitance 电容
\item Mass 质量 （平动）
\item Moment of inertia 转动惯量
\item Fluid capacitance 流体容量
\item Thermal capacitance 热容量
\end{itemize}
\item Energy dissipators 耗能元件
\begin{itemize}
\item Resistance 电阻
\item Viscous friction 粘阻
\item Fluid resistance 流阻
\item Thermal resistance 热阻
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{column}
\begin{column}{0.4\columnwidth}
\centering
\begin{center}
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{./rlc.jpg}
\end{center}
\vspace{1cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{./msd.png}
\end{center}

\note{根据构成系统元件的特征，可分为感性储能元件，容性储能元件及耗能元件。比如我们以前学过的RLC电路，就是由电容、电感和电阻构成的电路系统，能起到滤波、振荡调频的作用。再比如，质量、弹簧、阻尼元件构成的质量弹簧阻尼系统可以用于描述很多实际应用的机械产品，如汽车。}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org8dcebd3}]{Through and Across Variables}
\begin{block}{Through- and Across-Variables}
\begin{center}
\begin{tabular}{lll}
System & Through Variable & Across Variable\\
\hline
Electrical & Current, \(i\) & Voltage, \(v\)\\
Mechanical & Force, \(F\) & Velocity, \(v\)\\
Fluid & Flow rate, \(Q\) & Pressure difference, \(P\)\\
Thermal & Heat flow rate, \(q\) & Temperature difference, \(T\)\\
\end{tabular}
\end{center}

\note{这张表列出了电学、机械、流体、热学中的通过型变量和跨越型变量，电流对应电压，力对应速度，流速对应压力，热流对应温度。这些变量要非常熟悉，后续内容中会经常涉及。}
\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org0640a93}]{Summary of Describing Differential Equations}
\begin{block}{Governing Differential Equations}
\begin{center}
\begin{tabular}{lll}
Type of Element & Pysical Element & Equation\\
\hline
 & Inductance & \(\displaystyle v=L\frac{di}{dt}\)\\
Energy storage & Capacitance & \(\displaystyle v=\frac{\int idt}{C}\)\\
 & Spring & \(\displaystyle F=K\int vdt\)\\
储能 & Mass & \(\displaystyle F=M\frac{dv}{dt}\)\\
\hline
Energy      耗 & Resistance & \(\displaystyle v=Ri\)\\
dissipators   能 & Damper & \(\displaystyle F=bv\)\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\note{这张表更为重要。反映出通过型变量与跨越型变量之间的关系。电感两端的电压与通过其电流变化速率成正比，电流变化越快，说明两端电压越高，如果电流不变化，则两端电压为零，所以电感通直流，对交流有阻抗；通过电容的电流则与电容两端电压变化速率成比，电压变化越快，通过的电流就越大，直流电不变化，所以通过电容的电流为零，即电容不能通直流。弹簧的变形力与形变量大小成正比，形变越大，弹性力也越大，储存的能量也越高。质量块通过牛顿第二定律进行描述，力是改变物体运动状态的原因，力与速度变化快慢成正比，速度变化越快，所受力越大，速度不变化，受力则为零。阻尼力的大小与运动速度成正比，运动速度越快，阻力越大。无论是受控返回地球的返回式卫星、飞船和航天飞机，还是超过寿命或因为故障不受控制再入地球的航天器，在穿越地球浓密的大气层时都会因为高速产生的巨大阻力。}
\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orge95d8df}]{Spring-Mass-Damper System 质量-弹簧-阻尼系统}
\begin{itemize}
\item For the spring-mass-damper system
\begin{itemize}
\item \(M\): mass; \(b\): friction coefficient; \(k\): sping constant
\end{itemize}
\item Utilizing Newton's second law yields
\end{itemize}
\[M \frac{d^2y(t)}{dt^2} + b\frac{dy(t)}{dt} + ky(t) = r(t)\]

\begin{center}
\includegraphics[page=84, viewport=144 48 380 192, clip,scale=0.8]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\note{接下来，我们看一下质量弹簧阻尼系统的数学模型建立方法。用 M 表示质量，b 表示阻尼，k 表示弹性常数。利用牛顿第二定律，以质量块为研究对象，假定它开始处于平衡状态，即自重与弹簧力平衡，研究质量块受到外力 r 的作用后，其位移 y 的变化规律。离开平衡点后，质量块将受到弹簧力、摩擦力及驱动力的共同作用，合力将导致质量块运动状态的改变，很容易利用牛顿第二定律列出整个系统的运动方程。我们将输入变量作用力 r t 放在方程的右端，输出变量 y t 放在方程的左端。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org51d70dc}]{}
\[M \frac{d^2y(t)}{dt^2} + b\frac{dy(t)}{dt} + ky(t) = r(t)\]
\begin{itemize}
\item When the mass is displaced initially a distance \(y(0)\) and released, the dynamic response of an underdamped system is given by
\end{itemize}
\[y(t) = K_1 e^ {-\alpha_1t} \sin(\beta_1 t + \theta_1)\]

\note{可以看出，该系统模型为二阶常系数线性常微分方程，二阶表明未知函数的最高阶导数为二次，常系数表明方式程的系数 M b k 为常数，线性表明方程中关于函数及其各阶导数均为一次方。假定将质量块向下拉伸到新的位置 y0，然后突然释放，这一状态可描述为，系统的初始位移为 y0，求零外载作用下的运动规律，这是典型的给定初值求解常微分方程解的问题。这也是本门课程要重点探讨的问题之一，将在随后进行深入研究。可能有同学不太理解，开始系统不是在外载作用下到达 y0 位置的吗，怎么变成零外载条件下的动态响应问题了？}<1>
\note{开始处于平衡的系统，确实在外力作用下到达了另一个平衡状态，那就是位置为 y0, 速度为 0 的新的平衡状态，此时释放质量块，从现在开始，整个系统不受外力，至于当前时刻之前的事，初始状态已经描述清楚了。这里我们解出该系统在欠阻尼条件下的动态响应为不断衰减的正弦函数，直到位移趋于零为止，即回到了原始的平衡位置。试想，如果初始位置为零，初始速度为零，直接在质量块下端悬挂另一个质量块，其响应会是什么？这一问题其实就是弹簧称的称重原理。}<2>
\end{frame}


\begin{frame}[label={sec:org9ce2712}]{\(RLC\) Circuit}
\begin{columns}
\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{itemize}
\item For the \(RLC\) circuit as shown in the right figure
\item Utilizing Kirchhoff's current law yields
\end{itemize}
\[\frac{v(t)}{R}+C\frac{dv(t)}{dt}+\frac{1}{L}\int_{0}^{t}v(t)dt=r(t)\]
\begin{itemize}
\item Differential both sides of the above equation
\end{itemize}

\[C\frac{d^2v(t)}{dt^2}+\frac{dv(t)}{Rdt}+\frac{1}{L}v(t)=0\]
\end{column}

\begin{column}{0.4\columnwidth}
\begin{figure}[htbp]
\centering
\includegraphics[page=85, viewport=108 548 260 612, clip,scale=0.9]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\caption{RLC circuit.}
\end{figure}
\note{下面我们讨论R L C电路的数学模型。对于图中所示的并联 RLC 路，利用基尔霍夫电流定律可以列出这一平衡等式，右侧为恒流源电流，这一电流分三个支路分别通过了电阻、电感和电容，电路特点是三种不同元件两端施加的跨越型变量电压是相等，通过型变量电流则由三个元件自身特点而不同。针对这一微分方程进行求解，也可以得出，输出电压为余弦衰减的函数。\(RLC\)电路模型中含有积分项，为了便于求解，在方程两边同时关于时间\(t\)求导，则可得到类似质量弹簧阻尼系统的二阶常系数线性微分方程，不同的是，该微分方程为齐次微分方程。}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org7861d57}]{Solutions to Second-Order System}
\begin{itemize}
\item The voltage response (for an underdamped \(RLC\) circuit)
\end{itemize}

\[v(t)=K_2e^{-\alpha_2t}\cos(\beta_2t+\theta_2)\]

\begin{itemize}
\item With respect to the spring-mass-damper system, let \(\displaystyle v(t)=\frac{dy(t)}{dt}\) then
\end{itemize}

\[M\frac{dv(t)}{dt}+bv(t)+k\int_{0}^{t}v(t)dt=r(t)\]

\note{求解该微分方程，在欠阻尼条件下，其解为指数衰减的余弦函数。有关二阶微分方程的求解方法在同济版《高等数学》第七版，下册第七章第六节和第七节有详细的讨论，所举的例子也是质量弹簧阻尼系统和\(RLC\)电路。对于质量弹簧阻尼系统，如果令速度为位移的时间导数，然后将速度变量代入质量弹簧阻尼系统模型中，即可得到与\(RLC\)电路形式相似的微分方程。所以两者之间具有相似性。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org9ce6bb2}]{Analogous Systems 相似系统}
\begin{itemize}
\item Analogous systems with similar solutions exist for electrical, mechanical, thermal, and fluid systems.
\end{itemize}
\begin{columns}[t]
\begin{column}{0.5\columnwidth}
\[M\frac{dv(t)}{dt}+bv(t)+k\int_{0}^{t}v(t)dt=r(t)\]

\begin{align*}
\text{velocity } v(t) &\leftrightarrow \text{voltage } v(t)\\
\text{force } r(t) & \leftrightarrow  \text{current } r(t)
\end{align*}
\end{column}
\begin{column}{0.5\columnwidth}
\[\frac{v(t)}{R}+C\frac{dv(t)}{dt}+\frac{1}{L}\int_{0}^{t}v(t)dt=r(t)\]

\begin{align*}
M & \leftrightarrow C\\
b & \leftrightarrow \frac{1}{R}\\
k & \leftrightarrow \frac{1}{L}
\end{align*}

\note{前面讲到质量弹簧阻尼系统和R L C电路系统的数学模型之间具有相似性，下面我们讨论一下相似性的概念。物理量之间的基本联系或关系通过物理定律描述，物理定律可以用数学的语言写成微分方程或积分方程的形式，工程技术问题的理论求解通常就是建立微分方程并求解的过程。微分方程已经被证明是表达和发展科学及其思想的最有效工具。不同学科有同样形式的微分方程，那他们一定具有类似的物理过程或规律，这是就相似系统的概念。我们把质量弹簧阻尼系统和 RLC 系统的模型进行对比，可以看出，它们的形式完全一样，只是系数不同。速度与电压，力与电流之间具有相似性，质量与电容，阻尼与电阻，电感与弹簧系数之间具有相似性。后续我们在研究机械系统时，经常用相似的电学模型进行物理建模，因为相比机械系统，电学模型更易实现，研究起来更加方便。}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgfa93aa5}]{Linear Approximation of Physical Systems 系统的线性化近似}
\begin{itemize}
\item Two properties of linear systems 线性系统的两大特性
\begin{itemize}
\item Principle of superposition 叠加原理
\item Homogeneity 均匀性（又称齐次性）
\end{itemize}
\item Linear time invariant（LTI） 线性时不变系统
\item In general, electrical/mechnical systems can be assumed linear over a large range of the variables.
\item On the other hand, thermal/fluid elements are more frequently nonlinear in character.
\end{itemize}
\note{ 生产生活中大部分控制系统都是非线性的，求解非线性系统较为麻烦，将其转化为线性系统可以极大简化求解过程。线性系统是指同时满足叠加性与均匀性（又称为齐次性）的系统。 所谓叠加性是指当几个输入信号共同作用于系统时，总的输出等于每个输入单独作用时产生的输出之和；均匀性是指当输入信号增大若干倍时，输出也相应增大同样的倍数。线性系统除满足线性特性外，若还满足非时变性（即系统的输入信号若延迟 \(\tau\) 秒，那么得到的输出除了这 \(\tau\) 秒延时以外是完全相同的），则称为 线性时不变系统 。一般来说，机电系统在较大变量范围内均可被视为是线性系统。相比而言，热学或流体元件很多情况下则表现出非线性的特点。 }
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org91716f8}]{Linear Approximation 线性化的途径}
\begin{itemize}
\item Consider the function
\end{itemize}
\[y =g(x)\]
\begin{itemize}
\item Let \(x_0\) be the nominal operating point, then the Taylor series	expansion about \(x_0\) is
\end{itemize}
\[y=g(x)=g(x_0)+\frac{dg}{dx}\Bigg|_{x = x_0} (x-x_0)+\frac{1}{2}\frac{d^2g}{dx^2}\Bigg|_{x=x_0}(x-x_0)^2+\cdots\]
\begin{itemize}
\item Let \(y_0=g(x_0)\), then
\end{itemize}
\[y-y_0\approx\frac{dg}{dx}\Bigg|_{x=x_0}(x-x_0)\]
or
\[\Delta y=m\Delta x\]

\note{为了对非线性系统进行简化，通常将其在平衡位置处进行线性化处理。考虑函数 y 是关于 x 的函数，其具体形式由 g x 来表示。x 0 是平衡点附近的自变量，函数 y 可以在 x 0 点附近进行泰勒展开，如果只取展开级数的一阶导数项，忽略高阶项则，在平衡点附近 y 的增量与 x 的增量之间满足线性关系，其斜率为函数 g x 在 x 0 点处的斜率，这一理论我们非常熟悉。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orga683f7a}]{Linear Approximation Example 非线性弹簧受载变形}
\begin{columns}
\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{itemize}
\item Consider a mass \(M\) sitting on a nonlinear spring
\item Characteristics of the nonlinear spring: \(f=y^2\)
\item Gravitational force: \(f=Mg\)
\item The equilibrium position is \(y_0=(Mg)^{1/2}\)
\item The linear model for small deviation is \(\displaystyle \Delta f =\frac{df}{dy}\Bigg|_{y=y_0}\Delta y =2y_0\Delta y\)
\end{itemize}
\end{column}
\begin{column}{0.4\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=88, viewport=148 484 260 600, clip,scale=0.8]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\begin{center}
\includegraphics[page=88, viewport=280 476 456 612, clip,scale=0.8]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\note{举一个非线性弹簧受载变形的例子。考虑一个质量块 m 被放置在一个非线性弹簧支架上，弹簧产生的弹力与变形量之间满足抛物线关系，也就是f等于y平方，系统平衡时，弹力等于重力，即 f 等于 M g。由此可以计算出，平衡位置 y 0 等于根号 M g。在平衡位置处对该质量弹簧系统进行线性化，在平衡点附近的微小区域内，载荷变化等于2y 0倍的位移变化，也就是平衡点附近处斜率为二倍的 y 0。}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org36b581e}]{Pendulum Oscillator Model 单摆振荡模型}
\begin{columns}
\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{itemize}
\item For the pendulum oscillator
\end{itemize}
\[T=MgL\sin\theta\]
\begin{itemize}
\item The equilibrium \(\theta_0=0^0\) and \(T_0=0\).
\end{itemize}
\begin{align*}
T-T_0 & = MgL\frac{d\sin\theta}{d\theta}\Bigg|_{\theta=\theta_0}(\theta-\theta_0)\\
T & =MgL\theta
\end{align*}
\begin{itemize}
\item The approximation is reasonably accurate for\((-\pi/4)\leq\theta\leq(\pi/4)\)
\end{itemize}
\end{column}
\begin{column}{0.4\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=89, viewport=108 504 204 600, clip,scale=0.9]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\begin{center}
\includegraphics[page=89, viewport=228 504 344 612, clip,scale=0.9]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\note{再举一个单摆振荡的例子。对于单摆振荡模型，将摆球重力分别沿摆杆轴线方向及垂直方向进行分解，摆杆摆动的驱动力矩可以表示成 m g L sin theta的形式，摆球静止不动时摆角和摆动转矩均为零，为此我们在平衡点附近对摆球摆动进行线性化处理，sin theta的导数为 cos theta，角度为零时 cos 取值为1，由此可以看出，当摆角很小时，摆矩与角度成正比，实现了模型线性化。这一近似处理的适用范围是，单摆摆动角度正负四分之派之间。}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgff0056c}]{inverted pendulum 倒立摆模型}
\begin{columns}
\begin{column}{0.5\columnwidth}
\begin{itemize}
\item When the system operates around the equilibrium \(\theta_1=180^0\) and \(T_1=0\), the linear approximation becomes
\end{itemize}
\begin{align*}
T-T_1 & = MgL\frac{d\sin\theta}{d\theta}\Bigg|_{\theta=\theta_1}(\theta-\theta_1)\\
T & =-MgL(\theta-\pi)
\end{align*}
\end{column}
\begin{column}{0.5\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=209, viewport=104 500 232 612, clip,scale=1.2]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\note{当摆角为180度时，摆杆处于倒立位置，此时摆杆处于临界稳定状态，很容易失稳。为了保证摆杆稳定，杆的下端应该不断动态调整位置，以实现摆杆倒立。倒立摆的线性化模型为这一式子。}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgba3b3a7}]{The Laplace Transform 拉氏变换}
\begin{itemize}
\item Significance of the Laplace transform: transforms a linear differential equation to a linear algebraic equation.
\item Assume we have the following series
\end{itemize}
\[\sum_0^\infty a(n)x^n = A(x)\]
\begin{itemize}
\item If \(a(n) = 1\), then
\end{itemize}
\[1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n=\frac{1}{1-x}\quad |x|<1 \qquad 1 \rightsquigarrow \frac{1}{1-x}\] 
\begin{itemize}
\item If \(\displaystyle a(n) = \frac{1}{n!}\), then
\end{itemize}
\[1+x+ \frac{1}{2!} x^2+ \frac{1}{3!}x^3+\cdots+ \frac{1}{n!} x^n= e^x \quad |x|<1 \qquad  \frac{1}{n!} \rightsquigarrow e^x \]
\note{拉氏变换是将线性微分方程转化为线性代数方程的重要工具，是简化微分方程求解的重要手段。我们从函数的级数展开讲起。假定一个函数 A x 是由多项式组成的求和级数，多项式的系数 a n 取1或n的阶乘分之一时，这个函数A x 分别对应有理分式 x 减 1 分之一和指数函数e x，这一函数级数展开的前提是自变量的绝对值小于1。如此一来，我们可以认为多项式系数与函数形式之间建立了一种联系，1与 x 减 1 分之一对应，n的阶乘分之一与指数函数e x对应。拉氏变换其实也是一种对应关系，或者说是映射关系，实变量函数与复变量函数之间的映射。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orga038a9b}]{幂级数展开与积分}
\[\sum_0^\infty a(n)x^n = A(x)\qquad \rightsquigarrow \int_0^\infty a(t)x^t dt = A(x) \]

\begin{itemize}
\item If \(x = e^{\ln x} = e^{-s}, \quad |x|< 1\),
\end{itemize}

\[\mathscr{L}(a(t)) = \int_0^\infty a(t)e^{-st} dt = A(s) \]

\begin{itemize}
\item This is the \alert{Laplace transformation}
\end{itemize}
\note{将函数的幂级数展开式推广到积分形式，用连续变量t替代自然数n，用变量a t 乘以d t替代系数a n，自然地将幂级数转化为积分函数。如果对自变量 x 也进行等量替代，通过引入变量 s 将其转化为指数函数的形式，同样在 x 的绝对值小于1的条件下，我们可以将函数 a t 通过积分变换转变为一种新形式，A s，变量由 x 转化为 s。值得注意的是，在拉氏变换的严格定义中，s 是复变量。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org1d85612}]{The Laplace Transform}
\begin{itemize}
\item The Laplace transform of a function of time \(f(t)\) is
\end{itemize}
\[F(s)=\int_{0-}^{\infty}f(t)e^{-st}dt=\mathscr{L}[f(t)], \quad s=\sigma+j\omega\]
\begin{itemize}
\item The necessary and sufficient condition for the existence of the Laplace transform is that
\begin{itemize}
\item The function \(f(t)\) should be continuous or piece-wise continuous in the given closed interval
\item for some real, positive \(\sigma_1\)
\end{itemize}
\end{itemize}
\[\int_{0-}^{\infty}|f(t)|e^{-\sigma_1 t} dt<\infty\]
\begin{itemize}
\item Signals that are physically realizable always have a Laplace transform.
\end{itemize}
\note{这里给出了拉氏变换的定义式，其中复变量s为sigma 加 j omega。拉氏变换中，函数f t 被称为原函数，变换后得到的F s 被称为象函数。拉氏变换存在的充要条件是，f t 在t小于零时为零，t大于零时至少存在某个闭区间，f t 是分段连续的，而且 f t 的增长速度不超过某一指数函数，也就是存在一个正实数西格玛 1，能够使这一积分式有界收敛。幸运的是，具有实际物理意义的信号通常都可进行拉氏变换，这为我们解决实际问题带来了很大便利。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orgc9264d7}]{The inverse Laplace transform    拉氏反变换}
\[f(t)=\frac{1}{2 \pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}F(s)e^{st}ds=\mathscr{L}^{-1}[F(s)]\]
\begin{itemize}
\item The inverse Laplace transform is usually obtained by using the Heaviside partial fraction expansion\footnote{This practical method was popularized by the English electrical engineer Oliver Heaviside (1850–1925)}.
\end{itemize}
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\frac{2 s+1}{s(s-1)(s+1)} &=\frac{A}{s}+\frac{B}{s-1}+\frac{C}{s+1} \\
&=\mathscr{L}(A)+\mathscr{L}\left(B e^{t}\right)+\mathscr{L}\left(C e^{-t}\right) \\
&=\mathscr{L}\left(A+B e^{t}+C e^{-t}\right)
\end{aligned}
\end{equation*}
\note{反过来，也可用拉氏反变换将复数域信号变为时域信号，其定义为这一积分式，直接通过定义求解拉氏反变换的方法通常比较繁琐，很少直接使用。对于有理分式，我们可以通过部分分式展开的方法将其转化为典型象函数叠加的形式，再利用拉氏变换反查表，直接写出相应的原函数。这里举了一个简单例子，左边这个式子可以写成三个有理分式之和，只要确定了待定系数A、B、C，就可以很方便地利用拉氏反变换求出原函数，详细过程将在后续拉氏变换求解微分方程中进行介绍。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org75efed5}]{常用函数的拉氏变换}
\begin{itemize}
\item \(1\rightsquigarrow ?\)
\end{itemize}
\[\int_0^\infty 1\cdot e^{-st} dt = \lim_{R\rightarrow \infty} \int_0^R e^{-st}dt = \lim_{R\rightarrow \infty} \frac{e^{-sR}-1}{-s} = \frac{1}{s}, \quad s > 0\]
\begin{itemize}
\item \(e^{at}f(t)\rightsquigarrow ?\)
\end{itemize}
\[\int_0^\infty e^{at}f(t) e^{-st}dt= \int_0^\infty f(t)e^{-(s-a)t}dt = F(s-a), s>a\]
\begin{itemize}
\item \(e^{at}\rightsquigarrow ?\)
\end{itemize}

\note{求解拉氏变换最直接的方法是它的定义。这里举几个例子。如果函数为单位阶跃函数，积分上限可以设为R，令R趋于无穷，并对积分结果求极限，很容易得出阶跃函数的拉氏变换为 s 分之一。另一个例子，如果函数 f t 乘以指数函数 e 的 a t次方，同样根据定义，可以将指数函数 e 的 a t与定义中的指数函数 e 的 负 s t次方合并，映射变量由s 变成了 s 减 a，因此只要在函数f t拉氏变换的基础上将s 换成 s 减 a 即可，这一原理也被称为指数移位定理。根据这一定理，很容易求出指数函数 e 的 a t 次方的拉氏变换，指数函数 e 的 a t 次方可以看成是指数函数 e 的 a t 次方与单位阶跃函数的乘积，单位阶跃函数的拉氏变换为s分之一，所以，指数函数 e 的 a t 次方的拉氏变换为s 减 a 分之一。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org8a6a047}]{正余弦函数的拉氏变换}
\begin{itemize}
\item \(\sin(at), \cos(at) \rightsquigarrow ?\)
\item Based on the Euler's formula
\end{itemize}
\[\cos(at)=\frac{e^{iat}+e^{-iat}}{2}, \quad \sin(at) = \frac{e^{iat}-e^{-iat}}{2i}\]

\[\mathscr{L}(\cos at) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{s-ia}+\frac{1}{s+ia}\right) = \frac{s}{s^2+a^2}, \quad s>0\]

\[\mathscr{L}(\sin at) = \frac{1}{2i} \left(\frac{1}{s-ia}-\frac{1}{s+ia}\right) = \frac{a}{s^2+a^2}, \quad s>0\]
\note{求解正余弦函数拉氏变换的重要途径是通过欧拉公式将其转化为指数函数的形式，指数函数的拉氏变换前面已提到，结合指数移位定理和单位阶跃函数拉氏变换很容易求得正余弦函数的拉氏变换。先看余弦函数，其指数函数形式为，二分之 e 的i a t次方与e 的负 i a t次方之和，拉氏变换后为，二分之括号里面 s 减 i a 分之一与s 加 i a 分之一的和，通分化简后得到余弦函数的拉氏变换为，s平方加a平方之s。同理可以求出正弦函数的拉氏变换为，s平方加a平方之a。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orgf993b09}]{Unit pulse 单位脉冲函数}
\begin{equation*}
      \delta(t)=\left\{
      \begin{array}{c}
      0~~~(t<0\text{ and }t>\varepsilon)\\
      \lim\limits_{\varepsilon\to 0}\frac{1}{\varepsilon}~~~(0<t<\varepsilon)
      \end{array}
      \right.
\end{equation*}

\begin{flalign}
      \mathscr{L}[\delta(t)]&=\int^\varepsilon_0\lim\limits_{\varepsilon\to 0}\frac{1}{\varepsilon}\cdot e^{-st}dt \nonumber\\
       &=\lim\limits_{\varepsilon\to 0}\frac{1}{\varepsilon s}(1- e^{-\varepsilon s})\nonumber\\
       &\text{由洛比达法则：}\lim\limits_{\varepsilon\to 0}\frac{1}{\varepsilon s}(1-e^{-\varepsilon s})=\lim\limits_{\varepsilon\to 0}\frac{(1-e^{-\varepsilon s})'}{(\varepsilon s)'}\nonumber\\
       &\text{so：}\mathscr{L}[\delta (t)]=\lim\limits_{\varepsilon\to 0}\frac{\varepsilon\cdot e^{-\varepsilon s}}{\varepsilon}=1\nonumber
\end{flalign}
\note{单位脉冲函数是定义在零到伊普西龙小量之间、高度为伊普西龙分之一的狭长矩形条带，而且要求伊普西龙无限趋于零，该函数是是英国物理学家狄拉克在20世纪20年代提出的，用于描述瞬间或空间几何点上的物理量，因此也被称为德尔塔函数。例如，瞬时的冲击力、脉冲电流或电压等急速变化的物理量，以及质点的质量分布、点电荷的电量分布等在空间或时间上高度集中的物理量即可用脉冲函数表示。同样根据拉氏变换的定义，将脉冲函数引入到拉氏变换定义式中，将极限符号提到积分符号的外面，由于脉冲函数定区间为零到伊普西龙之间，因此积分上限为伊普西龙，积分后形式为，伊普西龙 s 分之括号里面一减e 的负 伊普西龙 s次方，再令伊普西龙趋于零然后取极限。这时我们发现，分子分母同为零，无法继续计算，这时可用洛比达法则，对分子分母同时取导数后再计算，其结果就是，单位脉冲函数的拉氏变换为 1。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org2ec36bc}]{脉冲函数拉氏变换的另一种求法}
\[\delta (t) = \lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \left[\frac{1(t)}{\varepsilon} - \frac{1(t-\varepsilon)}{\varepsilon}\right] = \lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \frac{1}{\varepsilon}[1(t) - 1(t-\varepsilon)]\]

\begin{align*}
\mathscr{L}[\delta(t)] & = \lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\frac{1}{\varepsilon} [\frac{1}{s} - \frac{1}{s}e^{-\varepsilon s}] \text{延时定理}\\
& =  \lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\frac{1}{\varepsilon s}[1- (1-\varepsilon s + \frac{1}{2!}\varepsilon^2 s^2 - \cdots)]  \quad e^x \text{展开级数 } |x| <1\\
& = 1  
\end{align*}

\note{将脉冲函数写成阶跃函数与延时阶跃函数之间的差，阶跃函数的高度为伊普西龙分之一，延时时间伊普西龙趋近于零。这样，只要求出两个阶跃函数的拉氏变换即可，分别是s分之一和s分之e的负的伊普西龙s，接下来，将s分之一提到括号外面，并将e的负的伊普西龙s按幂级数展开，去括号，首项为1，后续为伊普西龙的高阶项，伊普西龙趋于零时均为零。最后得到单位脉冲函数的拉氏变换为 1。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org662063f}]{微分定理}
\begin{itemize}
\item partial integration \footnote{\(\int uv'dx = uv - \int u'vdx\)}
\end{itemize}
\begin{align*}
\mathscr{L}(f'(t)) & =\int_0^\infty e^{-st} f'(t)dt = e^{-st}f(t)|_0^\infty-\int_0^\infty -se^{-st}f(t)dt\\
 & = 0-f(0)+s\int_0^\infty e^{-st}f(t)dt= s\mathscr{L}(f(t)) - f(0) 
\end{align*}
\begin{itemize}
\item \(f''(t)=[f'(t)]'\)
\end{itemize}
\begin{align*}
\mathscr{L}(f''(t)) & = s\mathscr{L}(f'(t))-f'(0) = s[sF(s)-f(0)] - f'(0)\\
      & =s^2F(s) - sf(0) -f'(0)
\end{align*}

\note{下面我们讨论函数微分的拉氏变换，依据定义进行求解，再利用分部积分法，积分结果的第一项为，指数函数与函数f t的乘积，将积分上下限代入，即可得到负的f 0，即函数的初始值，第二项为s乘以f t 的拉氏变换。按此方法，二阶微分是一阶微分的微分，在一阶微分拉氏变换的基础上再求一次一阶微分的拉氏变换。直接套用上述公式，二阶微分的拉氏变换等于，s倍的一阶微分拉氏变换减去一阶微分的初值，再对一阶微分拉氏变换展开成s倍的原函数的拉氏变换减去原函数的初值，最后一步，去括号展开得到二阶微分的拉氏变换，即s平方倍的原函数的拉氏变换，减去s倍的原函数初值，再减去一阶微分初值。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org2b51b32}]{高阶微分的拉氏变换}
  \begin{flalign}
  \left\{
  \begin{array}{c}
   \begin{aligned}
  &\mathscr{L}[\frac{d^2f(t)}{dt^2}]=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)\\
  &\cdots\cdots\\
  &\mathscr{L}[\frac{d^nf(t)}{dt^n}]=s^nF(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-\cdots-f^{n-1}(0)\nonumber
   \end{aligned}
  \end{array}
  \right.
\end{flalign}
\begin{itemize}
\item 式中，\(f'(0)\)，\(f''(0)\)，\(\cdots\cdots\)为函数\(f(t)\)的各阶导数在\(t=0\)时的值。
\end{itemize}

\note{依此类推，n阶微分的拉氏变换等于，s的n次方乘以原函数的拉氏变换，减去原函数各阶导数的初值与s幂函数的乘积。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org9d26144}]{高阶微分的拉氏变换}
\begin{itemize}
\item 当\(f(t)\)及其各阶导数在\(t=0\)时刻的值均为零时（零初始条件）：
\begin{flalign}
   \left\{
   \begin{array}{c}
    \begin{aligned}
    \mathscr{L}[\frac{df(t)}{dt}]&=sF(s)\\
   \mathscr{L}[\frac{d^2f(t)}{dt^2}]&=s^2F(s)\\
   \cdots\cdots\\
   \mathscr{L}[\frac{d^nf(t)}{dt^n}]&=s^nF(s)\nonumber
    \end{aligned}
   \end{array}
   \right.
 \end{flalign}
\end{itemize}
\note{特别地，在零初始条件下，也就是函数f t 及其各阶导数在t等于零时的值均为零的情况下，n阶微分的拉氏变换就等于s的n次方乘以原函数的拉氏变换，这一结论对于后续传递函数的引入非常重要。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org9aa9227}]{Laplace variable}
\begin{itemize}
\item The Laplace variable \(s\) is related to the differential operator or integral operator
\end{itemize}
\hspace{3cm} \(\displaystyle s\equiv\frac{d}{dt}\) \qquad \(\displaystyle \frac{1}{s}\equiv\int_{o-}^{t}dt\)
\begin{itemize}
\item Solution approach to obtain time response
\begin{itemize}
\item Obtain the differential equations
\item Obtain the Laplace transformation of the differential equations
\item Solve the resulting algebraic transform of the variable of interest
\item Obtain the time response by invert Laplace transform
\end{itemize}
\end{itemize}
\note{拉氏变量 s 与微分或积分操作有关。利用拉氏变换，可以求解系统的时域响应。具体步骤为，先建立系统微分方程，对其进行拉氏变换，得到输出变量的代数形式，并进行求解得到输出量的拉氏变换，最后再进行拉氏反变换得到输出量的时域响应。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orgb8e1bca}]{Solution Through Laplace Transform}
\begin{itemize}
\item The Laplace transform can be used to solve linear differential equation.
\item Consider the spring-mass-damper system
\end{itemize}
\[M\frac{d^2y(t)}{dt^2}+b\frac{dy(t)}{dt}+ky(t)=r(t)\] \vspace{-1em}
\begin{itemize}
\item Tacking the Laplace transform yields
\end{itemize}
\[M\left(s^2Y(s)-sy(0^-)-\frac{dy(0^-)}{dt}\right)+b(sY(s)-y(0^-))+kY(s)=R(s)\] \vspace{-1em}
\begin{itemize}
\item When the input and initial conditions are
\end{itemize}
\[r(t)=0,\ y(0^-)=y_0, \text{and }\quad \frac{dy}{dt}\Bigg|_{t=0^-} = 0\]\vspace{-1em}

\[\rightarrow Y(s)=\frac{(Ms+b)y_0}{Ms^2+bs+k}=\frac{p(s)}{q(s)}\]
\note{拉氏变换可以用于求解线性微分方程。以前面讲过的质量弹簧阻尼系统模型为例，输入信号为载荷 r t，假设对应的象函数为 R s，输出信号为位移 y t，假设对应的象函数为 Y s，再根据微分定理，分别写出位移函数 y t的一阶导数和二阶导数的拉氏变换，最终可以得出质量弹簧阻尼系统模型经拉氏变换后的线性代数方程，如果输入载荷为零，也就是系统不受外力，但具有初始位移 y 0，且初始速度为零。这一状态就相当于，我们将质量块向下拉到位移为 y 0的新的平衡位置处并静置，然后突然松手，整个系统将在无外载作用运动，我们要求位移函数 y t的变化规律。将初始条件代入拉氏变换后的代数方程式，再移项合并同类项，最后可以得到位移函数 y t的象函数 Y s，显然，只要对Y s 求拉氏反变换，即可得到y t。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org567fc82}]{Solution Through Laplace Transform}
\begin{itemize}
\item When \(k/M=2\) and \(b/M=3\),
\end{itemize}
\[Y(s)=\frac{(s+3)y_0}{s^2+3s+2} = \frac{(s+3)y_0}{(s+1)(s+2)}\]\vspace{-1em}
\begin{itemize}
\item Partial fraction expansion:
\end{itemize}
\[Y(s)=\frac{k_1}{s+1}+\frac{k_2}{s+2}\]\vspace{-1em}

\[\frac{s+3}{(s+1)(s+2)} = \frac{k_1}{s+1}+\frac{k_2}{s+2}\]\vspace{-1em}

\[\left. \frac{s+3}{\cancel{(s+1)}(s+2)}\cdot \cancel{(s+1)} \right|_{s=-1} = \frac{k_1}{\cancel{s+1}}\cdot \cancel{(s+1)}+\frac{k_2}{s+2}\cdot (s+1)\rightarrow k_1=2\]\vspace{-1em}

\[\left. \frac{s+3}{(s+1)\cancel{(s+2)}}\cdot \cancel{(s+2)} \right|_{s=-2} = \frac{k_1}{s+1}\cdot (s+2)+\frac{k_2}{\cancel{s+2}}\cdot \cancel{(s+2)}\rightarrow k_2=-1\]

\note{我们用具体的参数来说明如何通过拉氏反变换求解微分方程。假设k M 和 b M 的比例分别为2和3，则 Y s 可以具化成这一具体的有理分式。用我们前面提到的部分分式展开法将这一有理分式写成低幂次有理分式之和，这一式子中有两个待定参数 k 1和k 2，被称为留数。先忽略y 0，考虑到上式和下式相等，所以可以写成这样的形式。接下来我们看如何求解待定参数，留数。求k 1时，先在等式两端乘以k 1下面对应的分母，同时另s等于对应分母为零时的根，分式中分母为零为的根定义为极数，对于留数k 1而言，对应的s等于负一，我们可以发现，当s等于负一时，等式右边只剩下了待定参数k 1，而左边可得到分式的具体值为2，这样我们就得到了第一个留数。同样的方法我们可以求第二个留数为负一。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orgc1417e4}]{Solotion for the system}
\begin{itemize}
\item Residues 留数: \(k_1=2\) and \(k_2=-1\)
\end{itemize}

\[Y(s) = \frac{2}{s+1} - \frac{1}{s+2}\]

\begin{itemize}
\item Inverse Laplace transformtion
\end{itemize}

\[y(t) = 2e^{-t} - e^{-2t}\]

\note{将留数代入象函数的部分分式展开式中，这一形式非常简单，结合阶跃函数拉氏变换和指数移位定理，很容易求出原函数为两指数函数的和，即2倍的e的负t次方减去e的负二t次方，由于指数函数的指数为负值，因此随时间推移，系统位移将单调减小，但由于阻尼很大，因此需要较长时间才能衰减到零，理论上讲，只能无限趋于零，无法回复到原先的平衡状态，只能无限接近。}
\end{frame}


\begin{frame}[label={sec:org6455300}]{Matlab used to partial fraction expansion}
\[G(s) = \frac{p(s)}{q(s)} = \frac{p_{m}s^{m}+p_{m-1}s^{m-1}+p_{m-2}s^{m-2}+ \cdots +p_0}{q_ns^n+q_{n-1}s^{n-1}+ \cdots + q_0}\]

\begin{itemize}
\item which can be represented in Matlab
\begin{itemize}
\item num= [ \(p_m\ p_{m-1}\ \cdots\ p_0\) ]
\item den=[\(q_n\ q_{n-1}\ \cdots\ q_0\)]
\end{itemize}
\end{itemize}
\[G(s) = \frac{p(s)}{q(s)} = k\frac{(s-z_1)(s-z_2)\cdots (s-z_m)}{(s-p_1)(s-p_2)\cdots (s-p_n)}\]

\begin{itemize}
\item which can be represented
\begin{itemize}
\item z=[\(z_1\ z_2\ \cdots\ z_m\)]
\item p=[\(p_1\ p_2\ \cdots\ p_n\)]
\item k=[k]
\end{itemize}
\end{itemize}
\note{尽管可以使用部分分式分解的方法求解拉氏反变换，但部分分式分解的过程有的也并不简单，分母遇到重根、复根时计算过程更为复杂。Matlab是知名的工程计算软件，可用于数据分析、深度学习、图像处理与计算机视觉、信号处理等领域，分式分解也是其擅长的工作。利用Matlab进行分式分解，首先需要将分式用Matlab语言进行表达。我们可以分别将分子、分母的多项式表示成其系数组成的行列式，如果分式具有显式的零极点，也可以用零、极点、比例系数构成的行列式进行表示。而且这两种表示方法之间可以进行转化。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org29e1c82},fragile]{Matlab used to partial fraction expansion}
\begin{columns}
\begin{column}{0.5\columnwidth}
\begin{itemize}
\item \mintinline{matlab}{[num,den]=zp2tf(z,p,k)} or \mintinline{matlab}{[z,p,k] = tf2zp(num,den)}
\item residue can be calculated by \mintinline{matlab}{[r,p,k] = residue(num,den)}
\end{itemize}
\[G(s)=\frac{s^{4}+11 s^{3}+39 s^{2}+52 s+26}{s^{4}+10 s^{3}+35 s^{2}+50 s+24}\]
\begin{itemize}
\item \mintinline{matlab}{>> num = [1 11 39 52 26];}
\item \mintinline{matlab}{>> den = [1 10 35 50 24];}
\end{itemize}
\[G(s)=\frac{1}{s+4}+\frac{2.5}{s+3}+\frac{-3}{s+2}+\frac{0.5}{s+1}+1\]
\end{column}
\begin{column}{0.5\columnwidth}
\begin{example}[分式展开]
\begin{minted}{matlab}
>> [r,p,k] = residue(num,den)
r = 
1.0000
2.5000
-3.0000
0.50000
p = 
-4.0000
-3.0000
-2.0000
-1.0000
k = 
1
\end{minted}


\note{这里举例说明如何操作。z p 突 t f表示将零极点形式表示的分式转化分子、分母系数行列式表示的分式，t f 突 z p 表示将分子、分母系数行列式表示的分式转化零极点形式的分式。z p 表示零极点，t f 表示传递函数，即分式的分子、分母分别是不同阶次的多项式形成的。留数可以针对分子、分母多项式相除的分式，通过 residue 这个命令进行求解，求解后得到留数列向量 r 和极点行向量 p，以及余项多项式行向量。比如有这样一个分式，在 Matlab 里，分别将分子、分母多项式系数存在n u m 和 d e n两个列向量里，然后用 residue 命令求该分式展开式的极点、留数和余项，结果显示在这里，下来我们可以作个验证。}
\end{example}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orga5689ac},fragile]{Residue合并分式}
\begin{itemize}
\item 也可以用residue将部分分式合并 \mintinline{matlab}{[num,den] = residue(r,p,k)}
\end{itemize}
\note{我们也可以用 residue 命令进行部分分式合并。只要给出r p k向量，使用这一简单命令即可合并分式分子、分母多项式系数。注意计算得到的系数是按幂进行降序排列的。举个具体的例子，如果给定F s 的初始形式为部分分式之和，显然，留数列向量为 1 2 3 4，极点列向量为负1 负2 负3 负4，余项多项式为零。在matlab命令窗口输入 r p k向量，再用一行命令 residue 计算出两个向量，n u m和 d e n，分别表示分子、分母多项式系数。根据计算结果直接写出合并分式的形式。}
\begin{example}[合并分式]
\begin{minted}{matlab}
>> r = [1 2 3 4]'; p = [-1 -2 -3 -4]'; k=0;
>> [num,den] = residue(r,p,k)
num =10 70 150 96
den = 1 10 35 50 24
\end{minted}

\[F(s)=\frac{1}{s+1} + \frac{2}{s+2} + \frac{3}{s+3} + \frac{4}{s+4} = \frac{10 s^{3}+70 s^{2}+150 s+96}{s^{4}+10 s^{3}+35 s^{2}+50 s+24}\]
\end{example}
\end{frame}



\begin{frame}[label={sec:orge34494c}]{Solution Through Laplace Transform}
\begin{itemize}
\item In summary, in solving a linear differential equation
\begin{itemize}
\item Laplace transform: converts the linear differential equation into analgebraic equation
\item The characteristic equation is then obtained and poles determined
\item This is followed by evaluating the residues (in the partial fraction expansion form) associated with each pole
\item The time response can then be determined
\end{itemize}
\end{itemize}
\note{总结一下应用拉氏变换求解线性微分方程的过程。首先需要应用拉氏变换将线性微分方程转化代数方程，求未知函数的象函数表达式，这一表达式通常为有理分式，其分母为特征方程，特征方程为零的根为极点，接下来，根据极点应用部分分式展开计算出留数，最后根据展开分式求解拉氏反变换，得到未知函数的时域响应。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org8303e3a}]{Underdamped Case}
\begin{itemize}
\item Reconsider the spring-mass-damper system and introduce new parameters \emph{dimensionless damping ratio} \(\zeta = \frac{b}{2m\sqrt{k/m}}\) and \emph{natural frequency} \(\omega_n = \sqrt{k/m}\),
\end{itemize}
\[Y(s)=\frac{(s+b/M)y_0}{(s^2+(b/M)s+(k/M))}=\frac{(s+2\zeta\omega_n)y_0}{(s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2)}\]\vspace{-1em}
\begin{itemize}
\item The roots of the characteristic equation are
\end{itemize}
\[s_1,s_2=-\zeta\omega_n\pm\omega_n\sqrt{\zeta^2-1}\] \vspace{-2em}
\begin{itemize}
\item When \(\zeta\)> 1, the roots are real and the system is \textbf{overdamped}.
\item When \(\zeta\)< 1, complex and conjugate and the system is \textbf{underdamped}.
\item When \(\zeta\)= 1, the roots are repeated and real and the system is \textbf{critical damping}.
\end{itemize}

\note{我们重新考虑一下前面提到的质量弹簧阻尼系统模型，再引入两个新的变量，无量纲的阻尼比 zeta和自然频率 omega，比较模型新形式和原形式之间的对应关系，得出新变量与质量、弹簧、阻尼之间的对应关系。将原模型转化为新的形式，目的是方便我们求解和讨论。前面我们提到过，分式分母为零的根我们称之为极点，分母为零的方程式我们称之为特征方程，新形式下特征方程为完全平方式，很容易求得两个极点s 1和s 2。根据极点的形式特点，可以将极点的分布分为三种情况，阻尼比 zeta 大于1时，特征方程有实根，此时的系统称为过阻尼系统；阻尼比 zeta 小于1时，特征方程有一对共轭的复根，此时的系统称为欠阻尼系统，阻尼比 zeta 等于1时，特征方程有二重实根，此时的系统称为临界阻尼系统。接下来我们重点讨论欠阻尼系统。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orgbc824d7}]{Underdamped Case}
\note{对于欠阻尼系统，将其共轭极点绘制在复平面上，由于阻尼比和自然频率均为非负，因此其极点位于左半平面或虚轴上。如果固定自然频率，共轭极点将随阻尼比的变化而形成一个半圆轨迹，阻尼比为零时在虚轴上，阻尼比为1时负实轴上，零到一之间时，为位于二三象限圆弧上的点。还有一个有意思的现象，共轭复极点的模就等于自然频率，也就是圆弧轨迹的半径。这一点很容易通过共轭复极点实部、虚部的平方和再开根号进行验证。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.4\columnwidth}
\begin{itemize}
\item For the \alert{underdamped case}, the roots are indeed
\end{itemize}
\[s_1,s_2=-\zeta \omega_n \pm j \omega_n \sqrt{1- \zeta^2}\]\vspace{-1em}
\begin{itemize}
\item As  varise with \(\omega_n\) constant,the complex conjugate roots follow a circular locus.
\item The transient response is increasingly oscillatory as the roots approach the imaginary axis when \(\zeta\) approaches zero.
\end{itemize}
\end{column}
\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{itemize}
\item the \(s\)-plane plot of the poles and zeros is
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[page=93, viewport=116 48 296 172, clip,scale=0.8]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\begin{center}
\includegraphics[page=94, viewport=172 488 332 612, clip,scale=0.8]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgf1268bb}]{Evaluation of Residue}
\begin{itemize}
\item A graphical residue evaluation 图解法求留数
\item Consider
\end{itemize}
\[Y(s)=\frac{(s+2\zeta\omega_n)y_0}{(s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2)}=\frac{(s_1+2\zeta\omega_n)y_0}{(s-s_1)(s-s_2)}=\frac{k_1}{s-s_1}+\frac{k_2}{s-s_2}\]
\begin{itemize}
\item Note that \(s_2\) is the complex conjugate of \(s_1\) and \(k_2\) is the complex conjugate of \(k_1\)
\end{itemize}
\[Y(s)=\frac{k_1}{s-s_1}+\frac{k_1^*}{s-s_1^*}\]
\note{接下来我们讨论一下如何通过图解法求进行部分分式分解，以求得留数，继而进行拉氏反变换。将模型重写一遍，并进一步写成两个部分分式之和，有两个待定参数k 1和k 2。需要注意的是，s 2与s 1 共轭，因此两个留数也互为共轭。因此只要求得一个留数，另一个留数自然而得，只要求其共轭复数即可。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org13fcc9d}]{Evaluation of Residue}
\note{按前面介绍的留数求法，k 1是在s等于极点s 1时，Y s 与 s 减s 1相乘后的值。图解法就体现在这个式子中。分母s 1 减 s 1 星是由s 1星指向s 1的向量，其象角为二分之派，假设其模为M 2。分子为由负二 zeta omega n指向s 1的向量，象角为 theta，模为M 1。显然，M 1就等于自然频率，M 2等于极点虚部的两倍。theta角余弦值就等于阻尼比。将相关参数代入，就可得到k 1的最终形式。k 2与k 1的差别仅在于象角，两者互为相反值。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{itemize}
\item The residue \(k_1\) is evaluated as
\end{itemize}
\[k_1=(s-s_1)Y(s)|_{s=s_1}=\frac{y_0(s_1+2 \zeta \omega_n )}{s_1-s_1^*}=\frac{y_0 M_1 e^{j \theta}}{M _2 e^{j \pi /2}}\]
\[k_1=\frac{y_0 \omega _n e^{j \theta}}{2 \omega_n \sqrt{1- \zeta ^2}e^{j \pi /2}} =\frac{y_0}{2\sqrt{1-\zeta ^2}e^{j(\pi/2-\theta)}}\]
\[k_2 = \frac{y_0 }{2 \sqrt{1- \zeta ^2}} e^{j (\pi /2 - \theta)}\]
\[\theta = \cos ^{-1} \zeta\]
\end{column}
\begin{column}{0.4\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=94, viewport=168 52 332 176, clip,scale=0.8]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\begin{center}
\includegraphics[page=93, viewport=116 48 296 172, clip,scale=0.8]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org40bc454}]{Underdamped Response}
\begin{itemize}
\item The time response is thus a damped oscillation \footnote{\(\cos x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}\quad \cos(\theta - \pi/2) = \sin\theta\)}
\end{itemize}
\begin{align*}
y(t) & = k_1e^{s_1t}+k_2e^{s_2t}\\
 & = \frac{y_0}{2 \sqrt{1- \zeta ^2}}(e^{j (\theta - \pi /2)}e^{-\zeta \omega_n t}e^{j \omega_n \beta t}+e^{j (\pi /2 - \theta)}e^{-\zeta \omega_n t}e^{-j \omega_n \beta t}) \\
 & = \frac{y_0}{\sqrt{1-\zeta ^2}}e^{-\zeta \omega_n t} \frac{e^{j(\theta +\omega_n\beta t -\pi/2)} + e^{-j(\theta + \omega_n\beta t - \pi/2)}}{2} \\
 & = \frac{y_0}{\sqrt{1-\zeta ^2}}e^{-\zeta \omega_n t} \cos(\theta + \omega_n\beta t - \pi/2)\\
 & = \frac{y_0}{\sqrt{1-\zeta ^2}}e^{-\zeta \omega_n t} \sin(\omega_n \sqrt{1-\zeta ^2}t+\theta)
\end{align*}
\note{留数求出以后，进行拉氏反变换，得到系统的时域响应。将相关参数代入，将部分分式系数相同的项提到括号外面，再进行指数运算，可以得到一个重要的量，两个指数函数的和再除以二，根据欧拉公式，这一形式即可写成余弦函数的形式，再根据互余角度三角函数之间的关系，又可将余弦函数改写成正弦函数。此即系统最终的时域响应函数。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orgbb4c597}]{Response of the spring-mass-damper system}
\begin{center}
\includegraphics[page=95, viewport=132 447 400 608, clip,scale=0.95]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\note{前面例子的两种情况，一个是过阻尼，另一个欠阻尼，将它们的时域响应绘制在一张图上进行对比，可以看出，过阻尼时，系统响应在单调递减，无振荡，欠阻尼时，系统在以正弦波函数的形式振荡衰减，两者都是随时间推移，系统的输出位移终将趋于零。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org8dac14d}]{The Transfer Function of Linear Systems}
\begin{itemize}
\item The \alert{transfer function} is defined as the ratio of the Laplace transform of the output variable to the Laplace transform of the input variable, with all initial conditions assumed to be zero.
\end{itemize}
\[\text{Transfer function} = \frac{\text{Laplace transform of the output variable}}{\text{Laplace transform of the input variable}}\]
\begin{itemize}
\item The transfer function is defined for systems that are
\begin{itemize}
\item Linear（线性）
\item Time-invariant (stationary, constant parameter)（时不变）
\item Zero initial condition（零初始条件）
\end{itemize}
\item Significance of transfer functions
\begin{itemize}
\item Algebraic representation
\item Frequency domain interpretation
\end{itemize}
\end{itemize}
\note{传递函数定义为，零初始条件下，线性定常系统，或者称为线性时不变系统，输出变量的拉氏变换与输入变量拉氏变换的比值。特别要注意，这一定义强调，系统具有线性、时不变的特性，且需要以零初始条件为前提。传递函数的概念非常重要，它为线性时不变系统提供了一种代数表达方式，方便在频域进行系统分析。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org09f795e}]{Transfer Function of Linear Systems}
\note{现举例说明系统传递函数的概念。仍以前面介绍的质量弹簧阻尼系统为例，在零初始条件下，模型可进一步简化为这一表达式，方程右端为输入变量的拉氏变换，方程左端为输出变量的多项式。根据传递函数的概念，可以得到输出变量的拉氏变换与输入变量拉氏变换的比值即为分母是二次多项式的有理分式，这就是质量弹簧阻尼系统的传递函数，可以看出，这一模型只与系统中质量、弹性常数和阻尼比有关，与系统的输入无关，因此系统传递函数反映了系统的结构特征。}
\begin{itemize}
\item For the spring-mass-damper system,
\end{itemize}
\[M\left(s^2Y(s)\cancel{-sy(0^-)-\frac{dy(0^-)}{dt}}\right)+b(sY(s)\cancel{-y(0^-)})+kY(s)=R(s)\]
\[\rightarrow Ms^2Y(s)+bsY(s)+kY(s)=R(s)\]
\begin{columns}
\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{itemize}
\item The transfer function is thus
\end{itemize}
\[\frac{\text{Output}}{\text{input}}=G(s)=\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{1}{Ms^2+bs+k}\]
\end{column}

\begin{column}{0.4\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=84, viewport=140 68 272 188, clip,scale=0.8]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org6a7eaf8}]{Transfer Function of RC Network}
\begin{center}
\includegraphics[page=96, viewport=156 44 324 104, clip,scale=0.95]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\begin{itemize}
\item For the RC network
\end{itemize}
\begin{equation*}
\begin{aligned}
V_1(s)& =(R+\frac{1}{Cs})I(s)\\
V_2(s)&=(\frac{1}{Cs})I(s)
\end{aligned}
\end{equation*}
\begin{itemize}
\item The transfer function is thus
\end{itemize}
\[G(s)=\frac{V_2(s)}{V_1(s)}=\frac{1}{RCs+1}=\frac{1}{\tau s+1}=\frac{1/ \tau}{s+1/ \tau}\]\vspace{-1em}
\begin{itemize}
\item The time constant of the network \(\tau=RC\).
\item The single pole of \(G(s)\) is \(s=-1/ \tau\)
\end{itemize}

\note{另一个例子是无源 R C 滤波电路。将电路中的变量进行拉氏变换，这样电容就可等效成电阻，其阻值相当于c s 分之一，再根据基尔霍夫电压定律，输入电压就是两个电阻之和乘以电路中的电流，输出电压为电容两端的分压，其值为等效电阻C s 分之一乘以电路中的电流。方程的两端分别相比，即可得到输出电压拉氏变换与输入电压拉氏变换之比，从而得出无源滤波电路的传递函数。可以看出，系统传递函数与电路中的电阻和电容有关，也反映了系统的结构特点，将这两参数的乘积定义为时间常数 涛。之后的内容我们将会介绍，时间常数可以反映系统反应的快慢，也就是输出电压会在多长时间内达到稳态值。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org85c7c35}]{Transfer Function}
\begin{itemize}
\item Consider the dynamic system represented by the differential equation
\end{itemize}
\[q_n\frac{d^n y}{dt^n}+q_{n-1} \frac{d^{n-1} y}{dt^{n-1}}+ \cdots + q_0 y = p_{m} \frac{d^{m} r}{dt^{m}}+ p_{m-1} \frac{d^{m-1} r}{dt^{m-1}} +p_{m-2} \frac{d^{m-2} r}{dt^{m-2}} + \cdots +p_0 r\]
\begin{itemize}
\item If the \alert{initial conditions are all zero}, then the transfer function is
\end{itemize}
\[G(s) = \frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{p(s)}{q(s)} = \frac{p_{m}s^{m}+p_{m-1}s^{m-1}+p_{m-2}s^{m-2}+ \cdots +p_0}{q_ns^n+q_{n-1}s^{n-1}+ \cdots + q_0}\]
\begin{itemize}
\item If the \alert{initial conditions are not zero}, The output response consists of a natural response (determined by the initial conditions) plus a forced response determined by the input.
\end{itemize}
\[Y(s)=\underbrace{\frac{m(s)}{q(s)}}_{Natural}+\underbrace{\frac{p(s)}{q(s)}R(s)}_{Forced}\]

\note{当系统更为复杂时，需要用高阶的微分方程进行表达，同样将与输入变量相关的项全部写在方程右端，输出变量相关的项写在方程左端，经拉氏变换后，如果所有初始条件为零，就可按照传递函数的定义，得到系统的传递函数，本质上来讲，就是有理分式。值得注意的是，根据传递函数定义及系统的输入变量，可以得到系统的输出，但这只是在零初条件下得到的输出，属于受迫响应，如果考虑非零初始条件，则系统输出还需包含另外一项，那就是系统的自然响应。现在我们考虑系统的自然响应和受迫响应问题。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgd7ac679}]{Transfer Function and Responses}
\begin{itemize}
\item If the input has the rational form
\end{itemize}
\[R(s)=\frac{n(s)}{d(s)}\]
\begin{itemize}
\item then
\end{itemize}
\[Y(s)=\frac{m(s)}{q(s)}+\frac{p(s)}{q(s)} \frac{n(s)}{d(s)}= \underbrace{Y_1(s)}_{natrual}+ \underbrace{Y_2(s)}_{related\ with\ q(s)}+ \underbrace{Y_3(s)}_{related\ with\ d(s)}\]
\begin{itemize}
\item Taking the inverse Laplace transform yields
\end{itemize}
\[y(t)=\underbrace{y_1(t)+y_2(t)}_{Transient\ response}+\underbrace{y_3(t)}_{steady\ state\ response}\]
\note{如果输入信号也写成有理分式的形式，那么系统受迫响应也可分为两部分，一部分与输入信号的分母有关，另一部分与传递函数的分母有关，传递函数的分母也就是特征方程。前两项构成了系统的瞬态响应，第三项为系统的稳态响应。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org494c062}]{Solution of a differential equation}
\begin{example}[:B\textsubscript{example}:]
Consider a system represented by the differential equation
\[\frac{d^2y(t)}{dt^2}+4 \frac{d(t)}{dt}+3y(t)=2r(t)\]
where the initial conditions and input are
\[y(0)=1, \frac{dy(0)}{dt}=0,r(t)=1,t\geq 0\]

\note{举个例子。有这样一个线性二阶微分方程，输入函数为单位阶跃函数，输出函数的初始值为一，输出函数导数的初值为零，求系统输出函数的时域响应。}
\end{example}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org44c1ff3}]{Solution of a differential equation}
\begin{itemize}
\item The Laplace transform yields
\end{itemize}
\[[s^2Y(s)-sy(0)]+4[sY(s)-y(0)]+3Y(s)=2R(s)\]\vspace{-1em}
\begin{itemize}
\item Thus,
\end{itemize}
\[Y(s)=\underbrace{\frac{s+4}{s^2+4s+3}}_{natural\ response}+\underbrace{\frac{2}{s^2+4s+3}R(s)}_{forced\ response}=\frac{s+4}{s^2+4s+3}+\frac{2}{s(s^2+4s+3)}\]\vspace{-1em}

\note{首先对以上微分方程进行拉氏变换，移项、整理，得到输出响应 Y s 包含两项，自然响应项和受迫响应项。接下来要进行部分分式展开。可以使用前面学到的Matlab程序进行辅助计算。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org2a4d052},fragile]{Solution of a differential equation}
\note{对于自然响应项，分别定义分子、分母多项式的系数向量，n u m和d e n，然后使用留数计算命令residue可直接计算出留数、极点和余项多项式系数，然后写出部分分式的展开结果。}

\begin{columns}
\begin{column}{0.55\columnwidth}
\begin{itemize}
\item First partial fraction
\end{itemize}

\[\frac{s+4}{s^2+4s+3} = \frac{3/2}{s+1} + \frac{-1/2}{s+3}\]
\end{column}
\begin{column}{0.45\columnwidth}
\begin{block}{Matlab code}
\begin{minted}{matlab}
>>num = [1 4];
>>den = [1 4 3];
>>[r,p,k] = residue(num,den)
r =
   -0.5000
    1.5000
p =
    -3
    -1
k =
     []
\end{minted}
\end{block}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org64dc412},fragile]{Solution of a differential equation}
\note{使用同样的方法，可以计算出受迫响应部分的部分分式展开结果。}

\begin{columns}
\begin{column}{0.55\columnwidth}
\begin{itemize}
\item Second partial fraction
\end{itemize}

\[\frac{2}{s(s^2+4s+3)} = \frac{-1}{s+1} + \frac{1/3}{s+3} + \frac{2/3}{s}\]
\end{column}
\begin{column}{0.45\columnwidth}
\begin{block}{Matlab code}
\begin{minted}{matlab}
>>num = [2];
>>den = [1 4 3 0];
>>format rat
>>[r,p,k] = residue(num,den)
r =
       1/3     
      -1       
       2/3     
p =
      -3       
      -1       
       0       
k =
     []
\end{minted}
\end{block}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgb22fb2a}]{Solution of a differential equation}
\[Y(s) =\left[\frac{3/2}{s+1}+\frac{-(1/2)}{s+3}\right]+\left[\frac{-1}{s+1}+\frac{1/3}{s+3}\right]+\frac{2/3}{s}\]
\begin{itemize}
\item The response is thus by interse Laplace transform
\end{itemize}
\[y(t)=[\frac{3}{2} e^{-t}-\frac{1}{2} e^{-3t}]+[-e^{-t}+\frac{1}{3}e^{-3t}]+\frac{2}{3}\]
\begin{itemize}
\item The transient response and steady response are
\end{itemize}
\(\displaystyle y_{\rm transient}(t)=\frac{1}{2} e^{-t}-\frac{1}{6} e^{-3t}\) \qquad \(y_{\rm steady\ state}(t)=\displaystyle \lim _{t \to \infty}y(t)=\frac{2}{3}\)

\note{将前面部分分式展开的结果写在一起，得出系统输出响应的完整表达式，显然包括三部分，自然响应部分，受迫响应受特征方程决定的部分，以及受迫响应与输入信号分母有关的部分，对这些展开式进行拉氏反变换，前两部分均与时间相关，为瞬态响应，第三项为常数，为系统的稳态输出值。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org958908a}]{Transfer Function Example}
\note{对于某些复杂的机械系统，其传递函数的推导可能需要联立求解方程组才能得到。比如右图所示的由质量、弹簧、阻尼组成的复杂机械系统，输入变量是力r t，输出变量是速度v 1 t 和v 2 t。对于机械系统，依据牛顿第二定律列出物理模型。在这一示例中，分别以两个质量块作为研究对象列方程，并按照图示运动方向进行分析，质量块一受输入力和两个阻尼力的作用，阻尼力一的大小与质量块一和质量块二的速度差有关，速度差越大，阻尼力一越大。质量块二不受外力作用，阻力尼一是质量块运动的动力，同时受弹簧阻力作用。基于以上分析，并将相关变量进行拉氏变换，由拉氏变换的相关知识可知，s 算子表示求微分，s 分之一表示求积分，因此s 与速度相乘表示加速度，速度除以s表示对速度进行积分，代表位移。因此直接列出模型的象函数，联立构成方程组。进一步可以将其写成矩阵的形式，便于用线性代数的知识进行求解。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{itemize}
\item Consider the mechanical system
\item Let \(V_1\) and \(V_2\) be the velocities.
\item Assuming zero initial conditions, the simultaneous equations 联立方程组 are
\end{itemize}
\begin{equation*}
\begin{aligned}
M_1sV_1(s)+(b_1+b_2)V_1(s)-b_1V_2(s)=R(s)\\
M_2sV_2(s)+b_1(V_2(s)-V_1(s))+k\frac{V_2(s)}{s}=0
\end{aligned}
\end{equation*}
\begin{itemize}
\item In matrix form,
\end{itemize}
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
{M_1s+b_1+b_2} & {-b_1} \\
{-b_1}  &  	{M_2s+b_1+\frac{k}{s}}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
V_1(S) \\
V_2(s)
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
R(s)\\
0
\end{bmatrix}
\end{equation*}
\end{column}

\begin{column}{0.4\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=100, viewport=148 480 320 612, clip,scale=0.9]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}


\begin{frame}[label={sec:orga3966a2}]{Transfer Function Example}
\begin{itemize}
\item \(V_1(s)\) can be solved by matrix inversion or Cramer's rule
\end{itemize}
\[V_1(s)=\frac{(M_2 s+b_1+k/s)R(s)}{(M_1 s+b_1+b_2)(M_2 s+b_1+k/s)-b_1^2}\]
\begin{itemize}
\item The transfer function of the mechanical system is
\end{itemize}
\begin{align*}
G(s) & = \frac{V_1(s)}{R(s)}=\frac{(M_2 s+b_1+k/s)}{(M_1 s+b_1+b_2)(M_2 s+b_1+k/s)-b_1^2}\\
& =\frac{(M_2 s^2+b_1 s+k)}{(M_1 s+b_1+b_2)(M_2 s^2+b_1 s+k)-b_1^2 s}
\end{align*}
\begin{itemize}
\item If the transfer function in terms of the posion \(x_1(t)\), then we have
\end{itemize}
\[\frac{X_1(s)}{R(s)}=\frac{V_1(s)}{sR(s)}=\frac{G(s)}{s}\]

\note{利用矩阵求逆或克莱姆法则，可以解出速度 v 一。速度v 一的拉氏变换与输入力r t的拉氏变换之比即为机械系统的传递函数。如果我们求输出位移对输入力的传递函数，只要将速度v一进行积分，对于本例而言，只要对速度对输入力的传递函数再除以s即可。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org8b17334}]{Transfer Function Example}
\note{再举另外一个例子，由电阻、电容、电感构成的无源电路网络，与刚才的模型具有相似性。该电路由恒流源提供能量，相当于机械系统中的恒定外力源，根据基尔霍夫电流定律列模型方程。第一个方程，恒流源电源分了三个分支，一条经过电容一，一条经过电阻二，一条经过电阻一，三个电流之和与恒流源电源相等；第二个方程，在v二节点处，没有外加电源，所有涉及这节点的电流的代数和等于零，注意流入、流出节点电流的正负。同样可以将方程组写成矩阵的形式，便于用线性代数知识进行求解。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{itemize}
\item Consider the electrical system where \(V_1\) and \(V_2\) are voltages.
\item When the initial conditionis zero, the simultaneous equations are
\end{itemize}
\[C_1sV_1(s)+\frac{1}{R_2}V_1(s)+\frac{1}{R_1}(V_1(s)-V_2(s))=R(s)\]
\[C_2sV_2(s)+\frac{1}{R_1}(V_2(s)-V_1(s))+\frac{1}{L}\frac{V_2(s)}{s}=0\]
\begin{itemize}
\item In matrix form,
\end{itemize}
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
C_1s+\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2} & - \frac{1}{R_1} \\
- \frac{1}{R_1}  &  	C_2s+\frac{1}{R_1}+\frac{1}{sL}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
V_1(S) \\
V_2(s)
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
R(s)\\
0
\end{bmatrix}
\end{equation*}
\end{column}

\begin{column}{0.4\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=100, viewport=148 376 312 456, clip,scale=0.9]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orga0f78d5}]{Transfer Function Example}
\begin{itemize}
\item \(V_1(s)\) can be solved by matrix inversion or Cramer's rule
\end{itemize}
\[V_1(s)=\frac{(C_2 s+1/R_1+1/(Ls))R(s)}{(C_1 s+1/R_1+ 1/R_2)(C_2 s+ 1/R_1+1/(Ls))-1/R_1^2}\]\vspace{-1em}
\begin{itemize}
\item Similar form with velocity in the mechanical system, The two systems are analogous. they have the following corresponding relationship
\end{itemize}

\begin{equation*}
\begin{aligned}
 {\rm Velocity}\ V_1 \ V_2 & \leftrightarrow 	{\rm Voltage}\ V_1\ V_2\\
M_1 & \leftrightarrow C_1\\
M_2 & \leftrightarrow C_2\\
k & \leftrightarrow \frac{1}{L}\\
b_1 & \leftrightarrow \frac{1}{R_1}\\
b_2 & \leftrightarrow \frac{1}{R_2}
\end{aligned}
\end{equation*}

\note{电压 v 一也可通过矩阵求逆或是克莱姆法则求得。这一形式与前面计算出的机械系统中速度一具有相似性，这两个系统为典型的相似系统，因此可以用电学模型方便地研究机械系统的特性。两系统不同参数间具有如下的对应性。速度对应电压，质量对应电容，阻尼对应电阻，弹性常数对应电感。}
\end{frame}


\begin{frame}[label={sec:org9b3c2c4}]{DC Motor Example}
\note{直流电机是将直流电源电能转化为旋转机械能的装置，它具有高扭矩、速度可控范围宽、便携性好、速度扭矩特性好、适合于不同类型的控制方法等优点。广泛应用于数字控制领域，包括机器人控制、磁带传输机构控制、磁盘驱动器、机床、伺服作动器等的控制等。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{itemize}
\item DC motor: converts dc electrical energy into rotational mechanical energy
\item Characteristics of dc motors
\begin{itemize}
\item High torque
\item Speed controllability over a wide range
\item Portability
\item Well-behaved speed-torque characteristics
\item Adaptability to various types of control methods
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{column}
\begin{column}{0.4\columnwidth}
\centering
\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{./R-C.jpg}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orgbd2f994}]{DC Motor schematic}
\begin{center}
\includegraphics[page=102, viewport=128 416 508 612, clip,scale=0.95]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\note{这是直流电机的电路原理图和结构简图。直流电机主要由定子线圈、转子线圈、电刷、换向器等组成，定子线圈的作用是产生激励磁场，因此也称为励磁线圈，转子线圈的作用是让电流在磁场中切割磁力线，产生洛伦兹力，驱动输出轴转动，换向器的作用是使转子线圈中的电流换向，保证驱动轴受到相同方向转矩，能持续运转。这种有刷电机在重载条件下，电刷很容易磨损，必须经常进行更换，而且换向器和电刷之间会产生火花，导致发热，缩短电机的使用寿命，因此无刷电机应用而生。再者，励磁线圈也可被具有很高磁场能量的强稀土磁体代替，形成永磁电机，与同等绕制定子型直流电动机相比，体积小、成本低。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org6a38916}]{Field Controlled DC Motor Model}
\note{接下来分析一下励磁电机的物理模型。电机的气隙磁通 phi 与励磁电流 i 成正比，也就是，励磁电流越大，磁场强度越大，这直接决定了电机输出扭矩 T m 的大小。此外，电机输出扭矩 T m 还跟电枢电流 i a 成正比，可以用这一式子来表达。其中，K 1 和 K f 是比例系数。对于磁场控制式电机，电流 I a 固定，如果将其与K 1 和 K f 统一成一个常数 K m，称为电机常数，这样电机的输出扭矩只与励磁电流I f有关。这一公式是电机实现机电能量转换的重要纽带。}
\begin{columns}[t]
\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{itemize}
\item The air-gap flux of the motor is proportional to the field current,provided that the field is unsaturated, so that
\end{itemize}
\[\Phi = K_f i_f\]\vspace{-2em}
\begin{itemize}
\item The torque developed by the motor is assumed to be related linearly to \(\Phi\) and the armature current as follows:
\end{itemize}
\[T_m=K_1\Phi i_a = K_1 K_f i_f i_a\]\vspace{-2em}
\begin{itemize}
\item Field current controlled motor: \(i_a\) is fixed.
\end{itemize}
\[T_m(s)=(K_1k_fi_a)I_f(s)=K_mI_f(s)\]
\end{column}
\begin{column}{0.4\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=102, viewport=128 428 292 612, clip,scale=0.9]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org3337fac}]{Field Controlled DC Motor Model}
\begin{itemize}
\item The field current is related to the field voltage
\end{itemize}
\[V_f(s)=(R_f+L_f s)I_f(s)\]\vspace{-2em}
\begin{itemize}
\item The motor torque relationship
\end{itemize}
\[T_m(s)=T_L(s)+T_d(s)\]\vspace{-2em}
\begin{itemize}
\item The load torque is related to the angular position.
\end{itemize}
\[T_L(s)=Js^2\theta(s)+bs\theta(s)\]

\note{我们接着进一步分析电机的电路模型，我们直接对相关变量进行拉氏变换，在复数域进行分析。在激励磁场电路中，将电感等效为电阻，列出激励电压与激励电流的关系式。机械传动角度来看，电机输出扭矩与负载扭矩和扰动扭矩平衡，但通常情况下可以忽略扰动扭矩。负载扭矩与负载之间遵循牛顿第二定律，直接列出负载扭矩与输出轴角位移之间的关系式。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org9a6e9d9}]{Field Controlled DC Motor Model}
\begin{itemize}
\item When the disturbance torque is zero \(T_d=0\) , the transfer function from the field voltage to the angular position is
\end{itemize}
\begin{align*}
\frac{\theta(s)}{V_f(s)} & = \frac{\theta(s)}{\cancel{T_L(s)}} \frac{\cancel{T_m(s)}}{\cancel{I_f(s)}} \frac{\cancel{I_f(s)}}{V_f(s)}\\
& = \frac{1}{Js^2+bs}K_m \frac{1}{R_f+L_fs} \\
& = \frac{K_m / (JL_f)}{s(s+b/J)(s+R_f/L_f)} = \frac{K_m/(bR_f)}{s(\tau_f s+1)(\tau_L s +1)}\\
& {\rm where}\ \tau_f = \frac{L_f}{R_f},\ \tau_L = \frac{J}{b}.\ {\rm In\ general},\ \tau_L > \tau_f
\end{align*}
\begin{center}
\includegraphics[page=103, viewport=104 548 472 612, clip,scale=0.8]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}


\note{综合前面各式，在不考虑扰动力矩的情况下，输出轴角位移与激励电压之间的传递函数可以依次写出，角度比电压可以分解成三项之积，角度比扭矩，乘以扭矩比电流，再乘以电流比电压，这三项分别对应前面推导出的三个关系，依次代入并化简即可得到磁场控制式电机的传递函数。针对这一表达式，从系统的输入端开始，励磁电压通过励磁电路输出励磁电流，励磁电流乘以电机常数输出电机扭矩，电机扭矩减去扰动扭矩输出负载扭矩，负载扭矩除以 J s 加 b得到输出轴的转速，再经积分s分之一得到输出轴的角位移，由此构成了磁场控制式直流电机的框图模型。这是典型的开环控制系统，电机转速受负载的影响较大，一般而言，负载增大时转速会降低，跟我们爬坡时速度会降低道理是一样的，这一点我们后面会进一步分析。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org62d9349}]{Armature Controlled DC Motor Model}
\note{当固定励磁电流i f，控制变量改为电枢电流i a时，电机变为电枢控制式直流电机。电机的输出扭矩仍然可以用电机常数乘以控制电流来表达。电枢电流通过调节电枢回路的输入电压来改变，这里需要注意，旋转电枢会产生一个感应电动势，与电枢电压极性相反，被称为反电动势，因此，作用于电枢回路的有效电压应该是控制电压减去反电动势。对于给定的电机而言，反电动势的大小只取决于转子的转速，其比例系数为K b。由此得到电枢电流与控制电压及电机转速之间的关系。最后跟磁场控制式直流电机模型推导一样，直接列出负载扭矩与输出轴角位移之间的关系式。同时，忽略扰动扭矩，负载扭矩与电枢电流成正比，比例系数为电机常数。}

\begin{columns}
\begin{column}{0.7\columnwidth}
\begin{itemize}
\item \(i_f\) is fixed and \(i_a\) is the the control variable
\item The motor torque is
\end{itemize}
\[T_m(s)=(K_1K_fi_f)I_a(s)=K_m I_a(s)\] \vspace{-2em}
\begin{itemize}
\item The armature current is related to the input voltage applied to the armature as
\end{itemize}
\[V_a(s)=(R_a+L_as)I_a(s)+V_b(s)\]\vspace{-2em}
\begin{itemize}
\item In the above, \(V_b\) is the back electromotive force voltage that is proportional to the motor speed.
\end{itemize}
\[V_b(s) = K_b\omega(s) = K_b s \theta(s)\]\vspace{-2em}
\begin{itemize}
\item The armature current is thus
\end{itemize}
\[I_a(s)=\frac{V_a(s)-K_b \omega(S)}{R_a+L_as}\]\vspace{-1.2em}
\begin{itemize}
\item The load torque equation is
\end{itemize}
\[T_L(s)=Js^2 \theta(s) +bs\theta(s) = T_m(s) - T_d(s) = K_m I_a(s)\]
\end{column}
\begin{column}{0.3\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=102, viewport=128 428 292 612, clip,scale=0.8]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org25678a5}]{Armature Controlled DC Motor Model}
\begin{itemize}
\item The position \(\theta(s)\) is
\end{itemize}
\[\theta(s)= \frac{T_L(s)}{Js^2+bs}=\frac{K_m}{Js^2+bs}I_a(s)=\frac{K_m}{Js^2+bs}\left[\frac{V_a(s)-K_bs \theta(s)}{R_a+L_as}\right]\]\vspace{-1.2em}
\begin{itemize}
\item The transfer function becomes
\end{itemize}
\[\frac{\theta(s)}{V_a(s)}=\frac{K_m}{s[(R_a+L_as)(Js+b)+K_bK_m]}=\frac{K_m}{s(s^2+2\zeta \omega_n s +\omega_n^2)}\]\vspace{-1.2em}
\begin{itemize}
\item For many motors the time constant of the armature \(\tau_a = L_a/R_a\) is negligible, leading to
\end{itemize}
\[G(s)=\frac{\theta(s)}{V_a(s)}=\frac{K_m}{s[R_a(Js+b)+K_bK_m]}=\frac{[K_m/(R_bb+K_bK_m)]}{s(\tau_1s+1)}\]
\[\tau _1=\frac{R_aJ}{R_ab+K_bK_m}\]

\note{有了以上的推导结论，可以列出输出轴的角位移表达式，称项合并同类项后，可以得出传递函数的表达式。许多电机的时间常数涛 a 小到可以忽略，这时传递函数的形式可以得到进一步简化。这一推导过程略有些繁琐，但只要细心，都可以推导出来。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org10805fb}]{Armature Controlled DC Motor Model}
\begin{itemize}
\item The block diagram of an armature controlled DC motor
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[page=104, viewport=144 508 480 612, clip,scale=0.9]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\begin{itemize}
\item Power balance 功率平衡
\begin{itemize}
\item The motor torque constant is the same as the back emf constant \(K_m=K_b\)
\item The electrical power input to the rotor: \(V_bi_a=K_b \omega i_a\)
\item The mechanical power delivered to the shaft: \(T\omega =K_mi_a \omega\)
\end{itemize}
\end{itemize}
\note{由前面的推导可以画出电枢控制电机的框图模型。电枢控制电压减去反电动势经过电枢回路和机电能量转换的电机常数输出了电机扭矩，这是第一个框，电机扭矩减去扰动扭矩输出负载扭矩，负载扭矩通过牛顿第二定律输出电机转速，这是第二个框，从转速引出，经过反电动势系数反回到输入端，转速再经积分得到输出轴的角位移。考虑到电机的稳定工作状态和功率平衡，也就是输入电机的功率与电机输出到输出轴的功率相等，因此根据这两等式，很容易得出电机常数就等于反电动势系数。这一结论表明，反电动势尽管消耗了电路中的电能，但它并不是一种能量损失，相反，它是实现能量有效转换的重要因素，反电动势的大小意味着电机将输入总能量向有用能量转化的本领的强弱。还有一点需要注意，这一框图显示电枢控制电机具有反馈回路，但它并非是闭环控制系统，要实现电机速度的闭环控制，还需单独引入测速反馈环节。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org5d205d3}]{Impulse response and transfer function}
\[f_\varepsilon\left(t\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac1\varepsilon,-\frac\varepsilon2\leq t\leq\frac\varepsilon2,\varepsilon>0\\0,\text{otherwise}\end{array}\right.\]
\centering
\begin{center}
\includegraphics[height=0.7\textheight]{./3.pdf}
\end{center}

\note{前面我们也讲到过脉冲函数的概念，这里我们再回顾一下。重要的是我们要探讨脉冲响应与传递函数之间的关系。单位脉冲函数是定义在零到伊普西龙小量之间、高度为伊普西龙分之一的狭长矩形条带，而且要求伊普西龙无限趋于零，脉冲函数在正负无穷之间的积分为一。对于一个线性时不变系统，当输入一个脉冲信号时，系统的响应将随着时间的延长而不断衰减，直到消失。就像我们打针时，扎针的一瞬间感觉很痛，但过一定时间就没感觉了，这就是脉冲响应的特点。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org85cd8d3}]{Arbitary input function, x(t) and response}
\centering
\begin{center}
\includegraphics[height=0.5\textheight]{./4.pdf}
\end{center}

\begin{itemize}
\item Strength of whack at time \(\tau\)     \[x(\tau)\cdot d\tau\]\vspace{-1.2em}
\item Response of whack from last time at time \(t\)  \[dy\left(t\right)=x\left(\tau\right)d\tau\cdot g\left(t-\tau\right)\]\vspace{-1.5em}
\item Response of \(x(t)\), \alert{CONVOLUTION}  \[y\left(t\right)=\int_{-\infty}^t x\left(\tau\right)g\left(t-\tau\right)d\tau = x\left(t\right)\ast g\left(t\right), \tau \leq t\]
\end{itemize}

\note{如果系统的输入是一个任意信号 x t，如右图所示。我们可以把它分成很多份，单拿涛时刻的某一份出来研究，显然可以将其看成一个脉冲，这一脉冲所包围的面积反映了脉冲作用的强度，假设单位脉冲的响应函数为g t。根据左图，过去涛时刻的单位脉冲在提时刻的响应，跟当下作用一个单位脉冲，在提减涛时刻的响应应该是一样的，这样，过去涛时刻脉冲的面积乘以单位脉冲在提时刻的响应，就是信号曲线上涛时刻的某一脉冲在提时刻的响应。信号曲线由无数个这样的脉冲构成，线性时不变系统又具有叠加性，因此式子两端进行积分，即可得到任意信号在提时刻的时域响应y t。右式的积分形式即是卷积的定义。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org9836cb5}]{Transfer function}
\centering
\begin{center}
\includegraphics[height=0.4\textheight]{./5.pdf}
\end{center}

\begin{itemize}
\item The transfer function of a linear system is defined as the ratio of the Laplace transform of the output variable to the Laplace transform of the input variable, with all intial conditions assumed to be zeros.
\end{itemize}

\[G(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \mathscr{L}(g(t))\]

\note{基于前面的分析，在时域内，任意信号卷积系统的单位脉冲响应即可得到系统的输出，如果对应一关系进行拉氏变换，可以发现，输入信号的拉氏变换乘以单位脉冲响应的拉氏变换，即可得到系统输出的拉氏变换，结合前面传递函数的概念，我们发现，传递函数与单位脉冲响应拉氏变换是等效的。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org34eba3d}]{Example 1}
\centering
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{./9.pdf}
\end{center}
\[m\ddot y\left(t\right)+ky\left(t\right)=x\left(t\right)=\delta\left(t\right)\]
\[ms^2Y\left(s\right)+kY\left(s\right)=1\]
\begin{itemize}
\item \textcolor{red}{impulse response}
\end{itemize}
\[y\left(t\right)=\mathscr{L}^{-1}\left[Y\left(s\right)\right]=\frac1{\sqrt{km}}\sin\left(\sqrt{\frac km}\cdot t\right)=g\left(t\right)\]

\note{仍以质量弹簧系统为例，注意这里没考虑阻尼。如果系统受到的外力是单位脉冲力德尔塔提，对系统进行拉氏变换，解出 y s后再进行拉氏反变换，查拉氏变换表，很容易得出其响应函数y t，也就是我们要求的系统单位脉冲响应函数g t，它与系统传递函数是等效的。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org387a1e7}]{What if ramp input u(t)=t?}
\begin{itemize}
\item The transfer function and impulse-response function of LTI system contain the same information about the system dynamics
\end{itemize}

\note{刚才这个系统，如果输入的作用力是信号是t，分别用卷积的方法和传递函数方法求系统的输出响应，可以看出，两者本质上是一致的。}
\begin{columns}[t]
\begin{column}{0.45\columnwidth}
\begin{block}{Time domain}
\[t\ast\frac1{\sqrt{km}}\cdot\sin\left(\sqrt{\frac km} \cdot t\right)\]
calculated by mathematica 
\[y\left(t\right)=\frac{m\left[\sqrt{\frac{k}{m}} \cdot t - \sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot t\right)\right]}{k\sqrt{km}}\]
\end{block}
\end{column}
\begin{column}{0.45\columnwidth}
\begin{block}{\(s\) domain}
\[\frac1{s^2}\cdot\left(\frac1{ms^2+k}\right)\]
inverse Laplace transform by mathematica 
\[y\left(t\right)=\frac tk-\frac{\sqrt m\cdot \sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}} \cdot t\right)}{k^{\frac32}}\]
\end{block}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org6e862bc}]{Block Diagram Models}
\begin{itemize}
\item \emph{Dynamical control systems}: represented in terms of simultaneous differential equations
\item \emph{Laplace transform} \(\to\) a set of linear algebraic equations
\item \emph{Transfer function}: governs the input-output relationship
\item Graphical representation of transfer function and cause-and effect relationship: \alert{block diagram}
\item The block diagram representation of the system relationships is prevalent in control system engineering.
\item Block diagrams consist of unidirectional operational blocks that represent the transfer function of the variables of interest.
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[page=111, viewport=100 508 460 616, clip,scale=0.75]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\note{由前面的介绍我们知道，动态控制系统通常可用一组联立的微分方程组进行表达，再通过拉氏变换将其转化为线性代数方程组进行求解，结果既包括非零初始条件导致的输出，也包括外加激励输入导致的输出，如果考虑系统的零初始条件，传递函数则是建立输入输出关系的重要纽带。总之，前面是基于数学推导得出系统的传递函数。接下来我们讨论如何通过图示的方式研究传递函数或者输入输出之间的因果关系，这种方式就是方框图。用方框图表示系统变量之间的关系在控制系统工程中应用非常广泛，构成方框图的方框代表了感兴趣变量之间的传递函数。此外，方框图里还有信号线、比较点、引出点等构成要素，比如这是一个典型的负反馈控制系统的方框图。它实质上是系统原理图与传递函数两者的综合，可以清楚地表示出系统的结构和各部分信号的流向、传递关系。}
\end{frame}



\begin{frame}[label={sec:org46edaf8}]{Block Diagram Transformations 方框图变换}
\note{方框图的提出可以极大简化系统模型的建立过程，这张表罗列了方框图等效变换的基本规则。根据这些规则可以对一个给定系统的方框图模型加以简化，得到由比较少的方框构成的框图。由于传递函数是对线性系统的数学描述，所以满足乘法交换率。规则一，对于两个方框串联的情况，最终的输出 x 3等于第二个方框的输入x 2乘以方框所代表的传递函数 G 2，而第二个方框的输入也是第一个方框的输出，所以 X 2等于X 1乘以第一个方框所代表的传递函数G 1。因此X 3和X 1之间串联的两个方框可以简化为一个方框，简化结果就是串联两方框传递函数的乘积。规则2，求和点后移，为不改变原有的输出结果，需要在后移支路上新增方框，其传递函数应该等于求和点后移前，求和点后方框内的传递函数。规则五，求和点前移，则需要在前移支路上也新增方框，方框内的传递函数应该是求和点前移之前，求和点前方框内传递函数的倒数。}
\begin{center}
\includegraphics[page=110, viewport=60 292 476 436, clip,scale=0.8]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\begin{center}
\includegraphics[page=110, viewport=60 112 476 172, clip,scale=0.8]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\begin{example}[Combining blocks in cascade]
\[X_{3}(s)=G_{2}(s) X_{2}(s)=G_{2}(s) G_{1}(s) X_{1}(s)\]\vspace{-1.2em}
\end{example}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orga4b8447}]{Block Diagram Transformations}
\begin{center}
\includegraphics[page=110, viewport=60 172 476 292, clip,scale=0.8]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\begin{center}
\includegraphics[page=110, viewport=60 54 476 112, clip,scale=0.8]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\note{规则三和规则四都是关于引出点移动的，本质上都是一样的。规则三，引出点前移时，应该在引出支路上新增方框，其传递函数等于引出点前移前，引出点前支路上的传递函数，只有这样，引出点的值才不会改变。同样，规则四，引出点后移时，为保证引出点的值不会改变，引出支路上需要新增方框，其传递函数应该是引出点后移前，引出点后传递函数的倒数。规则六是对反馈回路的化简，这是方框图能被化简的重要原因，可以看出，反馈回路化简后只留下一个方框，得到了明显简化。接下来我们对规则六进行详细推导演算。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org5c816ca}]{Feedback loop -- Rule 6}
\note{对于反馈回路系统，可能是正反馈，也可能是负反馈。输入信号与反馈信号比较后的偏差信号为E a，这一偏差作为输入进入到方框G，得到了输出信号X 2，将偏差输出代入这个式子，进行移项合并同类项，将输出置于等式左端，输入置于等式右端，注意这里符号变化，由正负变成了负正，由此式很容易等到输出与输入的比值，即反馈回路的传递函数，消去了原来的反馈回路，简化成一个方框。这就是方框图变换的第六条规则。}

\begin{columns}[t]
\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{itemize}
\item For the feedback loop system, the actuation signal is
\end{itemize}
\[E_a(s)=X_1(s)\pm B(s)=X_1(s)\pm H(s)X_2(s)\]\vspace{-2em}
\begin{itemize}
\item The output is
\end{itemize}
\[X_2(s)=G(s)E_a(s)=G(s)[X_1(s)\pm H(s)X_2(s)]\]\vspace{-2em}
\begin{itemize}
\item or
\end{itemize}
\[X_2(s)[1\mp G(s)H(S)]=G(s)X_1(s)\]

\begin{center}
\includegraphics[page=110, viewport=196 54 316 112, clip,scale=1.2]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}

\begin{column}{0.4\columnwidth}
\begin{itemize}
\item The closed-loop transfer function relating the output to the input is
\end{itemize}
\[\frac{X_2(s)}{X_1(S)}=\frac{G(s)}{1\mp G(s)H(s)}\]

\begin{center}
\includegraphics[page=110, viewport=348 80 460 108, clip,scale=1.2]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org4931ec3}]{Block Diagram Reduction 方框图化简}
\begin{itemize}
\item Consider the multi-loop feedback control system
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[page=112, viewport=144 484 512 612, clip,scale=0.9]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\begin{itemize}
\item Through some manipulations (block diagram reductions), the system becomes a simplified block diagram
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[page=113, viewport=244 364 476 400, clip,scale=0.9]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\note{利用方框图等效变换规则，我们可以对复杂框图进行化简操作。比如有这样一个多回路反馈控制系统的框图模型，经过一番方框图变换操作，可以将其简化成一个方框，也就是系统的传递函数。接下来我们讨论是如何实现的。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org78ca699}]{Block Diagram Reduction}
\begin{center}
\includegraphics[page=113, viewport=64 404 396 612, clip,scale=0.9]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\note{这个示例非常简单，并未涉及求和点和比较点的移动，只涉及了反馈回路的消去化简。首先通过引出点后移得到a 图，从内往外分析，G 3、 G 4、H 1构成了正反馈回路，利用规则六进行消去操作，消去正反馈回路后，与G 2串联，再与上面的回路构成负反馈回路，又可进行消去操作，这就是b图的状态。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orgb643098}]{Block Diagram Reduction}
\begin{center}
\includegraphics[page=113, viewport=20 332 244 400, clip,scale=0.9]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\begin{center}
\includegraphics[page=113, viewport=244 332 476 400, clip,scale=0.9]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\note{对b图的负反馈回路消去化简后形成了c图的状态，很显然，这又是一个负反馈回路，按规则六直接进行化简操作即可。这一例子虽非常简单，但足以说明方框图变换在其化简操作中的重要作用。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org1ae7864}]{Block Diagram Application}
\begin{center}
\includegraphics[page=100, viewport=148 480 320 612, clip,scale=0.8]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\begin{center}
\includegraphics[height=0.5\textheight]{./440716545.jpg}
\end{center}

\note{前面介绍的都是理论知识，对于方框图化简我们也没有体会到其真正的实用价值。我们以前面介绍过的一个双质量块机械系统为例，看如何通过方框图变换的方式，绕开微分方程建模、求解的繁琐步骤，直接推导出其传递函数来。总体来看，系统的输入是载荷 R，输出可以考虑速度一或速度二，为跟教材上的例子一致，这里我们考虑速度一作为输出。针对这一系统，我们首先需要画出系统方框图来，对于质量块一，有三个输入，一个是驱动载荷R，另外一个相当于反馈载荷阻力一和二，这两个阻尼力均与速度有关，阻尼力一与质量块一和二的速度差有关，阻尼力二与质量块二的速度有关，所以在质量块一的输入端有一个求和点，一个是输入载荷R，另外两个是来自阻尼b 1和b2的负反馈载荷，求和后的载荷除以质量块一的质量得到加速度，再除以s，相当于对加速度进行积分而输出质量块一的速度v 1，中间经过的方框里传递函数即是M 1 s 分之一。}<1>
\note{速度一在传给质量块二的过程中，是通过阻尼一输出的阻力来实现的，而这一阻尼力是与质量块一和质量块二的速度差有关的，因此在进入阻尼一之前也有一个求和点，计算两个质量块的速度差，速度二会在此求和点进行负反馈。质量块二除受阻尼力一作用外，还要受弹簧力的作用，所以进入质量块二之前，还有一个求和点，是阻尼力一与弹簧反作用力求和，求和后的合力除以质量块二的质量，再除以s，就是质量块二的速度，这一速度需要直接反馈到阻尼一前进行求和运算，另外还需要积分后与弹性常数相乘反馈到质量块二之前进行求和，如此一来，这个框图就画好了。接下就就是对方框图进行化简，得到系统输出的速度一对输入载荷的传递函数。}<2>
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgeb3a685}]{Signal-Flow Graph Models}
\note{如果只要直观而完整地表示受控变量与输入变量之间的关系，前面介绍的方框图就足以胜任，但是对于关联关系复杂的系统，框图化简的难度同样很大，因此描述系统变量之间关联关系的另一种替代方法应用而生，该方法由梅逊提出，以节点间的线段为基本描述手段，被称为信号流图，其最大的优点是，无需对图本身进行化简或变换，只要根据信号流图的增益计算公式，也就是梅逊公式，即可方便地给出系统变量间的信号传递关系，也就是系统的传递函数。方框图里，方框代表系统传递函数，定向线段代表信号，求和点实现信号的混合运算；信号图里，节点代表信号，定向线段代表系统传递函数。}
\begin{columns}[t]
\begin{column}{0.5\columnwidth}
\begin{itemize}
\item Block diagram 方框图
\begin{itemize}
\item Adequate for the representation of the interrelationships of controlled and input variables
\item Difficult to use for a system with reasonably complex interrelationships
\item \emph{Block}: system
\item \emph{Directed branch}: signal
\item \emph{Summing node}: signal mixing
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{column}


\begin{column}{0.5\columnwidth}
\begin{itemize}
\item Signal-flow graph 信号流图
\begin{itemize}
\item More amenable 适合 to complex systems
\item Mason's formula can be used
\item \emph{Node}: signal
\item \emph{Directed branch}: system
\end{itemize}
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[page=111, viewport=100 508 460 616, clip,scale=0.55]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\begin{center}
\includegraphics[page=114, viewport=148 580 300 612, clip,scale=0.75]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}


\begin{frame}[label={sec:orgfdae708}]{Signal-Flow Graph Models}
\begin{itemize}
\item Signal-flow graph: a diagram consisting of \alert{nodes} that are connected by several \alert{directed branches}
\item All branches leaving a node pass the nodal signal to the output node of each branch
\item The summation of all signals entering a node is equal to the node variable
\item \textbf{Branch}： 支路 a unidirectional path segment, the basic element of a signal-flow graph
\item \textbf{Path}: 通路 a branch or a continuous sequence of branches
\item \textbf{Loop}: 回路 a closed path
\item \textbf{Nontounching}: 不接触回路 two loops are nontouching if they do not have a common node
\end{itemize}

\note{信号流图由节点和连接节点的有向线段构成，是对一组线性关系的图形化表示。离开某个节点的所有支路都会将该节点的信号单向地传输到各个支路对应的输出节点，进入某个节点的所有支路所传输的信号之和就等于该节点的信号。另外有四个重要概念，支路是具有单一方向的线段，是构成信号流图的基本单元，连接彼此关联的节点；通路是指，从一个节点到另外一个节点之间由一条支路或者多条顺序相连的支路构成的路径；回路是指起始节点和终止节点相同，且与其他节点最多相交一次的封闭通路；不接触回路是指不具有公共节点的两个回路。这些概念在梅逊公式里会用到。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orgae5cc27}]{Signal-Flow Graph and Linear System}
\note{考虑下面的代数方程组，我们可以建立其对应的信号流图。输出节点x 1和x 2分别有三条支路指向它，代表了三个信号输入点，包括r 1和r 2，以及它自已，三个支路上的符号代表节点间的传递函数。该系统是双输入、双输出系统，将所有输入变量置于方程右端，输出变量相关项置于左端，经移项合并同类项操作，得到这一线性方程组。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{itemize}
\item Consider the simultaneous algebraic equations
\end{itemize}
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+r_{1}=x_{1} \\
a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+r_{2}=x_{2}
\end{array}
\end{equation*}\vspace{-1.2em}
\begin{itemize}
\item The two input variables are \(r_1\) and \(r_2\) and the two output variables are \(x_1\) and \(x_2\) .
\item Note that
\end{itemize}
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
x_{1}\left(1-a_{11}\right)+x_{2}\left(-a_{12}\right)=r_{1}\\
x_{1}\left(-a_{21}\right)+x_{2}\left(1-a_{22}\right)=r_{2}
\end{array}
\end{equation*}\vspace{-1.2em}
\end{column}

\begin{column}{0.4\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=115, viewport=100 500 236 612, clip,scale=0.95]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}


\begin{frame}[label={sec:orgd36a930}]{Solution by Cramer's rule}
\begin{itemize}
\item Using Cramer's rule results in the solution
\end{itemize}
\[x_1=\frac{(1-a_{22})r_1+a_{12}r_2}{(1-a_{11})(1-a_{22})-a_{12}a_{21}}=\frac{1\cdot (1-a_{22})}{\Delta}r_1+\frac{a_{12}\cdot 1}{\Delta}r_2\]
\[x_2=\frac{(1-a_{11})r_2+a_{21}r_1}{(1-a_{11})(1-a_{22})-a_{12}a_{21}}=\frac{1-a_{11}}{\Delta}r_2+\frac{a_{21}}{\Delta}r_1\]
\begin{itemize}
\item where \(\Delta= (1-a_{11})(1-a_{22})-a_{12}a_{21}=1-a_{11}-a_{22}+a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\)
\end{itemize}
\note{基于克莱姆法则求解线性代数方程组，很容易求得输出变量x 1和x 2，注意输出变量是两输入变量的线性组合，其系数具有特殊的含义。就拿x 1对r 1来说，如果不考虑r 2输入，x 1对r 1的传递函数就是这个系数。我们分析一下这个系数的构成。观察该信号流图，有三个封闭回路，有两个不相交路，分母德尔塔就等于，一减去所有封装回路的传递函数，再加上所有不接触封闭回路传递函数的乘积。再看分子，分子实质上是两项的乘积，分别是由输入点r 1到输出点x 1之间通路上的传递函数1，剩下的一减去 a 二二实际上来自于德尔塔，将德尔塔中与输入点r 1到输出点x 1之间通路接触的所有回路传递函数置零后剩下的项。同样的方法，我们可以验证一下，第一个式子中r 2的系数来源。梅逊公式即是基于回路、通路传递函数的线性组合而形成的。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orgb53b621}]{Mason's Signal-Flow Gain Formula}
\begin{itemize}
\item The linear dependence \(T_{ij}\) between independent variable (input) \(x_i\) and a dependent variable (output) \(x_j\) is given by
\end{itemize}
\[T_{ij}=\frac{\sum_k P_{ijk}\Delta_{ijk}}{\Delta}\]
\begin{itemize}
\item where 
\begin{itemize}
\item \(P_{ijk}\): \(k\) path from variable \(x_i\) to variable \(x_j\) 第 \(k\) 条前向通向增益
\item \(\Delta\):determinant of the graph 特征式
\item \(\Delta_{ijk}\) : cofactor of the path \(P_{ijk}\) 余因子
\end{itemize}
\end{itemize}

\note{接下我们详细分析一下梅逊公式的表达形式及其使用方法。梅逊公式形式非常简单，反映出独立变量，也就是自变量 x i 到因变量 x j之间的线性依存关系，用符号T i j表示。式子中主要有三项，分子是一个求和形式，表示i节点到j节点之间所有可能的k条通路，要对这k条通路相关的项进行求和操作，每一项又由两项的乘积构成，P i j k表示i节点到j节点之间第k条通路的增益，德尔塔i j k称为余因子，跟分母特征式有关，我们接下来一起介绍。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orga656119}]{Mason's Signal-Flow Gain Formula}
\begin{itemize}
\item The determinant 特征式
\end{itemize}
\begin{align*}
\Delta& =1-\sum_{n-1}^{N}L_n+\sum_{m=1,q=1}^{M,Q}L_mL_q-\sum L_rL_sL_t+\cdots\\
& =1-(\mbox{sum of all different loop gains} )\\
& +(\mbox{sum of the gain products of all combinations of 2 nontouching loops})\\
& -(\mbox{sum of the gain products of all combinations of 3 nontouching loops}) \\
& +\cdots
\end{align*}
\begin{itemize}
\item The cofactor \(\Delta_{ijk}\) 余因子 is the determinant with the loops touching the \(k\)-th path removed.
\end{itemize}

\note{先说分母特征式。特征式表示为这一长串公式，公式虽然长，但意义明确，表示一减去所有不同回路的增益之和，加上所有两两互不接触回路增益乘积的和，减去所有三个互不接触回路增益乘积的和，一直这样正、负交替加减下去，分子上的余因子是特征式中，删除所有与第k条通路相接触的回路增益项之后剩下的余因式。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orgb476a7b}]{Signal-Flow Graph Example 1}
\begin{itemize}
\item Problem: determine the transfer function of the two-path signalflow graph.
\end{itemize}

\note{下面举几个例子，说明如何利用梅逊公式求解系统的传递函数。先看这一个两通路信号流图。很显然，由输入到输出，有两条通路，有四个封闭回路，注意中间这个大环并不构成回路，箭头方向不是从起点又回到起点，分别列出通路增益和回路增益。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.4\columnwidth}
\begin{itemize}
\item Two paths 两物通路
\end{itemize}

\begin{equation*}
\begin{aligned}
P_1 & =G_1G_2G_3G_4\\
P_2 & =G_5G_6G_7G_8
\end{aligned}
\end{equation*}

\begin{itemize}
\item \alert{Four loops} 四物回路
\end{itemize}

\begin{equation*}
\begin{aligned}
L_1 & =G_2H_2\\
L_2 & =G_3H_3\\
L_3 & =G_6H_6\\
L_4 & =G_7H_7
\end{aligned}
\end{equation*}
\end{column}

\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=116, viewport=220 188 432 344, clip,scale=0.95]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org9768522}]{Signal-Flow Graph Example 1}
\note{接下来计算特征式和余因子。信号流图中只有4个两两不接触的回路，分别是一、三，一、四，二、三和二、四，所以可以轻易列出特征式。余因子来自于特征式，也与信号传递通路有关。通路一对应的余因子是，将特征式中，与通路一接触的回路一和二去除，之后只剩下一减去三、四回路增益的和。通路二对应的余因子是，将特征式中，与通路二接触的二、四回路都去除，之后只剩下一减去一、二回路增益的和。将相关数值代入即可得到最终系统的传递函数。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{itemize}
\item Determinant
\end{itemize}
\[\Delta=1-L_1-L_2-L_3-L_4+L_1L_3+L_1L_4+L_2L_3+L_2L_4\]
\begin{itemize}
\item Nontouching loops
\end{itemize}
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\Delta_1 & =1-(L_3+L_4)\\
\Delta_2 & = 1-(L_1+L_2)\\
\frac{Y(s)}{R(s)} & = \frac{P_1 \Delta_1 +P_2 \Delta_2 }{\Delta}\\
& = \frac{G_1G_2G_3G_4(1-L_3-L_4)+G_5G_6G_7G_8(1-L_1-L_2)}{1-L_1-L_2-L_3-L_4+L_1L_3+L_1L_4+L_2L_3+L_2L_4}
\end{aligned}
\end{equation*}
\end{column}
\begin{column}{0.4\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=116, viewport=220 188 432 344, clip,scale=0.7]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgf9e09d8}]{Signal-Flow Graph Example 2}
\begin{itemize}
\item The armature-controlled DC motor
\end{itemize}
\begin{figure}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8, every node/.style={transform shape}]
\bStartC{$V_{d}(s)$}{Z}
\bSignC{$1$}{A}{}
\bGainC{$T_{m}(s)$}{$G_{1}(s)$}
\bCircleUp{1}{$T_{d}(s)$}{-1}{}
\bGainC{$T_{L}(s)$}{$1$}
\bGainC{}{$G_{2}(s)$}
\bFeedBackC{A}{$-K_{b}$}{(-4.5,-1.8)}{-150}{-30}
\bEndC{$\frac{1}{s}$}{$\theta(s)$}
\end{tikzpicture}
\caption{The signal-flow graph of the armature-controlled DC motor}\label{chap2:32}
\end{figure}

\note{这个例子是电枢控制电机模型的信号流图。只有一个通路，一个回路，计算非常简单。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org3fe2c87}]{Signal-Flow Graph Example 2}
\begin{itemize}
\item Forward path gain:\(\displaystyle P_1(s)=\frac{1}{s}G_1(s)G_2(s)\)
\item Loop gain:\(L_1(s)=-K_bG_1(s)G_2(s)\)
\item Determinant: \(\Delta=1-L_1(s)=1+K_bG_1(s)G_2(s)\)
\item Transfer function
\end{itemize}
\[T(s)=\frac{\Theta}{V_a(s)}=\frac{P_1(s)}{\Delta(s)}=\frac{(1/s)G_1(s)G_2(s)}{1+K_bG_1(s)G_2(s)}=\frac{K_m}{s[(R_a+L_as)(Js+b)+K_aK_m]}\]

\note{这里是计算结果，这里就不展开了。可以看出，比前面介绍的公式推导法要简单许多。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org8f944fc}]{Signal-Flow Graph Example 3}
\begin{figure}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8, every node/.style={transform shape}]
\bStartC{$R(s)$}{Z}
\bSignC{$1$}{A}{}
\bSignC{$G_{1}$}{B}{}
\bSignC{$G_{2}$}{C}{}
\bSignC{$G_{3}$}{D}{}
\bSignC{$G_{4}$}{E}{}
\bFeedBackC{D}{$-H_{4}$}{(-0.9,-0.8)}{-160}{-20}
\bSignC{$G_{5}$}{F}{}
\bFeedBackCUp{C}{$G_{7}$}{(-2.5,1.2)}{50}{130}
\bFeedBackC{B}{$-H_{2}$}{(-3.25,-2.1)}{-130}{-50}
\bSignC{$G_{6}$}{G}{Y(s)}
\bFeedBackC{E}{$-H_{1}$}{(-1.8,-1.0)}{-150}{-30}
\bFeedBackC{A}{$-H_{3}$}{(-4.8,-3.1)}{-120}{-60}
\bFeedBackCUp{E}{$G_{8}$}{(-1.6,0.5)}{30}{150}
\end{tikzpicture}
\caption{Multiple-loop system}\label{chap2:33}
\end{figure}

\note{这个例子复杂很多，需要非常细心才行，否则很容易出错。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orga9a9ff7}]{Signal-Flow Graph Example 3}
\begin{itemize}
\item Three forward paths
\end{itemize}
\begin{equation*}
\begin{aligned}
P_1 & =G_1G_2G_3G_4G_5G_6\\
P_2 & =G_1G_2G_7G_6\\
P_3 & =G_1G_2G_3G_4G_8
\end{aligned}
\end{equation*}

\begin{figure}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8, every node/.style={transform shape}]
\bStartC{$R(s)$}{Z}
\bSignC{$1$}{A}{}
\bSignC{$G_{1}$}{B}{}
\bSignC{$G_{2}$}{C}{}
\bSignC{$G_{3}$}{D}{}
\bSignC{$G_{4}$}{E}{}
\bFeedBackC{D}{$-H_{4}$}{(-0.9,-0.8)}{-160}{-20}
\bSignC{$G_{5}$}{F}{}
\bFeedBackCUp{C}{$G_{7}$}{(-2.5,1.2)}{50}{130}
\bFeedBackC{B}{$-H_{2}$}{(-3.25,-2.1)}{-130}{-50}
\bSignC{$G_{6}$}{G}{Y(s)}
\bFeedBackC{E}{$-H_{1}$}{(-1.8,-1.0)}{-150}{-30}
\bFeedBackC{A}{$-H_{3}$}{(-4.8,-3.1)}{-120}{-60}
\bFeedBackCUp{E}{$G_{8}$}{(-1.6,0.5)}{30}{150}
\end{tikzpicture}
\end{figure}

\note{有三条通路，我们可以找一下。G 一至六，G 一、二、七、六，G 一、二、三、四、八。它们的传递函数分别是P 1，P 2，P 3。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orgf700ac8}]{Signal-Flow Graph Example 3}
\note{困难的是找回路，有八条回路，很容易漏掉。我们可以按这里列的顺序分别找出来，并计算这些回路的传递函数。}
\begin{center}
\includegraphics[page=119, viewport=96 40 468 168, clip,scale=0.8]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\begin{itemize}
\item Eight loops
\end{itemize}
\begin{columns}
\begin{column}{0.5\columnwidth}
\begin{equation*}
\begin{aligned}
L_1 & =-G_2G_3G_4G_5H_2\\
L_2 & =-G_5G_6H_1\\
L_3 & =-G_8H_1\\
L_4 & =-G_7H_2G_2
\end{aligned}
\end{equation*}
\end{column}
\begin{column}{0.5\columnwidth}
\begin{equation*}
\begin{aligned}
L_5 & =-G_4H_4\\
L_6 & =-G_1G_2G_3G_4G_5G_6H_3\\
L_7 & =-G_1G_2G_7G_6H_3\\
L_8 & =-G_1G_2G_3G_4G_8H_3
\end{aligned}
\end{equation*}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org8a5ccbc}]{Signal-Flow Graph Example 3}
\begin{itemize}
\item Determinant
\end{itemize}
\[\Delta=1-(L_1+L_2+L_3+L_4+L_5+L_6+L_7+L_8)+(L_5L_7+L_5L_4+L_3L_4)\]\vspace{-2em}
\begin{itemize}
\item Cofactors
\end{itemize}
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\Delta_1 & =1\\
\Delta_2 & =1-L_5\\
\Delta_3 & =1
\end{aligned}
\end{equation*}\vspace{-2em}
\begin{itemize}
\item Transfer function
\end{itemize}
\[T(s)=\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{P_1+P_2\Delta_2+P_3}{\Delta}\]\vspace{-1.2em}
\begin{center}
\includegraphics[page=119, viewport=96 40 468 168, clip,scale=0.7]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\note{接下找两两不接触的回路，之后代入梅逊公式计算即可。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org981930a}]{Summary}
\begin{itemize}
\item Theme of the chapter: quantitative mathematical models of control components and systems
\item Topics that have been discussed:
\begin{itemize}
\item Differential equations based on physical principles
\item Linearization though a Taylor series expansion
\item Transfer function through Laplace transform
\item Time responses:
\begin{itemize}
\item natural response + forced response
\item Transient response + steady-state response
\end{itemize}
\item Poles and zeros
\item Block diagram
\item Signal-flow graph and Mason's formula
\end{itemize}
\end{itemize}
\note{本章主要研究了控制系统及其组件的数学建模问题。具体的主题包括，能够描述物理系统动态特性的微分方程，对非线性控制系统或组件，在工作点附近通过泰勒级数展开进行线性化近似处理，通过拉氏变换将线性微分方程转化为代数方程进行求解，得出系统的时域响应。其时域响应可以分为初始条件导致的自然响应和外载作用下的受迫响应，也可以分为瞬态响应和稳态响应。通过拉氏变换得出系统传递函数的重要概念，依据传递函数零极点分布决定系统对各种输入的响应特性。本章还介绍了两种图示法求解系统传递函数的方法，分别是方框图和信号流图。}   
\end{frame}

\section{Feedback Control System Characteristics}
\label{sec:orge67bcbc}

\begin{frame}[label={sec:org478bf50}]{Chapter 4 Contents}
\begin{itemize}
\item Introduction
\item Error signal (偏差信号) analysis
\item Sensitivity (灵敏度) of control system to parameter variations
\item Disturbance signals (干扰信号) in a feedback control system
\item Control of the transient response (瞬态响应) of control systems
\item Steady-state error (稳态误差)
\item The cost of feedback (反馈成本）
\item Summary
\end{itemize}

\note{对于控制系统，引入负反馈之后，可以有效利用偏差信号对系统实施控制。因此本章首先引入了系统偏差或跟踪误差的概念。总体来讲，控制的目的就在于使偏差信号最小化。此外，为减小元器件参数变化对系统的影响，本章还将讨论系统对参数变化的灵敏度的概念；实际操作中，也存在干扰及噪声影响，我们也希望其影响能降至最低，我们将讨论如何利用反馈方式来改善系统性能，从而抑制干扰信号，衰减噪声影响，最后会介绍系统的瞬态响应调节和稳态误差。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgb7b0402}]{Introduction}
\begin{itemize}
\item An \emph{open-loop control sytem}  with a disturbance input \(Y(s)=G(s)R(s)\)
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[page=258, viewport=144 48 480 132, clip,scale=0.7]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\begin{itemize}
\item If a satisfactory response is not provided, the open-loop system is modified, known as \emph{open-loop control}
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[page=259, viewport=36 524 464 612, clip,scale=0.7]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\definecolor{grey}{RGB}{0,0,255}
\begin{block}{}
\textbf{An open-loop system operates without feedback and directly generates the output in response to an input signal.} 
\end{block}

\note{开环系统结构简单，但是精度低。在开环系统中，干扰信号Td(s)能够直接作用并影响到输出信号，因此，开环系统对于干扰信号和传递函数 G(s) 中的参数变化高度敏感。如果开环系统的输出不能另人满意，可以通过在受控对象G(s)前面串联一个控制器Gc(s)，对其输出进行调控，称为开环控制。所以，开环系统在没有反馈的条件下工作，根据输入信号直接产生输出响应。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgc186707}]{Closed-Loop Feedback System}
\begin{itemize}
\item A closed-loop control system with the disturbance input \(T_{d}(s)\) and noise attenuation input \(N(s)\)
\end{itemize}
\definecolor{grey}{RGB}{0,0,255}
\begin{block}{}
\textbf{A closed-loop systems uses a measurement of the output signal and a comparison with the desired output to generate an error signal that is applied to the actuator.}
\end{block} 
\note{与开环系统相比，闭环系统将观测得到的输出信号与预期的输出信号进行比较，产生偏差信号，并通过控制器来调节执行机构。闭环系统一般具有负反馈，虽然增加了系统的复杂程度，但也提高了系统的性能。闭环系统主要靠偏差进行调节控制。对于反馈系统，由于元件的惯性或者负载的惯性，很容易引起振荡，使系统不稳定。精度和稳定性之间的矛盾始终是闭环系统要解决的主要矛盾之一。}
\begin{columns}[b]
\begin{column}{0.35\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=259, viewport=188 188 388 332, clip,scale=0.7]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\begin{column}{0.65\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=259, viewport=108 48 464 176, clip,scale=0.7]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgc09bced}]{Advantages of Closed-Loop Feedback}
\begin{itemize}
\item Decreased sensitivity of the system to variations in the parameter of the process (减少系统对参数变化的灵敏度)
\item Improved rejection of the disturbances (提高系统抗干扰能力)
\item Improved measurement noise attenuation (提高系统抑制测量噪声能力)
\item Improved reduction of the steady-state error of the system (减小系统的稳态误差)
\item Easy control and adjustment of the transient response of the system (易于调整系统的瞬态响应)
\end{itemize}
\note{闭环系统主要通过以下方式提升系统性能：(1) 减少系统对参数变化的灵敏度，(2) 提高系统抗干扰能力，(3) 提高系统抑制测量噪声的能力，(4) 减小系统的稳态误差，(5) 易于调整系统的瞬态响应。本章将引入偏差信号的概念，着重讨论如何通过引入反馈方式改善控制系统的性能。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org63e26a1}]{Error Signal Analysis}
\begin{itemize}
\item A representative closed-loop feedback system
\begin{itemize}
\item Command input \(R(s)\)
\item Disturbance \(T_d(s)\)
\item Measurement noise \(N(s)\)
\item Output \(Y(s)\)
\end{itemize}
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[page=259, viewport=108 60 464 176, clip,scale=0.85]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\note{对于一个闭环反馈控制系统，有输入信号R(s)，在系统运行过程，由于各种原因，比如元件老化、环境变化等因素影响，会产生干扰信号Td(s)，同时，测量元件等传感器还可能有测量噪声信号N(s)，在上述三种信号的综合作用下，系统产生的输出信号为Y(s)。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org96b472a}]{Error Signal Analysis}
\begin{itemize}
\item The tracking error (跟踪误差) \(E(s)\) is defined as: \(E(s)=R(s)-Y(s)\)
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[page=259, viewport=108 60 464 176, clip,scale=0.85]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\begin{itemize}
\item For a unity feedback system
\end{itemize}
\[Y(s)=\frac{G_c(s)G(s)}{1+G_c(s)g(s)}R(s)+\frac{G(s)}{1+G_c(s)G(s)}T_d(s)-\frac{G_c(s)G(s)}{1+G_c(s)G(s)}N(s)\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item The error is thus \[E(s)=\frac{1}{1+G_c(s)G(s)}R(s)-\frac{G(s)}{1+G_c(s)G(s)}T_d(s)+\frac{G_c(s)G(s)}{1+G_c(s)G(s)}N(s)\]
\end{itemize}

\note{干扰信号和测量噪声信号的存在，系统的输出信号与我们期望的输出信号可能存在偏差，我们定义这个偏差信号为E(s)。为了便于讨论，这里我们考虑一种特殊的反馈系统——单位负反馈系统，即反馈环节传递函数为一。根据线性叠加原理，令输入信号、干扰信号和测量噪声信号中的某两个为零，利用方框图化简方法求另外一个信号作为输入时的系统输出，比如干扰作为输入时，前向通路上的传递函数为Gs，开环增益为GcG，所以干扰导致的输出为系统输出表达式中的中间一项。将这三种信号导致的输出信号叠加在一起得到系统的总输出。然后，根据跟踪误差公式，可以求得系统的跟踪误差，我们发现，系统的跟踪误差与输入信号、干扰信号和测量噪声信号都有关系。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orga5bdb94}]{Error Signal Analysis}
\begin{itemize}
\item Define the \emph{loop gain} (开环增益) of the closed-loop system as
\end{itemize}
\[L(s)=G_c(s)G(s)\]
\vspace{-1.6\baselineskip}
\begin{itemize}
\item The tracking error becomes
\end{itemize}
\[E(s)=\frac{1}{1+L(s)}R(s)-\frac{G(s)}{1+L(s)}T_d(s)+\frac{L(s)}{1+L(s)}N(s)\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item The sensitivity （灵敏度函数） and complementary sensitivity （补灵敏度函数）are
\end{itemize}
\[S(s)=\frac{1}{1+L(s)}, \quad C(s)=\frac{L(s)}{1+L(s)}\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item Fundamental limitation: \(L(s)+C(s)=1\) for all \(s\)
\end{itemize}

\note{这里我们引入闭环系统的开环传递函数的定义，在单位反馈条件下，开环传递函数L=GcG，此时开环传递函数与前向通路传递函数相同。在控制系统分析中，开环传递函数L(s)起着非常重要的作用。基于开环传递函数可以对系统跟踪误差进行改造，形成这样一个表达式。接下来，我们定义一个新的函数，灵敏度函数S，形式如下，与其对应的是补灵敏度函数C。很容易发现，灵敏度函数与补灵敏度函数之和等于1。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org708b63d}]{Error Signal Analysis}
\begin{itemize}
\item The tracking error is reformulated as
\end{itemize}
\begin{equation*}
\begin{split}
E(s)&=\frac{1}{1+L(s)}R(s)-\frac{G(s)}{1+L(s)}T_d(s)+\frac{L(s)}{1+L(s)}N(s)\\
&=S(s)R(s)-S(s)G(s)T_d(s)+C(s)N(s)
\end{split}
\end{equation*}
\vspace{-0.8\baselineskip}
\begin{itemize}
\item For a given \(G(s)\), to reduce the influence of the disturbance \(T_d(s)\), a large desire \(L(s)\) is desired
\item This implies that the controller \(G_c(s)\) should be designed to be large over the important range of frequencies
\end{itemize}
\note{引入开环传递函数后，系统的跟踪误差可以改写成输入信号、干扰信号、测量噪声信号和灵敏度函数、补灵敏度函数的形式。可以发现，当受控对象G给定时，要使系统跟踪误差最小，就必须减小灵敏度函数和补灵敏度函数，而这两者都与控制器传递函数有关，且受到两者和为一的约束，因此干扰和噪声很难同时抑制。因此对控制系统进行分析设计的任务之一就是要选择、设计合适的控制器。根据跟踪误差公式可知，开环传递函数在干扰信号的频率范围内尽可能大，会降低干扰信号的影响，因此，在不改变被控对象本身的情况下，增加控制器增益是比较好的办法。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org905d255}]{Error Signal Analysis}
\begin{itemize}
\item The tracking error is reformulated as
\end{itemize}
\begin{equation*}
E(s)=\frac{1}{1+L(s)}R(s)-\frac{G(s)}{1+L(s)}T_d(s)+\frac{L(s)}{1+L(s)}N(s)
\end{equation*}
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item Conversely, to attenuate the measurement noise \(N(s)\) and reduce the influence on the tracking error \(E(s)\), we desire \(L(s)\) to be small
\item This implies that the controller \(G_c(s)\) should be small over the important range of frequencies
\item Fortunately, the apparent conflict can be addressed in the design phase by making \(L(s)\) large at low frequencies and small at high frequencies
\end{itemize}
\note{相反，为了衰减测量噪声对跟踪误差的影响，我们希望开环传递函数在测量噪声的频率范围内尽可能小，这就要求减小控制器的增益。很明显，在设计控制器时，抑制干扰和衰减测量噪声是两个相互冲突的设计要求。幸运的是，在实际应用中，由于干扰信号的频率通常处于低频段，而测量噪声的频率通常处于高频段，因此这一看似两难的问题存在合理的解决方案，即通过设计合理的控制器，使开环传递函数在低频段的增益尽可能大，而在高频段尽可能小。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org23a7d7d}]{Sensitivity of Control Systems to Parameter Variations}
\begin{itemize}
\item A process \(G(s)\) is subject to a changing environment, aging, ignorance of the exact values of the process parameters, and other factors that affect a control process
\item In the open-loop system, all these errors and changes result in a changing and inaccurate output
\item A closed-loop system senses the change in the output due to the process changes and attempts to correct the output
\item For a unity feedback system, the output is
\end{itemize}
\[Y(s)=\frac{G_c(s)G(s)}{1+G_c(s)g(s)}R(s)+\frac{G(s)}{1+G_c(s)G(s)}T_d(s)-\frac{G_c(s)G(s)}{1+G_c(s)G(s)}N(s)\]

\note{无论传递函数所表示的对象是什么元器件，它都将受到相关因素的影响，如变化的使用环境、元器件的老化、无法确定精确的控制器过程参数等等。对于开环控制系统，这些误差或变化将直接导致系统的输出发生改变，降低系统精度。而对于闭环控制系统，由于反馈的存在，会对这些误差或者变化导致系统的输出误差进行感知和校正，保持系统的精度。我们前面已经讨论过，单位反馈控制系统的输出信号与输入信号、干扰信号和测量噪音都有关系，这个表达式表达的非常清楚。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orga31d724}]{Sensitivity of Control Systems to Parameter Variations}
\begin{itemize}
\item For the closed loop case , \(G_c(s)G(s) \gg 1\) for all complex frequencies of interest, then the output is approximately equal to the input
\end{itemize}
\[Y(s) \approx R(s)\]
\vspace{-1.7\baselineskip}
\begin{itemize}
\item The high gain, however, may induce oscillatory response and even instability
\item The first advantage of a feedback system is that the effect of the variation of the parameters of the process \(G(s)\) is reduced
\end{itemize}

\note{对于闭环控制系统，在感兴趣的频率范围内，如果开环增益远大于1，不考虑干扰和测量噪声时，我们发现输出信号近似等于输入信号，系统的输出和输入就非常接近。但是开环增益远大于1又可能会导致系统高度振荡，甚至不稳定。这也是闭环系统精度和稳定性之间的矛盾。然而，这一结论还是非常有用的，即增加系统的开环增益，能够降低受控对象变化对系统输出的影响，这就是系统灵敏度的概念。控制系统对受控对象参数变化的灵敏度是其非常重要的系统特性之一，闭环反馈控制系统的一个重要优点就是能够降低系统的灵敏度。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgc2c6ef1}]{Sensitivity and Parameter Variations}
\begin{itemize}
\item Assume that the process is subject to parameter variation (Ignoring \(T_{d}(s)\) and \(N(s)\))
\end{itemize}
\[G(s)\to G(s)+\Delta G(s)\]
\vspace{-1.7\baselineskip}
\begin{itemize}
\item The error is
\end{itemize}
\[E(s) \to E(s)+\Delta E(s)\]
\vspace{-1.7\baselineskip}
\begin{itemize}
\item In the closed-loop case,
\end{itemize}
\[E(s)=\frac{1}{1+G_c(s)G(s)}R(s)\]
\[E(s)+ \Delta E(s)=\frac{1}{1+G_c(s)[G(s)+\Delta G(s)]}R(s)\]

\note{如前所述，变化的使用环境、元器件的老化、无法确定精确的控制器过程参数等等，均可能导致受控对象的传递函数由理论模型G变成实际模型G加Delta G，接下来，我们讨论传递函数变化Delta G对跟踪误差可能产生的影响。根据线性叠加原理，我们暂先不考虑干扰和测量噪声，而单独考虑Delta G和参考输入对跟踪误差的影响。对于单位反馈闭环系统，未引入Delta G时，系统的跟踪误差为这一表达式，而引入Delta G变化后，系统的跟踪误差发生变化，误差变化为delta E。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org6f39ddc}]{Sensitivity and Parameter Variations}
\begin{itemize}
\item The change in the error is
\end{itemize}
\[\Delta E(s) = \frac{-G_c(s) \Delta G(s)}{(1+G_c(s)G(s)+\cancel{G_c(s)\Delta G(s)})(1+G_c(s)G(s))}R(s)\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item When \(G_c(s)G(s)\gg G_c(s)\Delta G(s)\)
\end{itemize}
\[\Delta E(s) \approx \frac{-G_c(s)\Delta G(s)}{(\cancel{1}+L(s))^2}R(s)\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item The change in the tracking error is reduced by the factor 1+L(s), which is generally greater than 1 over the range of frequencies of interest.
\item For large L(s),
\end{itemize}
\[\Delta E(s) \approx -\frac{1}{L(s)}\frac{\Delta G(s)}{G(s)}R(s)\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item Large magnitude \(L(s)\) translates into smaller change in the tracking error, i.e., reduced sensitivity.
\end{itemize}

\note{将上述两个公式进行相减运算，经过整理，就可以得到闭环系统跟踪误差的变化Delta E。通常的情况下，传递函数的变化非常小，因此略去误差变化式中分母里的Gc Delta G，系统跟踪误差的变化可以化简成这个式子。当开环传递函数远大于一时，再略去分母中是一，分子、分母再同时乘以G，跟踪误差变化量又可近一步简化为这个公式，显然，开环增益越大，跟踪误差变化量越小，也就是降低了系统灵敏度。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orge71f048}]{System Sensitivity (系统灵敏度)}
\begin{itemize}
\item The system sensitivity is defined as the ratio of the percentage change in the system transfer function to the percentage change of the process transfer function.
\item The system transfer function is
\end{itemize}
\[T(s)=\frac{Y(s)}{R(s)}\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item and the sensitivity is defined as
\end{itemize}
\[S=\frac{\Delta T(s)/T(s)}{\Delta G(s)/G(s)}\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item In the limit,
\end{itemize}
\[S(s)=\frac{\partial T/T}{\partial G/G}=\frac{G(s)}{T(s)} \frac{\partial T(s)}{\partial G(s)}=\frac{\partial \ln T(s)}{\partial \ln G(s)}\]

\note{由前述定义的灵敏度函数式可知，开环传递函数的幅值越大，灵敏度函数的值就越小。对于控制系统，我们的目标是降低系统对受控对象变化的灵敏度，下面我们定义一下控制系统的灵敏度。系统灵敏度定义为系统传递函数的变化率与受控对象传递函数的变化率之比。系统的传递函数为T，受控对象的传递函数为G，根据定义，系统灵敏度S应为这一表达式。当增量Delta T和Delta G无限小时，取其极限形式，则系统灵敏度S可以改写成这种极限形式。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org17f574c}]{System Sensitivity}
\begin{itemize}
\item System sensitivity is the ratio of the change in the system transfer function to the change of a process transfer function (or parameter) for a small incremental change.
\item For the open-loop system T(s) = G(s) and \(S(s) = 1\).
\item For the closed-loop system,
\end{itemize}
\[T(s)=\frac{G_c(s)G(s)}{1+G_c(s)G(s)}\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item Therefore
\end{itemize}
\[S^T_G=\frac{\partial T}{\partial G}\cdot\frac{G}{T}=\frac{1}{1+G_c(s)G(s)}\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item The sensitivity of the system can be reduced below that of the open-loop system by increasing \(Gc(s)G(s)\) over the frequency range of interest.
\end{itemize}

\note{换个说法，系统的灵敏度是指，当变化量为微小增量时，系统传递函数的变化率与受控对象传递函数的变化率之比。显然，对开环系统传递函数，受控对象的变化直接影响系统的变化，因此系统灵敏度为1。而对于单位闭环反馈系统，根据其传递函数，按系统灵敏度的定义可以得到闭环系统灵敏度表达式。可以看出，在特定的频率范围内，通过增加系统开环传递函数的幅值，总是能够使闭环系统的灵敏度小于1，也就是能小于开环系统的灵敏度。因此，闭环系统减少了系统对参数变化的灵敏度。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgf160099}]{Sensitivity to Parameter Variations}
\begin{itemize}
\item Let \(\alpha\) be a parameter within G(s). Then \(S^T_{\alpha}=s^T_G S^G_{\alpha}\) Indeed,
\end{itemize}
\[S^T_{\alpha}=\frac{\partial T}{\partial \alpha}\frac{\alpha}{T}=\frac{\partial T}{\partial G}\frac{\partial G}{\partial \alpha}\frac{\alpha}{G}\frac{G}{T}=S^T_G S^G_{\alpha}\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item Suppose a fraction of the form of \(T(s)\)
\end{itemize}
\[T(s,\alpha)=\frac{N(s,\alpha)}{D(s,\alpha)}\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item Then
\end{itemize}
\[S^T_{\alpha}=\frac{\partial \ln T}{\partial \ln \alpha}=\frac{\partial \ln N}{\partial \ln \alpha}\Bigg|_{\alpha_0}-\frac{\partial \ln D}{\partial \ln \alpha}\Bigg|_{\alpha_0}=S^N_{\alpha}-S^D_{\alpha}\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item where \(\alpha_0\) is the nominal value of the parameter.
\end{itemize}

\note{更多时候，我们需要知道的信息是系统对受控对象中某一参数的灵敏度，比如alpha参数是我们感兴趣的参数。根据链式法则，可以得到系统对受控对象中参数alpha的灵敏度，T对alpha的灵敏度可以写成T对G的灵敏度与G对alpha的灵敏度的乘积。系统的传递函数一般可以写成分式的形式。根据微小增量形式的系统灵敏度定义，得出系统对参数alpha的灵敏度，可以写成分子与分母对参数alpha灵敏度的差，其中alpha 0是参数alpha的正常值。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org94aa53b}]{Sensitivity to Parameter Variations (Example)}
\begin{itemize}
\item Consider the case \(G_c(s)=1\), \(G(s)=\displaystyle \frac{s+\alpha}{s^2+2s+4}\) and H(s)=1.
\item The closed-loop transfer function is
\end{itemize}
\[T(s)=\frac{G_c(s)G(s)}{1+G_c(s)G(s)H(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)}=\frac{s+ \alpha}{s^2+3s+4+ \alpha}\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item The sensitivity of the system
\end{itemize}
\[S_G^T=\frac{1}{1+G(s)}=\frac{s^2+2s+4}{s^2+3s+4+\alpha}\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item Also the sensitivity of G(s) with respect to \(\alpha\) is
\end{itemize}
\[S^G_\alpha=\frac{\alpha}{G(s)}\frac{\partial G(s)}{\partial \alpha}=\frac{\alpha}{s+\alpha}\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item Based on the chain rule, the sensitivity with respect to the parameter \(\alpha\)
\end{itemize}
\[S^T_\alpha=S^T_G \cdot S^G_\alpha=\frac{s^2+2s+4}{s^2+3s+4+\alpha}\cdot \frac{\alpha}{s+\alpha}\]

\note{下面我们通过一个简单的示例，来说明一下控制系统对受控对象参数变化灵敏度的计算。根据已知条件，可求得该闭环反馈系统的传递函数T(s)，根据系统灵敏度的定义，首先计算系统对受控对象的灵敏度S T G，然后计算传递函数G(s)对参数alpha的灵敏度，再根据链式求导法则，可以得到系统对受控对象G(s)中参数alpha的灵敏度S T alpha。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org8b466ea}]{Sensitivity to Parameter Variations (Example)}
\begin{itemize}
\item The closed-loop transfer function is
\end{itemize}
\[T(s)=\frac{s+ \alpha}{s^2+3s+4+ \alpha}\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item Fraction form of \(T(s)\)
\end{itemize}
\[T(s,\alpha)=\frac{N(s,\alpha)}{D(s,\alpha)}\]
\vspace{-0.5\baselineskip}
\[N(s,\alpha)=s+\alpha, \quad D(s,\alpha)=s^2+3s+4+\alpha\]
\vspace{-1.6\baselineskip}
\begin{itemize}
\item Hence,
\end{itemize}
\[S^T_{\alpha}=S^N_{\alpha}-S^D_{\alpha}=\frac{\alpha}{s+ \alpha }-\frac{ \alpha }{s^2+3s+(4+ \alpha )}=\frac{\alpha (s^2+3s+4)}{(s+ \alpha )(s^2+3s+4+ \alpha )}\]

\note{还是刚才的例子。我们还可以将系统的传递函数写成分式，分子多项式、分母多项式分别表示为N和D，分别计算它们对参数alpha的敏感度，两者之差即为系统所求。可以发现，两种求解方式得到的系统对受控对象中参数alpha的灵敏度是相同的。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orge37dc33}]{Sensitivity of Feedback Amplifier}
\begin{center}
\includegraphics[page=264, viewport=144 44 480 156, clip,scale=0.85]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\begin{itemize}
\item For the open-loop amplifier,
\begin{itemize}
\item The output voltage is \(v_0=-K_av_{in}\)
\item The transfer function is \(T=-K_a\)
\item The sensitivity to changes in the amplifier gain is \(s^T_{K_a}=1\)
\end{itemize}
\end{itemize}

\note{接下来我们讨论反馈放大器的灵敏度。在引入反馈环节后，控制系统能够降低受控对象参数变化可能造成的影响，这是反馈控制系统的重要优势之一。对于开环系统而言，为了保证系统精度，选择设计受控对象G(s)时，必须非常谨慎，以确保能够满足性能指标设计要求。而对于闭环系统而言，由于开环传递函数能够降低系统对受控对象变化的灵敏度，因此对被控对象本身的要求就可以不那么严格了。在通信领域中，设计电子放大器时，就充分体现了闭环系统的这一优点。对于应用广泛的放大器，其开环增益为负Ka，开环使用时，放大器对增益变化的灵敏度为1，也就是说受控对象的变化对系统输出的影响较大。}
\end{frame}


\begin{frame}[label={sec:orge4f5613}]{Sensitivity of Feedback Amplifier}
\begin{center}
\includegraphics[page=265, viewport=20 488 447 612, clip,scale=0.85]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\begin{itemize}
\item For the closed-loop amplifier (with feedback), let \(\beta=R_2/R_1\)
\begin{itemize}
\item The closed-loop transfer function of the feedback amplifier is
\end{itemize}
\[T=\frac{-K_a}{1+K_a \beta }\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item The sensitivity of the closed-loop feedback amplifier is
\end{itemize}
\end{itemize}
\[S^T_{K_a}=\frac{1}{1+K_a \beta}\]
\vspace{-\baselineskip}

\note{现在引入分压器Rp为该放大器增加反馈环节，增加了反馈环节的放大器框图模型如右图所示，也可以用这个信号流图或方框图表示。可以求得该反馈放大器的闭环传递函数，然后根据系统灵敏度公式求得系统的灵敏度，很明显，增益Ka越大，反馈放大器的灵敏度越小。例如，当放大倍数为一万，调整beta为0.1时，系统灵敏度约为千分之一，这说明，在引入反馈环节后，控制系统的灵敏度降低，系统能够降低受控对象参数的变化可能造成的影响。}
\end{frame}


\begin{frame}[label={sec:org5bcb157}]{Disturbance Signals in a Feedback Control System}
\begin{itemize}
\item A disturbance signal is an unwanted input signal that affects the system's output signal.
\item Feedback systems: the effect of disturbances can be effectively reduced.
\item When R(s)=0 and N(s)=0,
\end{itemize}
\[E(s)=-\frac{G(s)}{1+L(s)}T_d(s)=-{S(s)}{G(s)}T_d(s)\]
\vspace{-0.5\baselineskip}
\begin{itemize}
\item For a fixed \(G(s)\) and a given \(T_d(s)\), as the loop gain \(L(s)\) increases, the effect of \(T_d(s)\) on the tracking error decrease.
\item Large loop gain leads to good disturbance rejection.
\item For good disturbance rejection, we require a large loop gain over the frequencies of interest with the expected disturbance signals.
\end{itemize}

\note{干扰信号是能够影响系统输出但又不希望出现的一种输入信号，干扰信号是不可避免的，许多控制系统中都存在强烈的干扰信号，导致系统不能够产生精确的输出响应，比如，电子放大器中集成电路或者晶体管自身的固有噪声、雷达天线的阵风干扰，以及许多系统中存在的非线性元件导致的信号失真等。在控制系统中引入反馈环节可以降低系统的灵敏度，同时还有另一个重要作用，控制或者部分消除干扰信号的影响。}<1>
\note{根据线性叠加原理，这里我们暂不考虑输入信号R(s)和测量噪声N(s)的影响，只考虑干扰信号作用下系统的跟踪误差E(s),可以看出，当受控对象和干扰信号都已经给定时，开环传递函数L(s)越大，干扰信号对跟踪误差的影响程度越小。这说明开环传递函数L(s)越大，抑制干扰信号的能力越强。更精确的说法是，为了获得良好的抗干扰能力，在干扰信号的频率范围内，必须具有较大的开环增益。}<2>
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org1456fa8}]{Disturbance Signals in a Feedback Control System}
\begin{itemize}
\item In practice, the disturbance signals are often low frequency. Thus, it is desired to design the controller \(G_c(s)\) so that the sensitivity function S(s) is small at low frequencies.
\item Consider the steel rolling mill（轧钢机）
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[page=266, viewport=148 164 332 236, clip,scale=1.2]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\note{实际上，干扰信号一般处于低频段，因此，从抑制干扰信号的角度出发，开环传递函数应该在低频段保持较大的增益。也就是说，为了获得较小的灵敏度函数，在选择设计控制器时，应该使开环传递函数在低频段保持较大的增益。以轧钢机转速控制系统为例，我们来分析干扰信号对系统的影响，并验证反馈对干扰信号的抑制能力。当钢板通过轧辊时，将导致系统负载产生巨大变化，这一变化可以视为系统的干扰信号。就像图上所显示的，当钢板还没有进入轧机时，轧机没有负载；当钢板进入轧机时，轧机的负载将立即达到很大值，负载的这一变化过程很快，可以近似描述成一个阶跃干扰扭矩信号。以轧钢机转速控制系统为例，我们来分析干扰信号对系统的影响，并验证反馈对干扰信号的抑制能力。}
\end{frame}


\begin{frame}[label={sec:orga65bb7c}]{Disturbance Effect (Open-Loop Case)}
\begin{center}
\includegraphics[page=266, viewport=148 44 456 148, clip,scale=0.9]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\begin{itemize}
\item The error is E(s): \(E(s)=R(s)-\omega (s)\)
\item Consider \(R(s) = 0\), then
\end{itemize}
\[E(s)=-\omega (s)=\frac{1}{Js+b+(K_mK_b/R_a)}T_d(s)\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item For a step load torque \(T_d(s)=D/s\), the final value of \(e(t)\)
\end{itemize}
\[e(\infty)=\lim_{t \to \infty} e(t)=\lim_{s \to 0} sE(s)=\lim_{s \to 0} s\frac{1}{Js+b+(K_mK_b/R_a)}\frac{D}{s}=\frac{D}{b+(K_mK_b/R_a)}=-\omega_o (\infty)\]

\note{这张图给出了电枢控制式直流电机在扭矩干扰输入时的方框图模型，该控制模型为开环控制。令输入信号为零，可以得到由于负载干扰信号导致的转速偏差。利用终值定理，可以求得由于负载扭矩干扰信号导致的转速稳态误差，由于阻尼系数、电机常数、反电动势及电枢电阻等参数基本上都比较小，因此稳态误差不会太小。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org4a80bcd}]{Disturbance Effect (Closed-Loop Case)}
\begin{itemize}
\item In closed-loop control, a controller (amplifier) and sensor (tachometer) are added.
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[page=267, viewport=104 48 472 172, clip,scale=0.8]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\begin{itemize}
\item The system becomes \(G_1(s)=\frac{K_aK_m}{R_a}\) , \(G_2(s)=\frac{1}{Js+b}\), \(H(s)=K_t+\frac{K_b}{K_a}\)
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[page=268, viewport=56 500 508 612, clip,scale=0.8]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\note{现在我们对该开环系统增加一个转速反馈环节，同时将反电动势的反馈求和点前移，使反馈环节变成Kb除以Ka，加上速度反馈，形成两个反馈叠加项H，在干扰输入求和点两端分别记为两个传递函数G1和G2，由此形成的信号流图和方框图模型。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org905044a}]{Disturbance Effect (Closed-Loop Case)}
\begin{itemize}
\item The error \(\displaystyle E(s)=-\omega (s)=\frac{G_2(s)}{1+G_1(s)G_2(s)H(s)}T_d(s)\)
\item If \(G_1(s)G_2(s)H(s)\gg 1\),
\end{itemize}
\[E(s) \approx \frac{1}{G_1(s)H(s)}T_d(s)\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item If \(G_1(s)H(s)\gg 1\), then the effect of disturbance is reduced.
\item Note that (since \(K_a\gg K_b\))
\end{itemize}
\[G_1(s)H(s)=\frac{K_aK_m}{R_a}(K_t+\cancel{\frac{K_b}{K_a}}) \approx \frac{K_aK_mK_t}{R_a}\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item If \(K_a\) is large (high gain), the disturbance response is attenuated (抑制).
\end{itemize}

\note{系统的转速偏差可以表示成这个式子。如果在系统的有效频率范围内，开环增益远大于1,那么误差表达式可以简化为这个表达式。显然，如果G1H足够大，那么源于扭矩干扰的转速偏差将足够小，也就说，闭环反馈系统能够降低干扰信号的影响。考虑到Ka远大于Kb，转速偏差可以进一步简化，此时就只需要保持较大的放大器增益Ka，就能够达到抑制干扰信号的目的。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org4cf7ddf}]{Disturbance Response}
\begin{itemize}
\item When \(R(s) =0\)
\end{itemize}
\[\omega (s)=\frac{-1}{Js+b+(K_m/R_a)(K_tK_a+K_b)}T_d(s)\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item For the closed-loop control system, the steady state output (with respect to step disturbance) is
\end{itemize}
\[\omega_c (\infty)=\lim_{t \to \infty} \omega (t)=\lim_{s \to 0} s\frac{-1}{Js+\cancel{b}+(K_m/R_a)(K_tK_a+\cancel{K_b})}\frac{D}{s} \approx \frac{-R_a}{K_aK_mK_t}D\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item The ratio of closed-loop to open loop steady-state speed output due to an undesirable disturbance is
\end{itemize}
\[\frac{e_c(\infty)}{e_o(\infty)}=\frac{R_ab+K_mK_b}{K_aK_mK_t} (<0.02\; \mbox{in general})\]

\note{对于带有转速反馈环节的系统，输入R(s)为零的情况下，得出系统的输出Omega的表达式，利用终值定理，可以求得闭环系统在阶跃干扰作用的下稳态输出。当放大器增益Ka足够大时，可以得到系统稳态输出的近似式。综上分析，我们可以看出，由于干扰信号导致的闭环系统稳态转速和开环系统的稳态转速之比可表达成这个式，这一比值通常小于0.02。说明相较于开环系统，干扰信号导致的闭环系统转速的稳态误差很小。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org3f116c3}]{Speed Torque Characteristics}
\begin{itemize}
\item The speed-torque curves of the open-loop and closed-loop systems are different.
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[width=0.85\textwidth]{./Figure4-11.png}
\end{center}
\note{这两张图分别给出了闭环系统及开环系统的电机转速-扭矩曲线，充分体现了反馈控制系统的优势。可以看出，闭环系统系统中电机转速-扭矩的3条曲线接近水平，这说明转速基本上没有受到负载扭矩的影响。而开环系统中电机转速-扭矩的3条曲线斜率较大，说明转速受到负载扭矩的影响较大，负载越大，转速越低，直至达到负载极限时转速降为零。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgeac474c}]{Noise Response 噪声的影响}
\begin{itemize}
\item The tracking error
\end{itemize}
\begin{equation*}
\begin{aligned}
E(s)&=\frac{1}{1+L(s)}R(s)-\frac{G(s)}{1+L(s)}T_d(s)+\frac{L(s)}{1+L(s)}N(s)\\&=S(s)R(s)-S(s)G(s)T_d(s)+C(s)N(s)
\end{aligned}
\end{equation*}
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item When \(R(s)=0\) and \(T_d(s)=0\), the corresponidng tracking error is
\end{itemize}
\[E(s)=\frac{L(s)}{1+L(s)}N(s)=C(s)N(s)\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item When \(L(s) \ll 1\)
\end{itemize}
\[C(s)\approx L(s) \quad {\rm and} \quad E(s)\approx L(s)N(s) \]
\begin{itemize}
\item 当开环增益很小时才能抑制噪音
\end{itemize}

\note{再回到跟踪误差的表达式。除了干扰信号，系统还会受到测量噪声的影响。根据线性叠加原理，我们不考虑输入信号和干扰信号时，可以得到测量噪声引起的跟踪误差的表达式。可以看出，当减小系统开环传递函数时，测量噪声对跟踪误差的影响程度也随之降低。也就是说，开环传递函数越小，补灵敏度函数C(s)越小，噪声的影响也越小。如果我们设计的控制器能够使得系统开环传递函数远小于1时，补灵敏度函数也就等于开环传递函数，测量噪声引起的跟踪误差可以近似为测量信号与开环传递函数的乘积。因此，可以说开环传递函数越小，系统衰减测量噪声的能力就越强。更准确的说法是，为了有效衰减测量噪声，在噪声信号的有效频率范围内，必须使开环传递函数保持较小的幅值。实际上，测量噪声信号一般处于高频段。因此，应该使开环传递函数在高频段保持较小的幅值，从而使系统的补灵敏度函数在高频段时幅值偏小。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org2867e0a}]{Input, Disturbance and Measurement Noise Responses}
\begin{itemize}
\item The sensitivity of the system to \(G(s)\)
\end{itemize}
\[S^T_G=\frac{1}{1+G_c(s)G(s)}=\frac{1}{1+L(s)}\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item The effect of the input on the output
\end{itemize}
\[E(s)=\frac{1}{1+G_c(s)G(s)}R(s)=\frac{1}{1+L(s)}R(s)\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item The effect of the Disturbance on the output
\end{itemize}
\[E(s)=\frac{-G(s)}{1+G_c(s)G(s)}T_d(s)=\frac{-G(s)}{1+L(s)}T_d(s)\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item The effect of the noise on the output
\end{itemize}
\[E(s)=\frac{G_c(s)G(s)}{1+G_c(s)G(s)}N(s)=\frac{L(s)}{1+L(s)}N(s)\]

\note{我们列出系统对控制对象的灵敏度，由输入信号、干扰信号和测量噪声信号等引起的系统跟踪误差公式，可以发现增大开环传递函数既可以降低系统对受控对象变化的灵敏度，也能降低对参考输入信号的跟踪误差，还可以减少干扰信号的影响，这也是控制系统中引入反馈环节的主要目的。然后，对于测量噪声，为减小其对系统输出的影响，需要减小开环传递函数。看起来与前面的减小输入信号、干扰信号影响的措施相矛盾。然而，实际上，测量噪声信号一般处于高频段，而干扰信号一般在低频段。这样就为一个看似两难的问题提供了解决的途径，即在选择设计控制器时，应该使其在低频段具有较高的增益，而在高频段具有较小的增益。然而需要指出的是，在某些场合，这样以频率高低为标准的区分方式是不成立的。一旦这种区分方式不再成立，控制系统的设计过程就得变得非常复杂，控制工程师必须精心设计控制器，构建合适的开环传递函数。因此，控制系统设计一定要综合考虑多方面因素，提出折中的设计。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org6aed0b7}]{Control of the Transient Response}
\begin{itemize}
\item The transient response is the response of the system as a function of time.
\item If the open-loop process does not provide a satisfactory response, then the loop transfer function \(G_c(s)G(s)\) must be adjusted.
\item A closed-loop system can often be adjusted to yield the satisfactory response by tuning the feedback loop parameters without replacing the process.
\end{itemize}

\note{下面我们对控制系统瞬态响应的调控进行分析，瞬态响应是控制系统在某一信号作用下其输出量从初始状态到稳定状态的响应过程，通常用关于时间的函数来描述，是控制系统最重要的特性之一。由于控制系统的目的是提供预期的输出响应，因此必须对系统的瞬态响应进行调控，直到满足预期的指标设计要求。就开环控制系统而言，若系统不能产生满意的瞬态响应，就必须改变受控对象的传递函数；当然，也可以通过在受控对象之前串联一个控制器来调整其响应，但还必须精心设计合适的串联传递函数，オ可能得到预期的瞬态响应。相比之下，反馈控制系统只需要调整其控制器及反馈环节的参数即可获得预期的响应。}
\begin{columns}[b]
\begin{column}{0.4\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=259, viewport=220 536 464 612, clip,scale=0.7]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=259, viewport=108 60 464 176, clip,scale=0.7]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}



\begin{frame}[label={sec:orgdf4b75d}]{DC Motor Transient Response}
\begin{center}
\includegraphics[page=270, viewport=148 56 368 168, clip,scale=0.9]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\begin{itemize}
\item The transfer function of the open-loop DC motor from the armature voltage to the motor speed is given by
\end{itemize}
\[\frac{\omega (s)}{V_a(s)}=G(s)=\frac{K_1}{\tau_1 s +1}\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item The gain and time constant are respectively
\end{itemize}
\[K_1=\frac{K_m}{R_ab+K_bK_m}, \quad \tau_1 = \frac{R_aJ}{R_ab+ K_a K_m}\]

\note{为了更好地理解反馈环节如何调控系统的瞬态响应，我们考察一个既可以开环工作，又可以闭环工作的例子。在工业生产过程中，图中所示的转速控制系统常常用来运送材料和产品。例如，在轧钢厂传送和卷动板材时，就多处用到了这种转速控制系统。电枢控制电机的开环传递函数可以写成这个形式，其中增益常数K1和时间常数tau 1分别可以表示成电机相关参数的表达式，其中Km为电动机常数，b为摩擦系数，J为转动惯量，当只考虑电动机的稳定工作状态和功率平衡时，Kb=Km。在轧钢过程中，由于负载的转动惯量非常大，因而需要使用大功率的电枢控制电动机。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgf13e5a0}]{DC Motor Transient Response}
\begin{center}
\includegraphics[page=271, viewport=124 580 416 612, clip,scale=0.9]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\begin{itemize}
\item If the motor is subject to a step input \(\displaystyle V_a(s)=\frac{k_2E}{s}\)
\item The resulting speed response is given by
\end{itemize}
\[\omega (s)=K_aG(s)V_a(s)=\frac{K_aK_1}{\tau_1 s+1}\frac{k_2E}{s}\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item The transient speed response is
\end{itemize}
\[\omega (t) =K_aK_1 (k_2E)\left(1-\exp(-\frac{t}{\tau_1})\right)\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item The time constant \(\tau_1\) is governed by the load inertia. The transient response is difficult to adjust.
\end{itemize}
\note{钢板不接触轧辊时，电动机负载很小，而钢板接触轧辊瞬间，电动机负载变得非常大，因此考虑改变板材卷动转速的指令为阶跃信号，其象函数为s分之k2E，可以得出输出响应，也就是电机转速ommega，经过拉氏反变换，可得输出电动机转速的瞬态响应。可以看出，系统的瞬态响应主要取决于电机的时间常数tau 1。如果这个瞬态响应太慢，在可能的情况下，就需要选择另一种电机，以便提供不同的时间常数。但由于负载的惯量J对时间常数也有非常大的影响，对于开环系统而言，瞬态响应的改善余地其实很小。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org1d71958}]{DC Motor Transient Response}
\begin{center}
\includegraphics[page=271, viewport=104 476 428 556, clip,scale=0.9]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\begin{itemize}
\item Consider the closed-loop case in which a tachometer is used to measure the speed
\item The closed-loop transfer function becomes
\end{itemize}
\[\frac{\omega (s)}{R(s)}=T(s)=\frac{K_aG(s)}{1+K_aK_tG(s)}=\frac{K_aK_1}{\tau_1 s +1+K_aK_tK_1} = \frac{K_aK_t/\tau_1}{s+[(1+K_aK_tK_1)/\tau_1 ]}\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item The resulting speed response is given
\end{itemize}
\[\omega (s)=T(s)V_a(s)=\frac{K_aK_t/\tau_1}{s+[(1+K_aK_tK_1)/\tau_1 ]}\frac{k_2E}{s}\]
\note{如图所示，在开环转速控制系统中增加一个转速计，产生一个与转速成正比的电压信号，再从电位计电压中减去这个电压并将电压差放大，就构成了一个闭环转速控制系统，根据方框图可以求得该闭环转速控制系统的传递函数。我们可以通过调整放大器增益K a，使系统的瞬态响应满足指标设计要求。此外，如果需要，还可以调整转速计的增益Kt。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgc69f3db}]{DC Motor Transient Response}
\begin{itemize}
\item The transient response of the closed-loop system to a step input is
\end{itemize}
\[\omega (t)=\frac{K_aK_1}{1+K_aK_tK_1}k_2E(1-e^{-pt})\quad \mathrm{with} \quad p=\frac{1+K_aK_tK_1}{\tau_1}\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item The amplifier gain may be adjusted to meet the required transient response specifications.
\item When the amplifier gain is sufficient large, the response can be approximated by
\end{itemize}
\[\omega (t) \approx \frac{1}{k_t}k_2E(1-e^{\frac{-K_aK_tK_1t}{\tau_1}})\]
\note{经过拉氏反变换，可得该闭环反馈系统的输出电动机转速的瞬态响应。由于负载量一般比较大，因此很难通过调节电机时间常数tau1来调节瞬态响应，而是最好通过增大K a来调节系统的瞬态响应。当K a、 K t、 K 1远大于1时，得到系统瞬态响应的近似表达式。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org9c2bd99}]{DC Motor Transient Response}
\begin{itemize}
\item Taking \(\tau_1 =10\) and \(K_1K_tK_a =100\), the closed-loop response and the open-loop response can be compared.
\item The closed-loop response is much faster.
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[page=272, viewport=148 416 396 612, clip,scale=0.9]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\note{在典型的实际应用场合，如果开环系统的极点可能是0.10，那么闭环极点至少可以达到10。由此可见，闭环系统的响应速度是开环系统的100倍。需要指出的是，为了得到较大的增益，放大器增益K a必须保持相当大的值，而且电机的电枢电压信号和相应的扭矩信号也会比开环运行时大得多，因此闭环控制系统需要选用大功率的电机，以便避免电机饱和。这张图给出了闭环系统和开环系统的瞬态响应曲线，可以看出闭环系统的瞬态响应快得多。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org8f4a8e8}]{DC Motor Transient Response}
\begin{itemize}
\item Considering this speed control system, compare the sensitivities of the open- and closed-loop systems
\item For the open-loop system, the sensitivity to a variation in the motor constant or the potentiometer constant is unity
\item For the closed-loop system, the sensitivity to a variation in \(K_m\) is
\end{itemize}
\[S_{K_m}^T=S_{G}^TS_{K_m}^G \approx \frac{s+1/\tau_1}{s+(K_aK_tK_1+1)/\tau_1}\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item Using the typical values given in the previous paragraph, we have
\end{itemize}
\[S_{K_m}^T \approx \frac{s+0.1}{s+10}\]
\note{分析本例的转速控制系统的瞬态响应时，有必要分析对比一下开环系统和闭环系统的灵敏度。前面已经提及，开环系统对电机常数K m或电位计常数k 2的灵敏度均为1。闭环系统对电机常数K m的灵敏度为这一表达式。当使用前述的典型值，即tau 1=10且K a Kt K1=100时，闭环系统对电机常数Km的灵敏度为s加10分之s加0.1。由此可见，闭环系统对参数Km的灵敏度是s的函数，随着系统工作频率的变化而变化，必须在不同的频率范围内分析系统的灵敏度。例如，当系统工作频率较低，如频率为1时，灵敏度的幅值近似等于0.1。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org1227bbf}]{Steady State Error}
\begin{itemize}
\item The steady-state error is the error after the transient response has decayed.
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[page=259, viewport=36 524 464 612, clip,scale=0.85]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\begin{itemize}
\item For an open-loop system, ignoring the disturbance signal, the error is
\end{itemize}
\[E_o(s)=R(s)-Y(s)=(1-G_c(s)G(s))R(s)\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item Based on final-value theorem
\end{itemize}
\[\lim_{t \to \infty} e(t)=\lim_{s \to 0} sE(s)\]

\note{接下来看一下稳态误差。反馈控制系统为控制工程师提供了展示他们才华的舞台，他们通过改变反馈控制系统的控制器或者传感器等部件的参数，调整系统的瞬态响应，并显著降低系统的灵敏度及干扰、噪声等的影响，这正是反馈系统的价值所在。除了这些性质，反馈环节还能提高系统的稳态性能。这里我们对比分析开环和闭环系统的稳态误差。所谓稳态误差，指的是瞬态响应消失之后，系统的持续响应与预期响应之间的差值。对于开环系统，当干扰信号为零时，系统的稳态误差为E O S。利用终值定理可以计算出稳态误差的具体值。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgf824424}]{Steady State Error}
\begin{itemize}
\item The steady state error with respect to step input for the open-loop system
\end{itemize}
\[e_o(s)=\lim_{s \to 0} s(1-G_c(s)G(s))\frac{1}{s}=\lim_{s \to 0} (1-G_c(s)G(s))=1-G_c(0)G(0)\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item Note that G\textsubscript{c}(0)G(0) is the dc gain of the process.
\item For the open-loop system, to have a zero steady state error, we must have \(G_c(0)G(0)=1\).
\end{itemize}
\note{根据终值定理，可以求出输入信号为单位阶跃输入时系统的稳态误差。其中，Gc(0)G(0)为直流增益。通常情况下，直流增益远远大于1，因此开环系统的稳态误差比较大。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgdfd568f}]{Steady State Error}
\note{如果是单位闭环系统，当干抗信号和测量噪声均为零时，系统的稳态误差为E C S。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.4\columnwidth}
\begin{itemize}
\item Closed-loop system
\item When \(H(s) = 1\) and ignoring the disturbance signal and measurement noise, the error
\end{itemize}
\[E_c(s) = \frac{1}{1+G_c(s)G(s)}R(s)\]
\end{column}

\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=259, viewport=104 48 460 336, clip,scale=0.65]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org119dc88}]{Steady State Error}
\begin{itemize}
\item The steady state error with respect to step input for the closed-loop system
\end{itemize}
\[e_c(\infty) = \lim_{s \to \infty} s\left(\frac{1}{1+G_c(S)G(s)}\right) \frac{1}{s} = \frac{1}{1+G_c(0)G(0)}\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item For the closed-loop system,to have a small steady state error,we must make the dc gain \(L(0) = G_c(0)G(0)\) as large as possible.
\item It turns out that it is more difficult to maintain the dc gain at 1 than to keep it sufficiently large.
\end{itemize}
\note{当输入为单位阶跃信号时，根据终值定理，可以求出系统的稳态误差。相对而言，开环直流增益会比较大，因此闭环系统稳态误差将会小得多。对于开环系统，只要调节G(s)，使直流增益满足G(0)=1，那么开环系统的稳态误差也会为零。既然如此，在稳态误差控制方面，闭环系统还有什么优势可言？要回答这个问题，我们回到系统灵敏度这个概念本身。对于开环系统而言，固然调整G(s)可以使直流增益为1，但在系统运行过程中，由于环境的变化，G(s)的参数将不可避免地发生变化，从而使直流增益可能不再等于1或者很难一直保持1。由于这是开环系统，如果不重新校准调整G(s)，其稳态误差将发生变化，不再为零。相对而言，将直流增益保持为1的难度要远大于使其保持在较大值的难度。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org939567c}]{Steady-State Error}
\begin{itemize}
\item Considering a unity feedback system: \(G(s) = \frac{K}{\tau s+1}\), \(G_c(s) = \frac{K_a}{\tau_1 s+1}\) and input: \(R(s) = \frac{1}{s}\)
\item For the open-loop system
\end{itemize}
\[e_o(\infty) = 1-G_c(0)G(0) = 1-KK_a\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item When \(KK_a=1\), the steady-error is
\end{itemize}
\[e_o(\infty) = 0\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item For the closed-loop system
\end{itemize}
\[e_c(\infty) = 1-\frac{KK_a}{1+KK_a} = \frac{1}{1+KK_a}\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item When the gain \(KK_a\) is large, like \(KK_a=100\), the steady-error is
\end{itemize}
\[e_c(\infty)=\frac{1}{101}\] 

\note{相比之下，闭环反馈系统却能够持续监控稳态误差，并产生执行信号使之趋于零。考虑到系统容易受到参数漂移、环境变化和校正误差的影响，因此，从控制稳态误差的角度出发，引入闭环负反馈也是非常有益的。闭环系统的优点之一是能够减小由于参数变化和校准误差导致的系统稳态误差。下面用实例对此加以说明，假定某单位负反馈系统受控对象的传递函数的表达式为G s，这可以表示的是热力控制对象，也可也表示电压稳压器或者水位控制对象。可以用单位阶跃信号作为一种典型的预期输入，其拉氏变换为s分之一。当R(s)和K K a具有匹配的量纲时，则开环系统的稳态误差为e o，而闭环系统的误差为e c。调整系统增益，使K K a=1，可以使开环系统的稳态误差为零。对于闭环系统，只要使系统增益K K a保持较大的取值，就能使系统具有较小的稳态误差。例如当K K a=100时，闭环系统稳态误差近似为百分之一。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org4ad511f}]{Steady-State Error}
\begin{itemize}
\item Considering a unity feedback system: \(G(s) = \frac{K}{\tau s+1}\), \(G_c(s) = \frac{K_a}{\tau_1 s+1}\) and input: \(R(s) = \frac{1}{s}\)
\item If the process gain drifts or changes by \(\Delta K/K=0.1\) (a 10\% change)
\item For the open-loop system
\end{itemize}
\[e_o(\infty) = 0 - 0.1 \]
\vspace{-\baselineskip}
\[\Big|\frac{\Delta e_o(\infty)}{r(t)}\Big| = \frac{0.1}{1} = 10\%\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item For the closed-loop system
\end{itemize}
\[e_c(\infty) = 1/91 \quad \mathrm{and} \quad \Delta e_c(\infty) = \frac{1}{101} - \frac{1}{91}\] 
\vspace{-\baselineskip}
\[\Big|\frac{\Delta e_c(\infty)}{r(t)}\Big| = 0.0011 = 0.11\%\]


\note{如果系统增益K发生了漂移或改变，变化量为Delta K，变化率为百分之十，则开环系统稳态误差的变化量为0.1，误差占期望输出值的百分比为10\%。相对而言，对于闭环系统，K原来等于100，当增其同样以百分之十比例减小后，闭环系统的稳态误差变为九十分之一，则闭环系统稳态误差的变化量为delta e c，而其相对变化量仅有百分之零点一一。与开环系统稳态误差的相对变化量百分之十相比，闭环系统稳态误差减小了约两个数量级，由此可见，反馈环节显著改善了系统的稳态性能。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org86f9890}]{The Cost of Feedback}
\begin{itemize}
\item Feedback brings several advantages
\begin{itemize}
\item Sensitivity reduction
\item Transient response improvement
\item Disturbance attenuation
\item Steady-state error minimization
\end{itemize}
\item Feedback suffers the following drawbacks
\begin{itemize}
\item Increased number of components and complexity in the system
\item Loss of gain
\begin{itemize}
\item open-loop: \(G(s)G_c(s)\)
\item closed-loop: \(G(s)G_c(s)/(1+G(s)G_c(s))\)
\end{itemize}
\item Possibility of instability
\item Noise amplification
\end{itemize}
\end{itemize}

\note{控制系统中引入反馈可以带来诸多优点：减少系统对参数变化的灵敏度、易于调整系统的瞬态响应、提高系统抗干扰能力、提高系统抑制测量噪声能力和减小系统的稳态误差等。然而，在控制系统中引入反馈也需要付出一定的代价。引入反馈的第一个明显的代价是增加了部件的数量，提高了系统的复杂度。在设计实现反馈环节时，必须在系统中增加一些反馈器件，其中最为关键的是测量器件（如传感器），而且，在控制系统中，传感器往往是最昂贵的器件。引入反馈的第二个代价是增益的损失。引入反馈的最后一个代价是可能导致系统失稳。即使开环系统是稳定的，相应的闭环系统也可能会失稳。此外，传感器自身特性决定了必然会产生测量噪声，从而影响系统的精度。在绝大多数情况下，相对于引入反馈带来的性能改善，引入反馈的代价也就不值得一提了。正因为如此，反馈系统得到了广泛的应用。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orge5e68be}]{Summary}
\begin{itemize}
\item Benefits of feedback control
\begin{itemize}
\item Decrease in the sensitivity of the system to variations in the parameters of the process \(G_s\)
\item Ease of control and adjustment of the transient response of the system
\item Improvement in the rejection of the disturbances and noises within the system
\item Improvement in the reduction of the steady-state error of the system
\end{itemize}
\end{itemize}

\note{本章的主要介绍了偏差信号在影响反馈控制系统性能方面的作用，包括系统对模型参数不确定性的灵敏度，系统抑制干扰信号的能力和衰减测量噪声的能力，以及系统的瞬态响应和稳态误差等方面的内容。} 
\end{frame}





\section{The Performance of Feedback Control Systems}
\label{sec:orgcafddfc}

\begin{frame}[label={sec:orgb7528d3}]{Chapter 5 Contents}
\begin{itemize}
\item Introduction
\item Test input signals 输入测试信号
\item Performance of a second-order system 二阶系统性能指标
\item Effects of a third pole and a zero on the second-order system response 零点和第三个极点对二阶系统响应的影响
\item The s-plane root location and the transient response s平面上根的位置和系统的瞬态响应
\item The steady-state error of feedback control systems 反馈控制系统的稳态误差
\item The simplification of linear systems 线性系统的简化
\item Summary
\end{itemize}

\note{本章开始我们学习反馈控制系统的性能。首先介绍控制系统的典型输入信号，然后是二阶系统的瞬态响应，建立固有（或自然）频率和阻尼比等系统参数与性能指标之间的定量关系，接下来讨论系统性能与系统传递函数在s平面上零点和极点的位置分布之间的关系，通过引入主导极点的概念，将二阶系统的性能指标扩展到了高阶系统，再分析一下反馈控制系统在单位阶跃、单位速度和加速度三种测试输入信号作用下的稳态误差，最后，讲解高阶系统简化成二阶系统的方法，并对高阶系统的瞬态响应进行分析。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgeee4cc0}]{Introduction}
\begin{itemize}
\item Control systems are inherently dynamic, their performance is usually specified in terms of both the transient response and the steady-state response
\item \emph{Transient response}: the response that disappears with time
\item \emph{Steady-state response}: the response that exists a long time following any input signal initialization
\item \emph{Design specifications}: several time-response indices（时域响应指标） for a specified input command as well as a desired steady-state accuracy
\end{itemize}
\note{控制系统本质上来讲是动态的，通常需要从瞬态响应和稳态响应两个方面来衡量其性能。瞬态响应是指系统响应中随着时间的推移会消失的部分，而稳态响应则是在输入信号激励之后，系统响应中将长期存在的部分。控制系统一般对指定输入信号产生的瞬态时域响应所对应的多个指标提出设计要求，而且也要达到预期的稳态精度。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org76c3bf5}]{Introduction}
\begin{itemize}
\item Given different performance measures, \emph{tradeoffs and compromises} are often needed in finalizing the design
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[page=323, viewport=100 48 408 192, clip,scale=0.95]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\note{在实际控制系统设计中，能够实现的指标设计要求通常是某种折中的结果，比如系统的稳定性和快速性，常常是矛盾的，快速性好的系统可能会有很大的振荡，而稳定性好的系统可能需要更长的时间才能达到稳态。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orge69c2d9}]{Test Input Signals}
\begin{itemize}
\item The system transient or time performance is the response of prime interest for control systems. 系统瞬态或时域性能指标是控制系统主要关注的响应（行为）
\item If the system is stable, the response to a specific input signal provides several measures of the performance.
\item A standard test input signal is normally chosen for the assessment and comparison of system performance.
\item Standard test input signals 标准测试输入信号
\begin{itemize}
\item Unit impulse input 单位脉冲
\item Step input 阶跃输入
\item Ramp input 速度输入（斜坡输入）
\item Parabolic input 加速度输入 （抛物线输入）
\item Sinusoidal input 正弦输入
\end{itemize}
\end{itemize}
\note{系统瞬态或时域性能指标是控制系统主要关注的响应（行为）。如果系统是稳定的，那么就可以用多个性能指标来衡量系统对特定输入信号的响应。但系统的实际输入信号通常是未知的，因此需要选用标准测试输入信号对系统进行测试。典型的测试信号包括脉冲输入信号、阶跃输入信号、斜坡输入信号、加速度输入信号和正弦输入信号等。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org42f5f92}]{Test Signal — unit impulse}
\begin{itemize}
\item The unit impulse is based on the rectangular function \(f_\varepsilon(t)\) such that
\end{itemize}
\[f_\varepsilon(t) = \left\{\begin{array}{cl}
\frac{1}{\varepsilon} & -\frac{\varepsilon}{2} \leq t \leq \frac{\varepsilon}{2} \\
0 & \mathrm{otherwise} 
\end{array} \right.\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item As \(\varepsilon\) approaches zero, the function \(f_\varepsilon(t)\) approaches the unit impulse function \(\delta(t)\)
\end{itemize}
\[\delta(t) = \lim_{\varepsilon \to 0} f_\varepsilon (t)\]

\begin{center}
\includegraphics[width=0.55\textwidth]{./Figure5-2.png}
\end{center}
\note{单位脉冲函数是基于矩形函数定义的，矩形函数可以用分段函数进行定义，其宽度为epsilon，其高度为宽度分之一，以保证其面积为1。当宽度epsilon趋近于0时，矩形函数f(t)就会趋近于单位脉冲函数delta t。该函数的定义在第二章也讨论过。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org4d49b47}]{Other test Signal}
\begin{itemize}
\item Step input 阶跃输入
\end{itemize}
\[r(t) = \left\{\begin{array}{cl}
A & t \geq 0 \\
0 & t < 0 \\
\end{array} \right.\leftrightarrow R(s) = \frac{A}{s}\]
 \vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item Ramp input 速度输入
\end{itemize}
\[ r(t) = \left\{\begin{array}{cl}
At & t \geq 0 \\
0 & t < 0 \\
\end{array} \right.
\leftrightarrow R(s) = \frac{A}{s^2}\]
 \vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item Parabolic input 加速度输入
\end{itemize}
\[r(t) = \left\{\begin{array}{cl}
\frac{1}{2} At^2 & t \geq 0 \\
0 & t < 0 \\
\end{array} \right.\leftrightarrow R(s) = \frac{A}{s^3}\]
 \vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item General input 一般信号输入
\end{itemize}
\[r(t) = \left\{\begin{array}{cl}
\frac{1}{n!} At^n & t \geq 0 \\
0 & t < 0 \\
\end{array} \right.\leftrightarrow R(s) = \frac{A}{s^{n+1}}\]

\note{阶跃函数、斜坡函数、加速度函数的时域表达式和拉氏变换象函数分别如前三式所示。测试信号的一般形式为第四式，其拉普拉斯变换为s n+1次方分之A。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org66a55d7}]{Test Signal selection}
\begin{itemize}
\item How to select the test signals
\end{itemize}
\begin{figure}[htbp]
\centering
\includegraphics[page=324, viewport=144 48 436 144, clip,scale=0.95]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\caption{Test input signals: (a) step 阶跃, (b) ramp 斜坡, and (c) parabolic 加速度.}
\end{figure}
\note{具体选择哪种函数作为测试输入信号，需根据不同系统的具体工作状况和特点而定，如果控制系统的输入量是随时间逐渐变化的，如机床、雷达天线、火炮和控温装置等，可选择斜坡函数作为输入信号；如果控制系统的输入量是冲击量，像导弹发射等场合，选择脉冲函数较为合适，如果控制系统的输入量是随时间发生周期性变化，如机床振动等，可选择正弦函数，如果控制系统的输入量是突然变化的，像突然合电、断电，此时选择阶跃函数为宜。由干阶跃信号最容易产生。也最易与分析计算，所以常被选用来作为性能测试输入信号。对于控制系统的频域分析，常采用正弦信号作为测试输入信号。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org0a2a983}]{First-Order System Response}
\begin{itemize}
\item For a first-order system: \(\displaystyle G(s) = \frac{Y(s)}{R(s)} = \frac{k}{\tau s +1}\)
\item The unit step response is
\end{itemize}
\[Y(s) = \frac{k}{s(\tau s+1)}=k(\frac{1}{s}-\frac{\tau}{\tau s +1}),\;y(t) = k(1 - e^{-\frac{1}{\tau}t})\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item The steady-state response is
\end{itemize}
\[y(\infty) = k\]
\vspace{-1.25\baselineskip}
\begin{itemize}
\item The error \(E(s) = R(s) - Y(s)\) and the steady-state error is
\end{itemize}
\[e_{ss} = \lim_{s \to 0} sE(s) = \lim_{t \to \infty} [r(t) - y(t)] = 1-k\]
\note{我们先看一个一阶系统的例子，其传递函数为G(s)，在单位阶跃输入信号作用下的输出响应为Y s，通过部分分式展开求得留数分别为1和负tau，由拉氏反变换可求得系统的时域响应y t，可以看出，时间趋于无穷时，系统的稳态响应为k，因此对应的稳态误差为1减k。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgf87917c}]{First-Order System Response}
\begin{itemize}
\item The ramp response is
\end{itemize}
\[Y(s) = \frac{k}{s^2(\tau s+1)} = k(\frac{1}{s^2} - \frac{\tau}{s} + \frac{\tau^2}{\tau s +1}),\;y(t) = k(t-\tau + \tau e^{-\frac{1}{\tau}t})\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item The error \(E(s) = R(s) - Y(s)\) and the steady-state error is
\end{itemize}
\[e_{ss} = \lim_{s \to 0} sE(s) = \lim_{t \to \infty} [r(t) - y(t)] = t - k(t - \tau)\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item The impulse \(\delta(t)\) response is
\end{itemize}
\[Y(s) = \frac{k}{\tau s+1},\quad y(t) = \frac{k}{\tau}e^{-\frac{1}{\tau}t}\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item The steady-state response is
\end{itemize}
\[y(\infty) = 0\]
\note{如果上述一阶系统的输入信号为速度信号，对应的拉氏变换为s平方分之一，同样可以通过部分分式展开法求得系统的时域响应y t，时间趋于无穷时的稳态输出为k倍的t减tau，按照误差的定义，其稳态误差为t减去k倍的t减tau，我们发现，只有在k为一的条件下，稳态误差才能趋于常数tau，k不为一时，稳态误差将趋于无穷。类似的，也可以求出系统的单位脉冲响应，不难发现，系统在脉冲作用下的稳态输出为零。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgf9f2226}]{First-Order System Response}
\begin{itemize}
\item The ramp \(t\), step \(1(t)\) and impulse \(\delta(t)\) signals have
\end{itemize}
\[\delta(t)=\frac{d}{dt}[1(t)], \quad 1(t)=\frac{d}{dt}[t\cdot1(t)]\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item For the first-order system, we have
\end{itemize}
\[\begin{aligned} y_{t}(t) & =\left(t-\tau+\tau e^{-\frac{1}{\tau}t}\right)\cdot1(t) \\
\quad y_{1}(t) & =(1-e^{-\frac{1}{\tau}t})\cdot 1(t)\\ 
y_\delta (t) & =\left(\frac{1}{\tau}e^{-\frac{1}{\tau}t}\right)\cdot 1(t)\end{aligned}\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item Then：
\end{itemize}
\[\begin{aligned}y_{\delta}(t)= \frac{d}{dt}[y_{1}(t)], \quad y_{1}(t)= \frac{d}{dt}[y_{t}(t)]\end{aligned}\]
\note{线性定常系统对输入信号导数的响应，可以通过系统对该输入信号响应的导数来求得；而系统对输入信号积分的响应，可以通过系统对该输入信号响应的积分来求得，积分常数由初始条件确定。比如，上述示例中的一阶系统，速度信号对应输出响应的导数与速度信号导数阶跃信号作为输入时的系统响应是一致的，同样阶跃信号对应输出响应的导数与阶跃信号导数即脉冲信号作为输入时的系统响应是一致的。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org65730c9}]{Performance of a Second-Order System}
\begin{itemize}
\item Considering a second-order single closed-loop system
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[page=326, viewport=288 64 508 164, clip,scale=0.95]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}  
\vspace{-0.5\baselineskip}
\begin{itemize}
\item The transfer function
\end{itemize}
\[T(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta \omega_n s + \omega_n^2}\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item Poles 极点
\end{itemize}
\begin{equation*}
\begin{aligned}
s_{1,2} & = -\zeta \omega_n \pm j \sqrt{1-\zeta^2} \omega_n\quad \zeta < 1\\
s_{1,2} & = -\zeta \omega_n \pm \sqrt{\zeta^2-1} \omega_n \quad \zeta \ge 1
\end{aligned}
\end{equation*}
\note{二阶系统是用二阶微分方程描述的系统，包含两个独立储能元件，欠阻尼条件下有往复振荡的趋势，很多实际控制系统都可用二阶系统进行描述，高阶系统在一定条件下也可以简化为二阶系统来近似求解。如图所示的闭环反馈控制系统，可以推导出该系统的传递函数为T s，因此传递函数的极点可以表示成s1和s2，其中，zeta为系统的阻尼比，而omega n 为系统的无阻尼自振角频率。zeta取值不同时，s1和s2的表达式也不一样。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org77d50c0}]{The Step Response of a Second-Order System}
\begin{itemize}
\item The output
\end{itemize}
\[Y(s) = T(s)R(s) = \frac{G(s)}{1+G(s)}R(s)=\boxed{\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta \omega_n s + \omega_n^2}}R(s)\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item With a unit step input, we obtain
\end{itemize}
\[Y(s) = \frac{\omega_n^2}{s(s^2+2\zeta \omega_n s + \omega_n^2)} = \frac{1}{s} - \frac{s+2\zeta \omega_n}{s^2+2\zeta\omega_n s + \omega_n^2} = \frac{1}{s} - \frac{s+2\zeta\omega_n}{s^2+2\zeta\omega_n+\omega_n^2}\] 
\vspace{-\baselineskip} 
\begin{itemize}
\item The step response of a second-order system depends on the damping ratio (阻尼比) \(\zeta\) and the natural frequency (自然频率) \(\omega_n\).
\end{itemize}
\note{这里我们对二阶系统在测试信号作用下的响应进行分析。二阶系统对应的输出响应为Y s，而其单位阶跃作用下的输出象函数为。如果输入信号为单位阶跃，可以发现，其输出响应取决于阻尼比和自然频率。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org3b6b3a8}]{The Step Response of a Second-Order System}
\note{当系统阻尼比zeta大于0小于1时，称为欠阻尼系统，传递函数的极点为一对共轭复数，根据上页输出响应的部分分式展开式，再参考第二章图示法求解拉氏反变换的实例，可轻易得出二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应y t，定义参数beta和theta，不同阻尼比条件的瞬态响应如右图所示。可以发现，阻尼比Zeta越小，振荡的幅值越大。同时其稳态响应将趋于1。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.4\columnwidth}
\begin{itemize}
\item When 0<\(\zeta\)<1, the poles
\end{itemize}
\[s_{1,2} = -\zeta \omega_n \pm j \sqrt{1-\zeta^2} \omega_n\]
\vspace{-1.5\baselineskip}
\begin{itemize}
\item The response
\end{itemize}
\begin{equation*}
\begin{aligned}
y(t) & = 1-\frac{1}{\beta} e^{-\zeta \omega_n t} \sin(\omega_n \beta t +\theta)\\
 {\rm with}\; \beta & = \sqrt{1-\zeta^2}\\
 \theta & =\arccos(\zeta)
\end{aligned}
\end{equation*}
\end{column}

\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=327, viewport=104 360 416 612, clip,scale=0.65]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}  
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}


\begin{frame}[label={sec:orgc9a9264}]{The Step Response of a Second-Order System}
\begin{itemize}
\item When \(\zeta\)=1, the poles and the response are
\end{itemize}
\[s_{1,2} = -\omega_n, \quad y(t) = 1-\omega_n te^{-\omega_n t}-e^{-\omega_n t} \]
\vspace{-1.3\baselineskip}
\begin{itemize}
\item When \(\zeta\)=0, the poles and the response are
\end{itemize}
\[s_{1,2} = -j\omega_n, \quad y(t) = 1-\cos\omega_nt\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{center}
\includegraphics[width=1.0\textwidth]{./Figure5-8.png}
\end{center}
\note{当系统阻尼比zeta等于1时，称为临界阻尼系统，传递函数的极点为二重负实数，系统的单位阶跃响应y t为指数衰减函数。二阶系统在临界阻尼状态下的单位阶跃响应如左数第2图所示，系统没有超调，稳态响应为1。当系统阻尼比zeta等于0时，称为零阻尼系统，传递函数的极点为共轭虚数，系统的单位阶跃响应y t为含正弦的函数，系统将作无阻尼等幅振荡，如最后一图所示。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgb4ea584}]{The Step Response of a Second-Order System}
\begin{itemize}
\item When \(\zeta\)>1, the poles
\end{itemize}
\[s_{1,2} = -\zeta \omega_n \pm \omega_n\sqrt{\zeta^2-1} \]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item The response
\end{itemize}
\[y(t)=1-\frac{e^{-(\zeta-\sqrt{\zeta^2-1})\omega_nt}}{2(1+\zeta\sqrt{\zeta^2-1}-\zeta^2)}-\frac{e^{-(\zeta+\sqrt{\zeta^2-1})\omega_nt}}{2(1-\zeta\sqrt{\zeta^2-1}-\zeta^2)}\]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.65\textwidth]{./Figure5-9.png}
\end{center}
\note{当系统阻尼比zeta大于1时，称为过阻尼系统，传递函数的极点为两个互异的负实数，系统的单位阶跃响应也是指数衰减函数。系统没有超调，过渡时间较长，稳态响应也为1。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgee07912}]{The Impulse Response of a Second-Order System}
\begin{itemize}
\item The impulse response of a second-order system is given by
\end{itemize}
\[Y(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta \omega_n s + \omega_n^2} \to y(t) = \frac{\omega_n}{\beta} e^{-\zeta \omega_n t} \sin(\omega_n \beta t)\]
\begin{center}
\includegraphics[page=327, viewport=104 148 336 340, clip,scale=0.75]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}  
\note{当测试输入信号为单位脉冲信号时，以欠阻尼为例，对二阶系统的响应进行分析，此时系统的单位脉冲响应为系统单位阶跃响应的导数，如图所示。单位脉冲响应以beta Omega n为频率进行衰减振荡，阻尼比Zeta越小，振荡的幅值越大，稳态响应为0。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org0c70625}]{Standard Performance Measures}
\begin{itemize}
\item Swiftness of the response 快速性
\begin{itemize}
\item Rise time \(T_r\) or \(T_{r1}\) 上升时间
\item Peak time \(T_p\) 峰值时间
\end{itemize}
\item Closeness of the response 准确性
\begin{itemize}
\item Percentage overshoot P.O. 超调量
\item Settling time \(T_s\) 调整时间
\item Steady-state error \(e_{ss}\) 稳态误差
\end{itemize}
\end{itemize}
\note{下面我们以二阶欠阻尼系统为例，对系统的性能指标进行分析。系统性能指标可以在时域内提出，也可以在频域内提出。时域分析性能指标是以系统对单位阶跃输入的瞬态响应形式给出的。主要包括：上升时间tr，峰值时间tp，最大超调量P O，调整时间Ts和稳态误差 E ss。前两个指标主要反映系统快速性，而后三个指标表征系统实际响应对预期响应的逼近程度，也就是系统的相对稳定性。实际上，这两个方面的指标往往是彼此冲突的，必须进行折中处理。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org84fce62}]{Standard Performance Measures}
\begin{columns}
\begin{column}{0.3\columnwidth}
\begin{itemize}
\item Rise time \(T_r\) or \(T_{r1}\)
\begin{itemize}
\item For underdamped systems with an overshoot, \(T_r\) is the \(0-100\%\) rise time
\item For overdamped system, \(T_{r1}\) is the \(10-90\%\) rise time
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{column}
\begin{column}{0.7\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=328, viewport=148 404 476 612, clip,scale=0.75]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center} 
\note{从零时刻开始首次到达稳态值的时间定义为上升时间，即响应曲线从零首次上升到稳态值所需的时间。对于某些没有超调的系统，理论上达到稳态值的时间需要无穷大，因此将该系统的上升时间定义为响应曲线从稳态值的百分之十上升到稳态值的百分之九十之间的时间。}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org052dbb6}]{Standard Performance Measures}
\begin{columns}
\begin{column}{0.3\columnwidth}
\begin{itemize}
\item Peak time \(T_p\)
\begin{itemize}
\item The time at which the response is at its peak
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{column}
\begin{column}{0.7\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=328, viewport=148 404 476 612, clip,scale=0.75]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center} 
\note{峰值时间Tp，是指响应曲线从零时刻到达最大幅值所需的时间，也就是响应曲线从零上升到第一个峰值所需要的时间。}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgcad68be}]{Standard Performance Measures}
\begin{columns}
\begin{column}{0.3\columnwidth}
\begin{itemize}
\item Percentage overshoot P.O.
\begin{itemize}
\item Let \(M_p\) be the peak value of the time response and \(y_{ss}\) be the finial value, the P.O. is defined as
\end{itemize}
\end{itemize}

\[P.O. = \frac{M_p - y_{ss}}{y_{ss}} \times 100\%\]
\end{column}
\begin{column}{0.7\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=328, viewport=148 404 476 612, clip,scale=0.75]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center} 

\note{最大超调量指系统响应曲线的最大峰值与稳态值之间的差值，通常以百分数形式表示。}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org790bf5b}]{Standard Performance Measures}
\begin{columns}
\begin{column}{0.3\columnwidth}
\begin{itemize}
\item Settling time \(T_s\)
\begin{itemize}
\item The time required for the system to settle within a certain percentage \(\delta\) (say \(2\%\) or \(5\%\)) of the input magnitude (or final value)
\end{itemize}
\item Steady-state error \(e_{ss}\)
\end{itemize}
\[e_{ss}=\lim_{s\to 0}sE(s)\]
\end{column}
\begin{column}{0.7\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=328, viewport=148 404 476 612, clip,scale=0.75]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center} 

\note{调整时间TS，指响应曲线达到并一直保持在允许误差范围内的最短时间，误差范围可以取百分之二，也可以取百分之五。最后一个指标稳态误差在满足系统稳定的前提下，可以根据定义，并结合终值定理进行求解。}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgd009d66}]{Rise Time \(T_r\)}
\begin{itemize}
\item The step response of the \emph{underdamped second-order system} is given by
\end{itemize}
\[y(t) = 1-\frac{1}{\beta} e^{-\zeta \omega_n t} \sin(\omega_n \beta t + \theta)\]
\vspace{-1.25\baselineskip}
\begin{itemize}
\item The rise time is thus
\end{itemize}
\[y(T_r) = 1-\frac{1}{\beta} e^{-\zeta \omega_n T_r} \sin(\omega_n \beta T_r + \theta)=1\]
\vspace{-1.25\baselineskip}
\begin{itemize}
\item \(e^{-\zeta \omega_n T_r} \ne 0\), then
\end{itemize}
\[ \omega_n \beta T_r + \theta = \pi\]
\vspace{-1.25\baselineskip}
\begin{itemize}
\item Finally, we have
\end{itemize}
\[{T_r=\frac{1}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}\left(\pi-\arctan{\frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta}}\right)}\]

\note{前面我们基于二阶欠阻尼系统的时域响应，介绍了系统性能指标的定义，下面我们讨论具体的计算方法。先看上升时间，按照T r的定义，T r对应的输出响应为一，所以只能让响应中的正弦函数为零，对应的角度最小为pi，由此可以得出T r的表达式。可以发现，zeta一定时，omega n增大，t r减小；omega n一定时，zeta增大，t r也增大。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org924de76}]{Rise Time \(T_{r1}\)}
\note{阶跃响应的快速性可以利用输出从幅值终值的百分之十上升到百分之九十所需的时间进行度量，实际上，这正是过阻尼系统上升时间T r 1的定义，然而很难获取上升时间T r 1的解析表达式，但通过线性化处理之后，可以得到T r 1的近似表达式。当阻尼比在零点三到零八之间时，近似公式有足够的精度。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.4\columnwidth}
\begin{itemize}
\item The swiftness of step response is defined as the time it takes to rise from \(10\%\) to \(90\%\) of the magnitude
\item It is difficult to obtain exact analytic expressions for \(T_{r1}\), and we can utilize the linear approximation (accurate for \(0.3 \leq \zeta \leq 0.8\))
\end{itemize}
\[{T_{r1}=\frac{2.16\zeta+0.60}{\omega_n}}\]
\end{column}
\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=330, viewport=148 432 364 612, clip,scale=0.95]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center} 
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}


\begin{frame}[label={sec:orgbceb7e6}]{Peak Time \(T_p\)}
\begin{itemize}
\item The step response of the second-order system is given by
\end{itemize}
\[y(t) = 1-\frac{1}{\beta} e^{-\zeta \omega_n t} \sin(\omega_n \beta t + \theta)\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item The time derivative \(dy(t)/dt\) is
\end{itemize}
\[\frac{dy(t)}{dt} = \frac{\omega_n}{\beta} e^{-\zeta \omega_n t} \sin(\omega_n \beta t)\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item The maximum is achieved when \(\sin(\omega_n \beta t) = 0\) or \(t = 0,\ \frac{\pi}{\omega_n \beta},\ \frac{2 \pi}{\omega_n \beta},\ \cdots\)
\item The peak time \(T_p\) is thus
\end{itemize}
\[T_p = \frac{\pi}{\omega_n \beta} = \frac{\pi}{\omega_n \sqrt{1- \zeta^2}}\] 
\note{峰值点为极值点，因此y t的导数dy dt为零，所以只能让导数表达式中的正弦函数为零，自变量取最小值pi，由此得出峰值时间为pi除以omega n beta。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org86a5292}]{Percentage Overshoot P.O}
\begin{itemize}
\item The step response of the second-order system is given by
\end{itemize}
\[y(t) = 1-\frac{1}{\beta} e^{-\zeta \omega_n t} \sin(\omega_n \beta t + \theta)\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item The peak value \(M_p\) of the time response can then be evaluated as
\end{itemize}
\[M_p = y(T_p)= 1+  e^{- \zeta \pi / \sqrt{1- \zeta^2}}\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item As the final value \(y_{ss}\) is 1, the percentage overshoot P.O. becomes
\end{itemize}
\[P.O. = 100 \times e^{- \zeta \pi / \sqrt{1- \zeta^2}} \%\]
\vspace{-\baselineskip}

\begin{block}{阻尼超调的关系}
\begin{center}
\begin{tabular}{lrrrrrrr}
\hline
\(\zeta\) & 0.9 & 0.8 & 0.7 & 0.6 & 0.5 & 0.4 & 0.3\\
\hline
P.O & 0.2 & 1.5 & 4.6 & 9.5 & 16.3 & 25.4 & 37.2\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\note{根据峰值时间的定义可知，峰值点系统的输出响应为M p。系统的稳态输出响应为1，所以系统的最大超调量为P O。系统的超调量与其无阻尼自振角频率omega-n无关，只与阻尼比zeta相关，该表列出了阻尼比与超调量之间的关系，随着阻尼比的增加，超调量减小。}
\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgd68b1c0}]{Percentage Overshoot and Peak Time}
\note{阻尼比越大，超调量越小，这说明系统响应对预期响应的逼近程度越好。但是，峰值时间也随之增加，这又意味着系统响应的快速性有所减弱。因此，响应的快速性和较小的超调量之间存在冲突，设计过程中必须进行折中处理。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.4\columnwidth}
\begin{itemize}
\item The percent overshoot \(P.O\) versus the damping ratio \(\zeta\)
\item The normalized peak time \(\omega_n T_p\) versus the damping ratio \(\zeta\)
\item A necessary compromise between the swiftness of response and the allowable percent overshoot
\end{itemize}
\end{column}
\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=329, viewport=104 48 324 228, clip,scale=0.95]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center} 
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}


\begin{frame}[label={sec:orga755beb}]{Settling Time \(T_s\)}
\begin{itemize}
\item The step response of the second-order system is given by
\end{itemize}
\[y(t) = 1-\frac{1}{\beta} e^{-\zeta \omega_n t} \sin(\omega_n \beta t + \theta)\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item The envelope lines (包络线) of the response are
\end{itemize}
\[y(t)=1\pm \frac{e^{-\zeta\omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\]

\begin{center}
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{./control10.jpg}
\end{center}

\note{直接求解调整时间非常复杂，我们取系统响应的包络线，考虑包络线单调进入误差带的时间近似为调整时间。包络线的函数为输出响应y t在正弦取正、负一时的函数。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgc262e01}]{Settling Time \(T_s\)}
\begin{itemize}
\item The settling time \(T_s\) is the time after which the response remains within \(2.0\%\) of the final value.
\end{itemize}
\[\frac{e^{-\zeta\omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\le 2.0\%\]
\vspace{-0.8\baselineskip}
\begin{itemize}
\item The settling time can be approximated according to
\end{itemize}
\[e^{- \zeta \omega_n T_s} < 0.02 \Rightarrow \zeta \omega_n T_s \cong 4\]
\vspace{-1.75\baselineskip}
\begin{itemize}
\item In other words,
\end{itemize}
\[T_s = 4\tau = \frac{4}{\zeta \omega_n}\]
\note{取调整误差为百分之二，则满足第一个不等式，考虑到阻尼小于一，约去阻尼平方项，因此可以近似得出，zeta、omega n、T s的乘积为四，最终求得系统的调整时间T r的表达式。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org566978d}]{Damping Ratio and Natural Frequency}
\begin{itemize}
\item The swiftness of a step response is dependent on the damping ratio \(\zeta\) and natural frequency \(\omega_n\).
\item For a given \(\zeta\), the response is faster for larger \(\omega_n\) and the overshoot is independent of \(\omega_n\).
\item For a given \(\omega_n\), the response is faster for lower \(\zeta\). The swiftness of the response, however, will be limited by the overshoot that can be accepted.
\end{itemize}
\note{可以看出，系统阶跃响应的快速性与阻尼比和频率有关。当阻尼比给定时，左图给出了频率取不同值时的阶跃响应曲线，可以看出，当频率增加时，系统响应变快。同时应注意，超调量不会随着频率的变化而发生变化。当频率给定时，阻尼比越小，系统的响应速度越快。但是，系统的响应速度要受到最大容许超调量的制约。}

\begin{columns}[b]
\begin{column}{0.5\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=330, viewport=144 44 404 236, clip,scale=0.65]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center} 
\end{column}
\begin{column}{0.5\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=331, viewport=104 436 348 612, clip,scale=0.7]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center} 
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orgfbfe02d}]{Effects of a Third Pole and a Third Zero}
\begin{itemize}
\item Benefits of second-order system: many other systems with dominant roots can be estimated by utilizing second-order system
\item Attempt to deduce the response in terms of the knowledge on second-order systems
\item When adding a pole to the system, the transfer function becomes
\end{itemize}
\[T(s)=\frac{\omega_n^2}{(s^2 + 2\zeta \omega_n s + \omega_n^2)(\gamma s + 1)}\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item The poles are
\end{itemize}
\[s_{1,2} = -\zeta \omega_n \pm j \omega_n\sqrt{1-\zeta^2} ,\quad s=-\frac{1}{\gamma}\]

\note{对于前述得到的性能指标只适用于二阶欠阻尼系统。由于很多高阶系统都存在一对主导极点，因此我们可以将二阶系统性能指标推广应用到高阶系统，以它为基础来估算高阶系统单位阶跃响应的性能。在计算超调量和其他性能指标时，这种近似方法能够避免进行复杂的拉普拉斯逆变换。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgd813e7b}]{Effect of an Additional Pole}
\note{当新增极点的实部绝对值远大于二阶系统的极点实部时，如10倍以上时，该系统的性能指标，超调量和调整时间等均可以基于二阶系统的曲线进行估算。当新增极点的实部绝对值小于二阶系统的极点实部的4倍时，基于二阶系统响应曲线估计的调整时间会变小。实部绝对值较小的两个极点称为主导极点。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{itemize}
\item When \(\displaystyle \frac{-1}{\gamma}\) is to the left of \(-\zeta\omega_n\), the overshoot and settling time is essentially not affected (especially when \(|\gamma^{-1}| > 10 |\zeta \omega_n|\)).
\item The rise time, however, may increase especially when \(|\gamma^{-1}| < 4 |\zeta \omega_n|\)
\end{itemize}
\end{column}

\begin{column}{0.4\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=332, viewport=148 472 316 612, clip,scale=0.9]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center} 
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org8af39d7}]{Effect of an Additional Pole}
\note{当主导极点实部绝对值仅仅是第三个极点实部绝对值的十分之一甚至更小时，可以用由主导极点决定的二阶系统的响应来近似三阶系统的响应。我们看一个例子，当阻尼比为0.45、频率为1时，此时二阶系统的超调量为百分之二十点五，调整时间为8.89秒，上升时间为1.57秒。对于三阶系统，如果gamma为1，此时第三个极点gamma分之一离zeta omega n太近，此时超调量约为百分之十点九，调整时间为8.84秒，上升时间为2.16秒，不能用二阶系统来近似。}<1>
\note{如果gamma为0.22，此时第三个极点位于二阶系统主极点超过了十部距离，此时超调量约为百分之二十，调整时间为8.56秒，上升时间为1.6秒，与二阶欠阻尼系统的响应非常接近。这个例子说明，当新增极点实部的绝对值大于等于二阶系统共轭极点实部绝对值的10倍时，三阶系统的响应与对应的二阶系统的响应非常相似。}<2>
\begin{columns}
\begin{column}{0.4\columnwidth}
\begin{itemize}
\item The response of a third-order system can be approximated by the dominant roots of the second-order system as long as the real  part of the dominant roots is less than 1/10 of the real part of the third root.
\item For the control systems with \(\omega_n = 1\) and \(\zeta = 0.45\)
\end{itemize}
\end{column}
\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=332, viewport=148 176 484 444, clip,scale=0.65]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center} 
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org2d77f2d}]{Effect of an Additional Zero}
\begin{itemize}
\item The transient response of a system with one zero and two poles may be affected by the location of the zero.
\end{itemize}
\[\frac{\omega_n^2 (\frac{s}{a} + 1)}{(s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2)} = \frac{\omega_n^2}{(s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2)} + \frac{s}{a} \frac{\omega_n^2}{(s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2)}\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item When \(|a|>>|\zeta \omega_n|\), the effect is minimal.
\item When \(|a| < 4|\zeta \omega_n|\), the overshoot is increased.
\item When a is the same order as \(\zeta \omega_n\),the response may differ from the second-order approximation.
\end{itemize}
\note{还需要指出，如果传递函数存在有限零点，且位于主导复极点附近，那么系统的瞬态响应将会受到零点的显著影响。具有一个零点和两个极点的系统的瞬态响应会受到零点位置的影响。同样地，当主导极点实部绝对值仅仅是新增零点实部绝对值的十分之一，甚至更小时，可以用由主导极点决定的二阶系统的响应来近似三阶系统的响应。这里的新增极点和零点对系统瞬态响应的影响规律可以应用到高阶系统瞬态响应的简化分析中，我们后续会讲到。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org1b3b765}]{Effect of an Additional Zero}
\begin{itemize}
\item The Response of the system with a finite zero and \(\zeta = 0.45\)
\item 第三零点位置离极点越远，对系统的影响越小
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[page=334, viewport=144 312 447 612, clip,scale=0.65]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center} 
\note{我们对比该具有零点系统和二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应，随着零点远离极点程度的增加，系统的响应不断地向二阶欠阻尼系统的响应进行靠近。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orga9ae4c3}]{Design Example}
\begin{itemize}
\item Consider the system,
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[page=334, viewport=144 216 396 284, clip,scale=0.95]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center} 
\begin{itemize}
\item It is desired to select the parameters \(K\) and \(p\) such that
\begin{itemize}
\item The transient response to a step should be as fast as possible
\item The overshoot is less than 5\%
\end{itemize}
\end{itemize}
\[{\rm P.O.} = e^{\frac{\zeta \pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}} < 0.05 \Rightarrow \zeta > 0.69\]
\vspace{-1.5\baselineskip}
\begin{itemize}
\item The settling time to within 2\% should be less than 4s
\end{itemize}
\[T_s = \frac{4}{\zeta \omega_n} \leq 4 \Rightarrow \zeta \omega_n \geq 1\]

\note{我们考虑一个单位负反馈控制系统，选择合适的增益K和参数p，使系统能够满足时域性能指标的设计要求。具体的性能指标设计要求为：在阶跃响应的超调量不超过百分之五的前提下，系统具有尽可能快速的动态响应，按照百分之二的稳态误差要求，调节时间小于4秒。根据前述建立的二阶欠阻尼系统的超调量计算公式，当超调量为百分之四点三时，对应的阻尼比zeta为零点六九。同时，由于调节时间小于4秒，因此要求zeta omega n 大于1。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org72932d5}]{Design Example}
\begin{itemize}
\item The region satisfying both time-domain requirements
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[page=335, viewport=100 452 256 612, clip,scale=0.95]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center} 

\note{在s平面中，首先画出zeta大于0.69的区域。然后，再画出zeta omega n 大于1的区域。图中s平面上的阴影部分就是同时满足这两个时域约束条件的可行极点配置区域。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org9d73d9c}]{Design Example}
\begin{itemize}
\item Select \(\zeta=0.707\), \(\zeta \omega_n \geq 1\) and thus the root at \(-1 \pm j1 \rightarrow \zeta = \frac{1}{\sqrt{2}}\) and \(\omega_n = \sqrt{2}\)
\item The trasfer function
\end{itemize}
\[T(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)}=\frac{K}{s^2+ps+K}=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta \omega_n s + \omega_n^2}\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item Thus
\end{itemize}
\[K=\omega_n^2=2,\;p=2\zeta \omega_n=2\]

\note{阻尼比选择为零点七零七，也就是根号二分之一，所以闭环系统的特征根为负一加减j 1时，可以得到调节时间T s为4s，超调量为百分之四点三，此时zeta为根号二分之一，omega n为根号二，满足系统设计要求。系统的闭环传递函数T s可以改写成标准形式，我们发现，K等于omega n的平方，等于二, p等于二倍的zeta omega n，也等于2}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgc467347}]{Estimation of the Damping Ratio}
\begin{itemize}
\item The damping ratio can be estimated from the step response
\item For a second-order system, the step response is
\end{itemize}
\[y(t) = 1-\frac{1}{\beta} e^{-\zeta \omega_n t} \sin(\omega_n \beta t + \theta)\quad \rm{with} \quad \beta = \sqrt{1- \zeta^2} \ \rm{and} \ \theta = \arccos \zeta\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item When \(\zeta < 1\), the frequency of the damped (有阻尼振荡频率) sinusoidal term is
\end{itemize}
\[\omega = \omega_n \sqrt{1- \zeta^2}  = \omega_n \beta\] 
\vspace{-1.25\baselineskip}
\begin{itemize}
\item \(\omega\)代表的意义是角速度，也即角频率，所以， The number of cycles in one second is \(\omega/2\pi\)
\end{itemize}

\note{阻尼比是决定闭环系统性能指标的关键参数。在调节时间、超调量、峰值时间和上升时间等性能指标的计算公式中，阻尼比都起着重要作用。而且，对于二阶系统而言，阶跃响应的超调量仅仅由阻尼比决定。因此，我们可以根据系统的实际阶跃响应来辨识估计阻尼比。二阶系统的单位阶跃响应为y t。其中，beta等于根号下1减zeta的平方，theta等于arccos zeta。于是，当zeta 小于1时，系统的有阻尼振荡频率为omega，等于beta倍的omega n，其物理意义为角速度，阶跃响应中每秒的振荡周数为omega除以2 pi。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org3c88045}]{Estimation of the Damping Ratio}
\begin{itemize}
\item The time constant for the exponential decay is \(\tau = 1/(\zeta \omega_n)\) in seconds.
\item The number of cycles of the damped sinusoid during one time constant is
\end{itemize}
\[\mbox{cycles/sec} \times \tau = \frac{\omega}{2\pi \zeta \omega_n} = \frac{\omega_n \beta}{2\pi \zeta \omega_n} = \frac{\beta}{2\pi \zeta}\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item Assuming that the response decay in \(n\) visible time constants, the number of cycles are
\end{itemize}
\[\mbox{cycles visible} = \frac{n \beta}{2\pi \zeta}\]

\note{指数衰减项的时间常数tau等于1除以括号里面zeta omega n。在一个时间常数间隔内，有阻尼振荡的周数为cycles visible。如果阶跃响应在n倍时间常数的间隔内衰减，则可以观察到的响应的振荡周数。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org206883a}]{Estimation of the Damping Ratio}
\begin{itemize}
\item For the second-order system, the response remains within \(2\%\) of the steady-state value after four time constants (4\(\tau\) ). Hence, \(n=4\) and 
\[\mbox{cycles visible} = \frac{4\beta}{2\pi \zeta} = \frac{4\sqrt{1- \zeta^2}}{2\pi \zeta} \approx \frac{0.6}{\zeta}\quad {\rm with} \quad 0.2 \leq \zeta \leq 0.6\]
\end{itemize}
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item Alternatively, we can estimate \(\zeta\)  based on the percentage overshoot
\end{itemize}
\[\zeta = 0.4 \Rightarrow 1.4  \Rightarrow \zeta \approx \frac{0.6}{1.4} = 0.42\]
\vspace{-\baselineskip}
\[\zeta = 0.4 \Rightarrow 25\% \quad \mbox{overshoot} \Rightarrow \zeta \approx 0.4\]
\note{对于二阶欠阻尼系统而言，一般在经历了4倍于时间常数的振荡之后，系统响应的误差将保持在稳态值的百分之二的容许误差内。因此，将n=4代入式中，可以得到二阶系统在调节时间（过渡期）之内可以观测到的振荡周数。根据误差进入稳态值的百分之二容许带内的振荡次数，就可以得到阻尼比zeta。参照前面阻尼比对时域响应的影响曲线，选择阻尼比为零点四的响应曲线，可以看出输出响应 y t 从起始点开始，直到响应误差保持在稳定值的百分之二以内，总的振荡周数为一点四。因此，可以估算得到阻尼比为零点四二。此外，也可以根据超调量计算公式来估算阻尼比。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org6cec93b}]{The s-Plane Root Location and The Transient Response}
\begin{itemize}
\item The transient response of a closed-loop feedback control system can be described in terms of the location of the poles of the transfer function.
\item The output of a system (unity gain, unit step input) can be formulated as a partial fraction expansion as
\end{itemize}
\[Y(s) = \frac{1}{s} + \sum_{i = 1}^{M} \frac{A_i}{s+ \sigma_i} + \sum_{k = 1}^{N} \frac{B_k s+ C_k}{s^2 + 2\alpha_k s + (\alpha_k^2 + \omega_k^2)}\]
\vspace{-0.5\baselineskip}
\begin{itemize}
\item The roots of the system must be either \(s = -\sigma_i\) or a complex conjugate pair \(s = -\alpha_k \pm j \omega_k\).
\item The inverse transform results in the transient response as a sum of terms
\end{itemize}
\[y(t) = 1+ \sum_{i = 1}^{M} A_i e^{-\sigma_i t} + \sum_{k = 1}^{N} D_k e^{- \alpha_k t} \sin(\omega_k t + \theta_k)\]
\note{闭环反馈控制系统的瞬态响应特性可以用传递函数极点（即特征根）的位置分布来表征。系统的单位阶跃响应可以展开为部分分式的形式，其特征根为单实根\(s = -\sigma_i\)，或者共轭复根\(s = -\alpha_k \pm j \omega_k\)。因此，经过拉普拉斯逆变换，可以得到系统的动态响应y t，主要由稳态值、指数项和受到阻尼影响的正弦项组成，后面各项构成了系统的瞬态响应。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org5d0a6a0}]{Root Location and Transient Response}
\begin{itemize}
\item For the response to be stable (bounded), the real parts of the roots be in the left half plane, that is, \(\sigma_i > 0\) and \(\alpha_k > 0\)
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[page=337, viewport=104 44 456 244, clip,scale=0.95]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center} 

\note{如果响应是稳定的，则阶跃响应该有界，所有特征根的实部均应位于s平面的左半部分。当系统特征根位于不同区域时，图中给出了对应的脉冲响应曲线，由此可以看出，特征根的位置蕴含了丰富的系统瞬态响应特性信息。因此，设法确定特征根在s平面上的位置是非常必要的。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgc606da9}]{Root Location and Transient Response}
\begin{itemize}
\item It is important to understand the relationship between the complex-frequency representation of a linear system, through the poles and zeros of its transfer function, and its time-domain response to step and other inputs.
\item Many of the analysis and design calculations are done in the complex-frequency plane (\(s\)-plane), where a system model is represented in terms of the poles and zero of the transfer function.
\item System performance is often analyzed by examining time domain responses.
\item \emph{Poles of T(s)}: determine the particular response modes that will present
\item \emph{Zeros of T(s)}: establish the relative weightings of the individual mode function.
\end{itemize}

\note{对于控制系统工程师而言，利用传递函数的零、极点分布特点，理解并掌握线性系统在阶跃输入或其他输入作用下的复频响应与时域响应之间的关系非常重要。很多分析和设计计算都在复平面上进行，所使用的系统模型是由传递函数及其零点和极点来表示的。此外，系统性能常常通过检验时域响应来进行分析。总体而言，极点的位置决定了系统的瞬态响应模式，零点则确定每个响应模态的相对权重。例如，将零点移动到某个特定极点的附近，将降低该极点对系统性能的影响。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org316fbf2}]{Root Location and Transient Response}
\begin{itemize}
\item The real part of the root is \(- \zeta \omega_n\) and the imaginary part is \(\omega_n\beta\)
\item The radial distance from the origin to the pole is the natural frequency \(\omega_n\)
\item The angle \(\theta\) satisfies \(\theta = \arccos \zeta\)  \((0< \zeta < 1)\)
\end{itemize}

\centering
\begin{center}
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{./rootlocation.png}
\end{center}


\note{特征方程根的实部、虚部分别为负zeta 倍的omega n与beta倍的omega n，从原点到极点的径向距离恰好等于自然频率omega n，原点到极点的向量与负实轴之间的夹角theta角的余弦值恰好等于阻尼比zeta，}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orgf9b5616}]{Effects from root location}
\begin{itemize}
\item The peak time \(T_p\) is inversely proportional to the imaginary part of the roots
\end{itemize}
\[T_p = \frac{\pi}{\omega_n \beta} = \frac{\pi}{\omega_n \sqrt{1- \zeta^2}}\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item The settling time \(T_s\) is inversely proportional to the real part of the roots
\end{itemize}
\[T_s = \frac{4}{\zeta \omega_n}\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item The radial lines are line of constant \(\zeta\) or constant percentage overshoot
\end{itemize}

\note{峰值时间与特征方程根的虚部成反比，调整时间与特征方程根的实部成反比，沿圆弧方向弧线角度与阻尼比常数或者超调量有关。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgd316818}]{The Steady-State Error of Feedback Control Systems}
\begin{itemize}
\item One of the fundamental reasons for using feedback, despite its cost and increased complexity, is the attendant improvement (伴随而来的改进) in the reduction of the steady-state error of the system.
\item The error (第二章 tracking error) is defined as
\end{itemize}
\[\begin{aligned}E(s)&=R(s)-Y(s)=R(s)-\frac{Gc(s)G(s)}{1+ Gc(s)G(s)H(s)}R(s)\\
&=\frac{1+Gc(s)G(s)H(s)-Gc(s)G(s)}{1+ Gc(s)G(s)H(s)}R(s)\end{aligned}\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item For a unity feedback system, that is \(H(s) = 1\), the error is the same as the actuating signal (偏差)
\end{itemize}
\[E(s) = E_a(s) = \frac{1}{1+Gc(s)G(s)} R(s)\]
\note{引入负反馈会提高系统成本并增加系统的复杂性，但它能够明显地减小系统的稳态误差，这是在系统中引入反馈的基本原因之一。正如第四章内容指出的，闭环系统的稳态误差将比开环系统的稳态误差小几个数量级。考虑图所示的闭环反馈系统，系统执行机构的驱动信号，就是跟踪误差信号的测量值，记为E a s。当不考虑测量噪声和干扰信号的情况下，对于单位负反馈系统，其跟踪误差为E s。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orge920c25}]{Steady State Error}
\begin{itemize}
\item For a unity feedback system, the steady-state error
\end{itemize}
\[e_{ss} = \lim_{t \to \infty} e(t) = \lim_{s \to 0} sE(s) = \lim_{s \to 0} \frac{sR(s)}{1+G_c(s)G(s)}\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item The steady-state error depends on the system \(G_c(s)G(s)\) and the input \(R(s)\)
\item Given the open-loop transfer function \(G_c(s)G(s)\)
\end{itemize}
\[G_c(s)G(s) = \frac{K \prod_{i=1}^M (s+z_i)}{s^N \prod_{k=1}^Q (s+p_k)}\] 
\vspace{-0.75\baselineskip}
\begin{itemize}
\item Type: the number of integrators or poles at the origin of the open-loop transfer function \(G_c(s)G(s)\)
\begin{itemize}
\item Type zero system \(\Rightarrow N=0\)
\item Type one system \(\Rightarrow N= 1\)
\item Type two system \(\Rightarrow N = 2\)
\end{itemize}
\end{itemize}
\note{系统的稳态误差可以通过终值定理等到，可以发现系统的稳态误差取决于系统开环传递函数G c G和输入信号R。开环传递函数的一般形式可以表示成G c G的形式，当s趋于零时，开环传递函数的取值取决于积分器的个数N。如果N大于0，则开环传递函数趋于无穷大，稳态误差因而趋于零。积分器的个数N称为系统的型数，相应的系统称为N型系统。当N等0时，系统是0型系统，当N等1时，系统是1型系统，当N等2时，系统是2型系统，依此类推。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org0cbe5e0}]{Steady State Error: Step Input}
\begin{itemize}
\item The steady-state error for a step input of magnitude A is
\end{itemize}
\[e_{ss} = \lim_{s \to 0} \frac{s}{1+G_c(s)G(s)} \frac{A}{s} = \frac{A}{1+G_c(0)G(0)}\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item When N = 0, the steady-state error becomes
\end{itemize}
\[e_{ss} = \frac{A}{1+G_c(0)G(0)} = \frac{A}{1+(K \prod_{i=1}^M z_i / \prod_{k=1}^Q p_k)} = \frac{A}{1+K_p}\]
\vspace{-0.65\baselineskip}
\begin{itemize}
\item The position error constant \(K_p = \lim_{s \to 0} G_c(s)G(s)\)
\item When \(N \geq 1\), the steady-state error is
\end{itemize}
\[e_{ss} = \frac{A}{1+(K \prod_{i=1}^M z_i / s^N \prod_{k=1}^Q p_k)} = 0\]
\note{输人幅值为A的阶跃信号时，系统稳态误差可以表示成e ss。因此，N等于0时，零型系统的稳态误差可以表示成A除以1加K p，其中Kp为s取零时开环传递函数的取值，称为位置误差常数。显然对于N大于等于1的各型系统，其阶跃响应的稳态误差为零，因为开环传递函数将趋于无穷大。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org3b180f3}]{Steady State Error: Ramp Input}
\begin{itemize}
\item The steady-state error for a ramp input with a slope A is
\end{itemize}
\[e_{ss} = \lim_{s \to 0} \frac{s}{1+G_c(s)G(s)} \frac{A}{s^2} = \lim_{s \to 0} \frac{A}{s+sG_c(s)G(s)} = \lim_{s \to 0} \frac{A}{sG_c(s)G(s)}\]
\vspace{-0.75\baselineskip}
\begin{itemize}
\item When \(N = 0\), the steady-state error becomes infinity
\end{itemize}
\[e_{ss} \rightarrow \infty\]
\vspace{-1.5\baselineskip}
\begin{itemize}
\item When \(N = 1\), the steady-state error is
\end{itemize}
\[e_{ss} = \lim_{s \to 0} \frac{A}{s\{[K \prod_{i=1}^M (s+z_i)] / [s \prod_{k=1}^Q (s+p_k)]\}} = \frac{A}{(K \prod_{i=1}^M z_i / \prod_{k=1}^Q p_k)} = \frac{A}{K_v}\]
\vspace{-0.75\baselineskip}
\begin{itemize}
\item The velocity error constant  \(K_v = \lim_{s \to 0} sG_c(s)G(s)\)
\item When \(N \geq 2\), the steady-state error is  \(e_{ss} = 0\)
\end{itemize}

\note{输入斜率为A的斜坡信号时，可以得到系统的稳态误差e ss，同样，系统稳态误差取决于系统积分器的个数N。对于零型系统，稳态误差为无穷大。对于I型系统，系统稳态误差为A除以K v。其中，Kv称为速度误差常数，其值为s取零时，s倍的开环传递函数的取值。如果传递函数有两个以上的积分器，则稳态误差为零。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org476a129}]{Steady State Error: Acceleration Input}
\begin{itemize}
\item The steady-state error when the input is \(r(t) = At^2 / 2\) is
\end{itemize}
\[e_{ss} = \lim_{s \to 0} \frac{s}{1+G_c(s)G(s)} \frac{A}{s^3} = \lim_{s \to 0} \frac{A}{s^2 G_c(s)G(s)} \]
\vspace{-1.0\baselineskip}
\begin{itemize}
\item When \(N \leq 1\), the steady-state error becomes
\end{itemize}
\[e_{ss} \rightarrow \infty\]
\vspace{-\baselineskip}
\begin{itemize}
\item When N = 2, the steady-state error is
\end{itemize}
\[e_{ss} = \frac{A}{(K \prod_{i=1}^M z_i / \prod_{k=1}^Q p_k)} = \frac{A}{K_a}\]
\vspace{-0.75\baselineskip}
\begin{itemize}
\item The acceleration error constant
\end{itemize}
\[K_a = \lim_{s \to 0} s^2 G_c(s)G(s)\]

\note{当输入信号为加速度信号时，系统的稳态误差e ss对于0型和I型系统，其稳态误差为无穷大。对于II型系统，其稳态误差为A除以K a。其中，Ka为加速度误差常数，其值为s取零时，s平方倍的开环传递函数取值。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org5c4d853}]{Steady State Error}
\begin{itemize}
\item Control systems are often described in terms of their type number and the error constants
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[page=340, viewport=144 440 508 592, clip,scale=0.95]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center} 
\note{总结一下，可以利用型数和稳态误差常数Kp，Kv和Ka，来表征控制系统的稳态性能。针对不同型数的系统，该表归纳总结了三种不同输入条件下的稳态误差。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org27d588a}]{Error Constants}
\begin{itemize}
\item The error constants of a control system describe the ability of a system to reduce or eliminate the steady-state error.
\item The designer determines the error constants for a given system and attempts to determine methods of increasing the error constants while maintaining an acceptable transient response.
\item Increase of gain 提高增益的影响
\begin{itemize}
\item Increase of error constants
\item Reduction of steady-state errors
\item May lead to oscillatory response (since the damping ratio is decreased).
\end{itemize}
\end{itemize}
\note{控制系统的误差常数Kp，Ka.和Kv能够表征系统减小或消除稳态误差的能力，因此它们可以作为稳态性能的度量指标。针对给定的系统，设计者首先要确定其稳态误差常数，然后在维持较好的瞬态性能的同时，寻求增大稳态误差常数的方法，以便减小稳态误差。提高增益会增加误差常数，减小稳态误差，但也可能导致阻尼比减小，从而造成振荡，因此要进行折中选择。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgd1e97d0}]{Mobile Robot Steering Control}
\begin{itemize}
\item A mobile robot system
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[page=341, viewport=104 544 564 616, clip,scale=0.95]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center} 

\begin{itemize}
\item The steering controller \(\displaystyle G_c(s) = K_1 + \frac{K_2}{s}\)
\item The steady-state error is
\end{itemize}
\[\begin{aligned} e_{ss} &= \lim_{s \to 0} sE(s) = \lim_{s \to 0} s \frac{1}{1+G_c(s)G(s)} R(s) \\
&= \lim_{s \to 0} s \frac{s(\tau_1 s +1)}{\tau_1 s^2 + (1+ K K_1)s + K K_2} R(s)\end{aligned}\]

\note{接下来我们用一个示例来说明稳态误差常数的作用。一种机器人的驾驶控制系统，这是它的控制系统方框图，驾驶控制器的传递函数为 G c，由比例控制和积分控制组成，可以推导出其稳态误差为e ss。}
\end{frame}


\begin{frame}[label={sec:org8b19e43}]{Mobile Robot Steering Control}
\begin{itemize}
\item When \(K_2 = 0\) and \(G_c(s) = K_1\) (type-zero system), the steady-state error of a \emph{step input}
\end{itemize}
\[e_{ss} = \frac{A}{1+K_p} = \frac{A}{1+K K_1}\]
\vspace{-0.9\baselineskip}
\begin{itemize}
\item When \(K_2 > 0\) ( type-one system), the steady-state error for a \emph{ramp input}
\end{itemize}
\[e_{ss} = \frac{A}{K_v} = \frac{A}{K K_2}\]
\note{当K2等于0，也就是只有比例控制的条件下，系统对阶跃输入信号的稳态误差e ss可以表示为A除以1加K p，其中Kp等于K K1。当K2大于0时，将得到I型系统，系统对阶跃输入信号的稳态误差为零。如果驾驶指令为斜坡输入信号，则系统的稳态误差为A除以K v，其中Kv等于K倍的K2。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org5f4fbd8}]{Mobile Robot Steering Control}
\begin{itemize}
\item A mobile robot system
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[page=341, viewport=120 408 380 532, clip,scale=0.95]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center} 
\note{当输入信号为锯齿波信号，控制器为比例、积分控制时，系统的动态响应如图所示，可以看出，输出的变化速度跟上了输入的变化速度，但是存在明显的有界稳态位置误差。当K v足够大时，稳态误差可以忽略。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org89dcee5}]{Summary}
\begin{itemize}
\item Transient response (step response)
\begin{itemize}
\item Rise time, peak time, percentage overshoot, settling time
\item Relations to \(s\)-plane root locations
\end{itemize}
\item Steady-state response ( steady-state error)
\begin{itemize}
\item Command input and disturbance
\item Inputs: step, ramp, and parabolic
\item System type: 0, I, II
\item Error constants: Kp, Kv, Ka
\end{itemize}
\end{itemize}
\note{总结一下本章的主要内容。首先基于二阶欠阻尼系统在单位阶跃输入下的时域响应特性定义了上升时间，峰值时间，超调量，调整时间等性能指标，并探讨了特征根在s平面上的位置对系统响应的影响。最后，针对不同积分数量的系统类型，讨论了阶跃、速度、加速度输入条件的稳态误差，并定义了三个误差常数。}
\end{frame}




\section{The Stability of Linear Feedback Systems}
\label{sec:orgfab5eb2}

\begin{frame}[label={sec:org9488db5}]{Chapter Contents}
\begin{itemize}
\item The concept of stability
\item The Routh-Hurwitz stability criterion (劳斯—赫尔维茨稳定性判据)
\item The relative stability of feedback control systems
\item Summary
\end{itemize}

\note{本章研究的主题是线性反馈系统的稳定性，主要包括稳定性的概念，如何判定一个系统是稳定的，以及稳定系统的稳定程度，也就是系统到底有多稳定的问题。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org60fba55}]{The Concept of Stability}
\begin{itemize}
\item When considering the design and analysis of feedback control systems, \emph{stability is of utmost importance}.
\item \alert{Bounded-input bounded output stability}: A stable system is a dynamic system with a bounded response to a bounded input.
\end{itemize}

\note{我们在设计分析反馈控制系统的时候，确保其能稳定工作是系统设计的核心关切。当输入有界时，稳定的系统所产生的输出响应也应该是有界的，这就是有界输入-有界输出稳定性。我们可以用水平面上正圆锥的放置方式来说明稳定性的概念。当圆锥体底部朝下置于水平面时，如果外力使其发生轻微倾斜，它仍将返回初始平衡位置，因此处于底朝下放置状态的圆锥就是稳定的，但它偏离平衡位置的程度是有限度的，也就是有界的输入，如果偏移太多，它也会失稳倾倒。第二种放置方法，当圆锥体侧面朝下放置时，外界扰动会导致其绕锥尖发生旋转，但最终由于能量消耗停留在某个位置，这种状态称为临界稳定；最后一种状态，当圆锥锥尖朝下放置时，很难立于水平面上，一旦失去外界支撑，圆锥将立即倾倒，这种状态就是不稳定状态。我们探讨的系统稳定与此类似，系统对输入条件的响应包括衰减、临界和放大三种情况，衰减输出对应系统稳定。}
\begin{columns}[t]
\begin{column}{0.4\columnwidth}
\begin{itemize}
\item Three categories pertaining to stability
\begin{itemize}
\item Stable 稳定
\item Neutral 临界稳定
\item Unstable 不稳定
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{column}

\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=397, viewport=104 524 328 612, clip,scale=0.85]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}  
\begin{center}
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\end{center}  
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orge75672f}]{Stability and the Location of Poles}
\begin{itemize}
\item The stability requirement may be defined in terms of the location of the poles of the closed-loop transfer function.
\item Suppose that the closed-loop transfer function is
\end{itemize}

\[\displaystyle T(s) = \frac{p(s)}{q(s)} = \frac{K \prod_{i=1}^M (s+z_i)}{s^N \prod_{k=1}^Q (s+\sigma_k) \prod_{m=1}^R (s^2 +2\alpha_m s +(\alpha_m^2+\omega_m^2))}\]

\begin{itemize}
\item Note that \(q(s) = \Delta(s) = 0\) is the characteristic equation whose roots are the poles of the closed-loop system.
\end{itemize}

\note{线性系统稳定与其闭环传递函数极点的位置密切相关，根据系统闭环传递函数的通用表达式，分母 q s 为零就构成了系统的特征方程，其根就是闭环系统的极点。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org3ad155f}]{Impulse response}
\begin{itemize}
\item The impulse response is thus
\end{itemize}
\[y(t) = \sum_{k=1}^{Q} A_k e^{-\sigma_k t} + \sum_{m=1}^{R} B_m \frac{1}{\omega_m} e^{-\alpha_m t} \sin(\omega_m t + \theta_m)\]
\begin{itemize}
\item To obtain a bounded response, the poles of the closed-loop system must be in the left-half portion of the s-plane, that is,
\end{itemize}
\[\underbrace{\sigma_k >0}_{\rm real\ poles} \quad \mbox{and}\quad \underbrace{\alpha_m > 0}_{\rm conjugate\ poles}\]
\begin{itemize}
\item \alert{Stable}: the system is stable if all the poles are in the left half plane.
\end{itemize}
\note{我们探讨一下零型系统的脉冲响应。根据传递函数的定义，系统的输出响应即是用输入信号的拉氏变换乘以传递函数，再对计算结果进行拉氏反变换即可得到输出的时域响应。研究脉冲响应是因为，脉冲信号的拉氏变换为一，因此系统的脉冲响应只要对传递函数求拉氏反变换即可。按照闭环系统传递函数的通用表达式，可以得到其脉冲响应为y t。我们注意到，极点的实部处于脉冲响应表达式里指数的位置，极点具有负实部，才能保证时间趋于无穷大时，脉冲响应趋于零，对其他有界输入信号也能得到有界输出响应。所以反馈系统稳定的充分必要条件是系统闭环传递函数的所有极点均具有负实部，也就是其全部极点位于s平面的左半平面。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orge7f3670}]{Marginally Stable}
\begin{itemize}
\item \alert{Not stable}: the system is not stable if not all the roots are in the left half plane.
\begin{itemize}
\item \emph{Marginally stable}: the characteristic equation has simple roots on the imaginary axis with all other roots in the left half plane
\item \emph{Unstable}: the characteristic equation has at least one root in the right half plane or repeated \(j \omega\) -axis roots.
\end{itemize}
\item For an unstable system, the response is unbounded for any input
\item For a marginally stable system, the steady-state output will be sustained oscillations for a bounded input, unless the input is a sinusoid whose frequency is equal to that of the \(j \omega\) -axis root.
\end{itemize}
\note{如果系统传递函数的极点不全位于复平面的左半部分，系统就是不稳定的。不稳定包括两种情况。一种是有极点在虚轴上，但其他极点均位于左半平面，这种情况属于临界稳定；另一种是，有极点在右半平面，或在虚轴上有重根，此时系统是不稳定的。对于不稳定系统，任何输入都会产生无界的输出。临界稳定的情况下，有界输入的稳态响应是等幅振荡的，如果输入信号为正弦信号，且其频率与虚轴上的根等值时，临界稳定系统将变成不稳定系统。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orgc1090c1}]{Stability and Roots}
\begin{itemize}
\item The stability is characterized by the roots of the characteristic equation or poles of the system transfer function.
\item Consider the following systems
\end{itemize}
\begin{align*}
G(s) & = \frac{1}{(s+1)(s+2)} \quad \mbox{stable}\\
G(s) & = \frac{1}{(s-1)(s+2)}  \quad \mbox{unstable}\\
G(s) & = \frac{1}{s(s+1)}  \quad \mbox{marginally stable}\\
G(s) & = \frac{1}{s^2 (s+1)} \quad \mbox{unstable}
\end{align*}


\note{如前所述，系统稳定性可由特征方程的根或系统传递函数的极点位置来确定。下面举几个例子，第一个传递函数，有两个实极点，都位于左半平面，所以系统稳定；第二个例子，有一个实极点位于右半平面，所以系统不稳定；第三个例子，有一个极点位于虚轴上，另一个极点位于左半平面，所以系统临界稳定；第四个例子，虚轴上有重根，所以系统不稳定。因此，只要知道了特征方程的根，系统稳定性判定也就很容易实现了。但问题是，特征方程的根不容易求，针对这一问题，人们提出了多种无须求解特征方程进行稳定性判定的方法，下面将要介绍的劳斯-赫尔维茨稳定性判据就是其中一种。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org4f4f933}]{Roots and coefficients of the polynomial}
\begin{itemize}
\item The stability is governed by \alert{the roots of the characteristic equation}.
\item Consider the characteristic equation and its factored form (因式分解的形式)
\end{itemize}
\begin{equation*}
\begin{aligned}
g(s) = &a_n s^n + a_{n-1}s^{n-1} + \cdots +a_1 s+a_0 = 0\\
= & a_n (s-r_1)(s-r_2)\cdots (s-r_n)\\
= & a_n s^n - a_n(r_1 + r_2 + \cdots + r_n)s^{n-1} + a_n (r_1 r_2 + r_2 r_3 + \cdots ) s^{n-2} \\
& -a_n (r_1 r_2 r_3 + r_1 r_2 r_4 + \cdots)s^{n-3} + \cdots + a_n (-1)^n r_1 r_2 \cdots r_n
\end{aligned}
\end{equation*}
\begin{itemize}
\item The roots are related to the coefficients
\end{itemize}
\[a_{n-1} = a_n\cdot (-1)\cdot \sum_{i =1}^{n} r_i ,\ a_{n-2} = a_n\cdot (-1)^2\cdot \sum_{i \neq j} r_i r_j ,\ \cdots ,\ a_0 = a_n\cdot (-1)^n\cdot \prod_{i=1}^{n} r_i\]
\begin{itemize}
\item All the coefficients of the polynomial will have the same sign if all the roots are in the left-hand plane (\alert{necessary})
\end{itemize}

\note{既然系统稳定性由特征方程的根来确定，如果能确定出根与系数的关系，只根据特征方程系数确定出根的特点，那么稳定性判据将变得简单，可操作性强。我们对特征方程进行因式分解，将极点显式地表达出来，然后再将因式分解式进行多项式展开，根据对应系数相等的原则，我们发现，如果所有特征根都位于左半平面，那么特征方程的系数都具有相同的符号，且对于稳定系统，特征多项式的所有系数都不能为零。可惜这两个条件只是必要条件，也就是说，当不满足以上两点时，系统一定不稳定，但满足这两个条件却不能确定系统是否稳定，还必须继续进行分析。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgc0b731f}]{Routh-Hurwitz Criterion}
\begin{itemize}
\item A \alert{necessary and sufficient condition} 充要条件 for the stability of linear systems
\item A method to determine stability without solving the roots explicitly.
\item The number of roots of \(q(s)\) with positive real parts is equal to the number of changes in sign of the first column of the Routh array.
\end{itemize}

\note{劳斯-赫尔维茨准则即是进行线性系统稳定性判据的充要条件，不需要显式地求解特征方程的根，即可判定系统稳定性，而且该准则还可以确定出特征方程位于复平面右半平面的根的数量，也就是具有正实部的极点的数量，其值等于劳斯阵列第一列元素符号改变的次数。下面我们具体说明劳斯判据的实现方法。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org6ccd736}]{Routh-Hurwitz Stability Criterion}
\begin{itemize}
\item Given the characteristic equation
\end{itemize}
\[q(s) = a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + a_{n-2} s^{n-2} + \cdots + a_1 s+a_0 = 0\]
\begin{itemize}
\item Use the coefficients to form the Routh array
\end{itemize}

\note{给定特征方程，首先将其降幂排列，然后将其系数分两行、上下交替依次列出，形成劳斯阵列，两行分别对应特征方程的最高次和次高次幂。接着计算其他次幂对应行的数值，这是劳斯阵列计算的重要步骤。有一简单口诀可以辅助记忆，一撇减一捺除以左下角。或者为所求系统，如b n-3，其值为该系统所在行之上相邻两行，首列与待求系数所在列右邻1列构成的行列式值，再除以行列式左下脚元素后所得值的相反数。依次计算，直至零次幂对应的第一列元素被全部算出即可。系数的完整阵列呈现倒三角形。劳斯-赫尔维茨准则指出，特征方程具有正实部的极点的数量，等于劳斯阵列第一列元素符号改变的次数。系统稳定的充要条件是劳斯阵列的第一列元素全正。}
\begin{columns}[t]
\begin{column}{0.35\columnwidth}
\begin{equation*}
\begin{array}{c|cccc}
s^{n} & a_{n} & a_{n-2} & a_{n-4} & \cdots \\
s^{n-1} & a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} & \ldots \\
s^{n-2} & b_{n-1} & b_{n-3} & b_{n-5} & \cdots \\
s^{n-3} & c_{n-1} & c_{n-3} & c_{n-5} & \cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \\
s^{0} & h_{n-1} & & &
\end{array}
\end{equation*}
\end{column}
\begin{column}{0.7\columnwidth}
\begin{align*}
b_{n-1} &= \frac{a_{n-1} a_{n-2} - a_n a_{n-3}}{a_{n-1}} = \frac{-1}{a_{n-1}} \begin{vmatrix}
a_n & a_{n-2} \\
a_{n-1} & a_{n-3}
\end{vmatrix}\\
b_{n-3} & = \frac{-1}{a_{n-1}} \begin{vmatrix}
a_n & a_{n-4} \\
a_{n-1} & a_{n-5}
\end{vmatrix} \\
c_{n-1} & = \frac{-1}{b_{n-1}} \begin{vmatrix}
a_{n-1} & a_{n-3} \\
b_{n-1} & b_{n-3}
\end{vmatrix}\\
c_{n-3} &= \frac{-1}{b_{n-1}} \begin{vmatrix}
a_{n-1} & a_{n-5} \\
b_{n-1} & b_{n-5}
\end{vmatrix}
\end{align*}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org6cbec6a}]{Routh-Hurwitz Stability Criterion}
\begin{itemize}
\item Test the stability of  \[q(s)=(s-1+j \sqrt{7})(s-1-j \sqrt{7})(s+3)=s^{3}+s^{2}+2 s+24\]\vspace{-2em}
\end{itemize}
\note{举一个具体的实例，特征方程是一个三次多项式，其三个根是已知的，根据因式分解式将其展开，其系数分别是一、一、二、二四，列出劳斯阵列，发现，第一列有两次符号改变，从一变到负22，又从负22变到24，因此可以判定有两个极点在右半平面，因此系统是不稳定的。}
\begin{columns}[t]
\begin{column}{0.4\columnwidth}
\begin{itemize}
\item Form the Routh array
\end{itemize}
\begin{equation*}
\begin{array}{r|rr}
s^{3} & 1 & 2 \\
s^{2} & 1 & 24 \\
s^{1} & -22 & 0 \\
s^{0} & 24 & 0
\end{array} 
\end{equation*} 
\end{column}
\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{itemize}
\item Check the first column
\end{itemize}
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
-22 \\
24
\end{bmatrix}
\end{equation*}

\begin{itemize}
\item There are two sign changes. Thus, two roots in the right half plane.
\item The roots are -3 , \(1 \pm j\sqrt{7}\)
\end{itemize}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgfef5ecb}]{Four Cases}
\begin{itemize}
\item Four cases that may occur at the first column of the Routh array
\begin{itemize}
\item No element in the first column is zero 第一列不含有零.
\item Zeros in the first column while some other elements of the row containing a zero in the first column are nonzero 首列含零，但第一列零所在行其他元素非零.
\item Zeros in the first column, and the other elements of the row containing the zero are also zero 首列含零，但零所在行其他元素均为零.
\item Repeated roots of the characteristic equation on the \(j \omega\) -axis 特征方程在虚轴上有重根.
\end{itemize}
\end{itemize}

\note{劳斯阵列计算时，首列元素可能出现四种情况。第一种情况，也就是正常情况，没有零元素，按照正常步骤计算即可；第二种情况，首列存在零元素，但零元素所在行的其他元素均不全为零；第三种情况，首列存在零，但零元素所在行的其他元素也全为零；第四种情况，特征方程在虚轴上有重根。后三种情况都得进行特殊处理才能得到完整的劳斯阵列。接下来，我们讨论如何针对三种特殊情况进行劳斯阵列的计算。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orgf5dffea}]{Remedies to case 2, 3, and 4}
\begin{itemize}
\item Remedies to case 2: \alert{Replace with a small number \(\varepsilon\) or reorder the polynomial}
\item Remedies to case 3 and case 4: \alert{Use auxiliary polynomial}
\begin{itemize}
\item Zero row is induced by factors such as \((s^2 - \sigma^2)\) or \((s^2 + \omega^2)\)
\item Each row in the Routh array is indeed a polynomial.
\item The auxiliary polynomial is the polynomial preceding the zero row. The order of the auxiliary polynomial is even.
\item The auxiliary polynomial is a factor of the characteristic polynomial.
\end{itemize}
\end{itemize}

\note{针对第二种情况，有两种处理方法，一是用小数epsilon代替零接着进行计算，计算完后，让小数趋于零，判断首列符号的变化情况；第二种方法，将原特征多项式，逆序排列系数进行计算。第三、第四种特殊情况的处理方法是构造辅助多项式。接下来我们用具体的实例来说明。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orgeaef51b}]{Case 2}
\begin{itemize}
\item Consider  \[q(s) = s^5 + 2s^4 + 2s^3 + 4s^2 + 11s +10 = 0\]\vspace{-1.2em}
\item Form the Routh array
\end{itemize}
\begin{equation*}
\begin{array}{c|ccc}
s^{5} & 1 & 2 & 11 \\
s^{4} & 2 & 4 & 10 \\
s^{3} & \epsilon & 6 & 0 \\
s^{2} & c_{1} & 10 & 0 \\
s^{1} & d_{1} & 0 & 0 \\
s^{0} & 10 & 0 & 0
\end{array}
\end{equation*}
\begin{itemize}
\item \(\displaystyle c_1 = \frac{4\varepsilon -12}{\varepsilon} = \frac{-12}{\varepsilon}, \quad d_1 = \frac{6c_1-10\varepsilon}{c_1} = 6\)
\item There are two sign changes.
\item The system is unstable and has two RHP roots.
\end{itemize}
\[\mbox{The roots are } 0.895 \pm j1.456 , -1.309 , -1.241 \pm j1.037\]

\note{特例二。给定这样一个特征方程，构造劳斯阵列，计算过程中，第一个元素就等于零，在计算下一行的元素时，由于分母为零，无法继续往下算。因此采用第一种方法将其替换成小量epsilon，计算完后，我们发现，首列元素有两次符号改变，因此有两个极点位于右半平面，可以用数值计算的方法算出该特征多项式的根，可以验证判定结果的准确性。因此，系统不稳定。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org08a5d99}]{Case 2 method 2}
\begin{itemize}
\item Consider
\end{itemize}
\[q(s) = s^5 + 2s^4 + 2s^3 + 4s^2 + 11s +10 = 0\]
\[\mbox{The roots of \(q(s)\) are } 0.895 \pm j1.456 , -1.309 , -1.241 \pm j1.037\]
\begin{itemize}
\item Reorder the polynomial as
\end{itemize}
\[s^5 q(s^{-1}) = 10s^5 + 11s^4 + 4s^3 +2s^2 +2s +1 = 0\]

\note{特例二的第二种处理方法。用s分之一替代原多项式里的s，然后在多项式两边同时乘以原多项式的最高次幂，对原多项式的系数进行逆序排列，再构造劳斯阵列就不会出现零的情况了。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org9749326}]{method 2}
\begin{itemize}
\item The Routh array
\end{itemize}
\begin{equation*}
\begin{array}{c|ccc}
s^{5} & 10 & 4 & 2 \\
s^{4} & 11 & 2 & 1 \\
s^{3} & 2.1818 & 1.0919 & \\
s^{2} & -3.5 & 1 & \\
s^{1} & 1.7143 & \\
s^{0} & 1 &
\end{array}
\end{equation*}
\[\mbox{The roots of}\ s^5 q(s^{-1})\ \rm are\ 0.306 \pm j0.498 , -0.764 , -0.474 \pm j0.397\]
\begin{itemize}
\item There are two sign changes and the system is unstable and has two RHP roots.
\end{itemize}

\note{劳斯阵列的结果是这样的，可以看出，首列有两次符号改变，因此其结论与第一种处理方法得到的结果是一致的。实际计算结果也验证了这一结论。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org4db85a0}]{Case 3}
\begin{itemize}
\item Consider \[q(s) = s^4 + 3s^3 + 6s^2 +12s +8 =0\]
\item The Routh array is
\end{itemize}
\begin{equation*}
\begin{array}{l|ccc}
s^{4} & 1 & 6 & 8 \\
s^{3} & 3 & 12 & \\
s^{2} & 2 & 8 & \\
s^{1} & 0 & & \rightarrow U(s) = 2s^2 + 8 \ {\rm Auxiliary\ polynomial}\\
s^{1} & 4 & \rightarrow \frac{dU(s)}{ds} = 4s\\
s^{0} & 8 &
\end{array}
\end{equation*}
\begin{itemize}
\item As there are no sign changes , there are no RHP roots
\item There are \(j\omega\) -axis roots  \[\mbox{The roots are } -1 , -2 , \pm j2\]
\end{itemize}

\note{特例三。如果有这样一个特征方程，劳斯阵列计算时，第四行出现全零，这时我们可以用前一行的系数构造辅助多项式，用辅助多项式导数形成新的多项式，其系数替代零元素所在行接着进行计算，我们发现，没有符号改变，因此右平面上没有极点，但是虚轴上有极点，系统临界稳定。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org6a455a5}]{Case 4}
\begin{itemize}
\item Consider \[q(s) = s^5 +s^4 +2s^3 +2s^2 +s+1 = 0\]\vspace{-1.2em}
\item The Routh array is
\end{itemize}
\begin{equation*}
\begin{array}{l|lll}
s^{5} & 1 & 2 & 1 \\
s^{4} & 1 & 2 & 1 \\
s^{3} & 0 & 0 & \rightarrow s^4 + 2s^2 + 1\ {\rm Auxilary\ polynomial}\\
s^{3} & 4 & 4 \\
s^{2} & 1 & 1 \\
s^{1} & 0 & & \rightarrow s^2 +1\ {\rm Auxiliary\ polynomial}\\
s^{1} & 2 & & \\
s^{0} & 1 &
\end{array}
\end{equation*}
\begin{itemize}
\item There are no RHP roots
\item There are repeated \(j\omega\) -axis roots  \[\mbox{The roots are } -1 , \pm j1 , \pm j1\]
\end{itemize}

\note{特列四。比如给定特征方程q s。计算劳斯阵列时，出现两次全零行的情况，根据特列三的处理方法，能继续完成计算，我们发现，首列元素全正，无符号变化，但这时要注意，我们不能据此就得出系统是稳定的，因为s四次方对应行的辅助多项式是s二次方对应的行的平方，说明特征方程在虚轴上有重根，所以系统是不稳定的。多项式的五个根也确实验证了劳斯阵列计算判断根分布的准确性。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org316ecb8}]{Welding Control Example}
\begin{itemize}
\item The welding head position control system
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[page=406, viewport=144 48 448 120, clip,scale=0.85]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}  
\begin{itemize}
\item To determine the range of \(K\) and a for stability
\end{itemize}
\[\Delta = 1+ G(s) = 1+\frac{K(s+a)}{s(s+1)(s+2)(s+3)}\]
\begin{itemize}
\item The characteristic equation is
\end{itemize}
\[s^4 + 6s^3 +11s^2 +(K+6)s +Ka = 0\]

\note{下面举一个具体的应用实例。这是焊接头位置控制系统的方框图，对于单位负反馈闭环控制系统，其特征式德尔塔等于一加上环路传递函数，这一点可参见前面介绍的方框图简化或梅逊公式等内容。现在的问题是，为使系统稳定，确定控制器的待定参数K和a的范围。将特征式转化为特征方程，将特征式通分，令分子为零，这与闭环传递函数分母为零是一个概念。将特征方程降幂排列，列劳斯阵列。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orgab64deb}]{Example}
\begin{itemize}
\item Routh array
\end{itemize}
\begin{equation*}
\begin{array}{c|ccc}
s^{4} & 1 & 11 & K a \\
s^{3} & 6 & K+6 \\
s^{2} & \frac{60-K}{6} & K a \\
s^{1} & \frac{6}{60-K}\left(\frac{60-K}{6}(K+6)-6 K a\right) & \\
s^{0} & K a
\end{array}
\end{equation*}

\note{根据劳斯阵列的计算方法，得到首列元素，为使其达到稳定，首列元素均需大于零，为此列出以下不等式。综合得出满足系统稳定的两个参数K和a的取值范围。}
\begin{columns}[t]
\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{itemize}
\item For stability
\end{itemize}
\begin{equation*}
\begin{aligned}
60-K &> 0 \\
(60-K)(K+6)-36Ka & > 0 \\
Ka & > 0 
\end{aligned}
\end{equation*}
\end{column}

\begin{column}{0.4\columnwidth}
\begin{itemize}
\item The gain \(K\) and parameter \(a\) must satisfy
\end{itemize}
\[ 60 > K  > 0\]
\[\frac{(60-K)(K+6)}{36K} > a > 0\]
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org8882223}]{The Relative Stability of Feedback Control System}
\note{下面我们介绍两个新的概念，绝对稳定与相对稳定。绝对稳定意味着特征方程的所有根都位于复平面的左半平面，相对稳定的前提是绝对稳定，但稳定程度有所差别，要求特征方程的所有根位于虚轴左侧某纵轴的左侧，或者所有根的实部小于负实轴上的某一点。特征方程的根在虚轴左侧离虚轴越远，稳定程度越高。用新的变量s减西格玛一替代原特征方程里的变量s构成新的特征方程，只要新特征方程的根在左半平面，就能保证原特征方程的根在负西格玛一轴的左侧，系统具有一定的稳定裕度。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{itemize}
\item \emph{Absolute stability}: all the roots lie in the left-half plane.
\item \emph{Relative stability}: all the roots lie to the left of an axis or the real part of each root is less than a certain number.
\item Roots of \(q(s) = 0 \Rightarrow r_1 , r_2 , \cdots , {\rm and}\ r_n\)
\item Roots of \(q(s-\sigma_1) = 0 \Rightarrow r_1 + \sigma_1 , r_2 + \sigma_1 , \cdots ,{\rm and}\ r_n + \sigma_1\)
\item If the real part of \(r_i + \sigma_1\) is less than zero , then the real part of \(r_i\) is less than \(-\sigma_1\).
\end{itemize}
\end{column}

\begin{column}{0.4\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=408, viewport=152 52 320 164, clip,scale=0.8]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}  
\begin{itemize}
\item All the roots of \(q(s)=0\) are to the left of \(s = -\sigma_1\) \alert{if and only if} all the roots of \(q(s - \sigma_1)=0\) are in the left-half plane.
\end{itemize}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org4e29416}]{Relative Stability and Axis Shift}
\begin{itemize}
\item Consider the third-order characteristic equation
\end{itemize}
\[q(s) = s^3 +4s^2 +6s+4\]\vspace{-1.2em}
\[\mbox{The roots of } q(s)\ {\rm are} \ -2 , -1 \pm j1\]\vspace{-1.2em}
\begin{itemize}
\item Shift to \(s_n = s+2\)  \[(s_n - 2)^3 +4(s_n - 2)^2 +6(s_n -2) +4 = s_n^3 -2s_n^2 +2s_n\]\vspace{-1.2em}
\begin{itemize}
\item Roots are 0 , \(1\pm j1\)
\end{itemize}
\item Shift to  \(s_n = s+1\)  \[(s_n - 1)^3 +4(s_n - 1)^2 +6(s_n - 1) +4 = s_n^3 + s_n^2 +s_n +1\]\vspace{-1.2em}
\begin{itemize}
\item Roots are -1 , \(\pm j1\)
\end{itemize}
\end{itemize}

\note{可以用移轴法确定特征根，进而分析系统的相对稳定性。例如，我们判断一下这一三阶特征方程的根大约处于什么范围。由于我们没有根的先验信息，我们计算两种情况，分别将虚轴移到负一和负二的位置，重新构造出两个特征方程进行相应的劳斯判据，我们发现，虚轴平移到负二时，有两个根位于右半平面，显然系统不稳定，而且，有一个根为实数零，也就是在虚轴上，是一个临界状态，所以可以断定，原系统的特征根应该有一个在负二轴上、两个在负二轴的右侧。虚轴移到负一轴时，劳斯阵列计算显示，有共轭虚根在虚轴，因此系统临界稳定，可以断定原统的特征根应该有两个在负一轴上。所以原系统的特征根分布在负一轴和负二轴上。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org438d3fa}]{Design Examples: Tracked Vehicle Turning Control}
\begin{itemize}
\item Consider the tracked vehicle turning control problem
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[page=412, viewport=144 44 452 244, clip,scale=0.75]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\begin{itemize}
\item The characteristic equation is
\end{itemize}
\begin{equation*}
\begin{aligned}
s(s+1)(s+2)(s+5)+K(s+a) & = 0\\
s^4 +8s^3 +17s^2 +(K +10)s +Ka & = 0
\end{aligned}
\end{equation*}

\note{下面看一个设计实例，履带车转向控制。履带车辆的转向控制系统结构如a图所示，当两侧的履带以不同速度运行时，能实现车辆转向。各功能框对应的模型如图b所示。设计目标是为参数K和a选择合适的值，以使系统稳定，并使系统对斜坡输入的稳态误差小于或等于输入信号斜率的24\%。根据闭环控制系统的特征式，列出系统的特征方程，展开并进行降幂排列。再列劳斯阵列进行计算。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org8c9832d}]{Tracked Vehicle Turning Control}
\note{由劳斯-赫尔维茨准则可知，要保持系统稳定，劳斯阵列首列元素要全正。所以列出以下不等组，K、a相相乘大于零，表明这两参数同号，一般参数选正，所以两参数位于第一象限。根据第二个不等式，K、a之间的关联关系如图中蓝色曲线所示，能确保系统稳定的区域是蓝色曲线与横、纵坐标之间的区域。}
\begin{columns}[t]
\begin{column}{0.5\columnwidth}
\begin{itemize}
\item Routh array
\end{itemize}
\begin{equation*}
\begin{array}{l|ccc}
s^{4} & 1 & 17 & K a \\
s^{3} & 8 & K+10 \\
s^{2} & b_{3}=\frac{126-K}{8} & K a \\
s^{1} & \frac{b_{3}(K+10)-8 K a}{b_{3}} & \\
s^{0} & K a &
\end{array}
\end{equation*}\vspace{-1.2em}
\begin{itemize}
\item For stability,
\end{itemize}
\begin{equation*}
\begin{aligned}
K & < 126\\
(K+10)(126-K) -64Ka & > 0\\
Ka & > 0
\end{aligned}
\end{equation*}\vspace{-1.2em}
\end{column}

\begin{column}{0.5\columnwidth}
\begin{itemize}
\item Region of stability
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[page=413, viewport=104 36 292 224, clip,scale=0.85]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}


\begin{frame}[label={sec:org937dd5f}]{Steady state error}
\note{设计的第二个目标，要求系统的稳态误差小于24\%。根据五点六节，反馈控制系统的稳态误差一节介绍，本例的开环传递函数为一型系统，该系统对斜坡输入信号的稳态误差可以表示为斜坡斜率除以速度误差常数K v，速度误差常数等于开环传递函数与s的乘积在s趋于零的值，将速度误差常数代入稳态误差公式，并按设计要求列出不等式，所以可以推导出K、a的乘积应该大于41.6，我们取整为42，在可选参数的范围内，K的值可以为70，a的取值可以为0.6。我们也可在K、a乘积的约束条件下，得到另外一系列的K、a组合，但需要指出，K值不能超过126。}
\begin{columns}[t]
\begin{column}{0.5\columnwidth}
\begin{itemize}
\item Steady-state error to a ramp input
\end{itemize}
\[e_{ss} = \frac{A}{K_v} \]

\[K_v = \lim_{s\rightarrow 0} sG_cG = \frac{Ka}{10}\]

\[e_{ss}= \frac{10A}{Ka}<0.24A\rightarrow Ka>41.6\]
\end{column}
\begin{column}{0.5\columnwidth}
\begin{itemize}
\item Region of stability
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[page=413, viewport=104 36 292 224, clip,scale=0.85]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\begin{itemize}
\item \(Ka = 42\rightarrow K = 70,\ a = 0.6\)
\end{itemize}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org51526a8}]{Summary}
\begin{itemize}
\item Definition of stability
\begin{itemize}
\item Stable
\item Marginally stable
\item Unstable
\end{itemize}
\item Stability and the root locations (poles, eigenvalues)
\item Routh-Hurwitz stability criterion
\item Relative stability
\end{itemize}

\note{本章讨论了反馈控制系统稳定性的概念，分析了系统稳定性与闭环传递函数极点在复平面上的分布之间的关系。另外介绍了劳斯-赫尔维茨稳定性判据，并通过具体实例，分情况讨论了该稳定判据的应用方法。还进一步讨论了相对稳定性的概念。}
\end{frame}
\section{Frequency Response Methods}
\label{sec:org9b40840}

\begin{frame}[label={sec:org0daf7d1}]{Chapter Contents}
\begin{itemize}
\item Introduction
\item Frequency response plots
\item Frequency response measurement
\item Performance specifications in the frequency domain
\item Log magnitude and phase diagrams
\item Design examples
\item Frequency response methods using control design software
\item Sequential design example: disk drive read system
\item Summary
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orga5aeaf2}]{Preview 内容提要}
\begin{itemize}
\item \emph{Frequency response}: describes how a linear system responds to sinusoidal inputs.
\item Use a steady-state \alert{sinusoidal input signal} and consider the \alert{steady-state response} of the system \alert{as the frequency of the sinusoid is varied}.
\item Forms of plotting the frequency response
\begin{itemize}
\item Bode plot 波德图
\item Polar plots 极坐标图
\item log-magnitude and phase diagrams 对数幅相图
\end{itemize}
\item Performance specification of a system in frequency domain
\begin{itemize}
\item time response specifications
\item system bandwidth
\end{itemize}
\end{itemize}

\note{本章将研究系统的频域响应，描述一个线性定常系统在正弦输入信号下如何响应。我们会使用稳定的正弦输入信号输入系统，然后考虑输入信号正弦频率变化时系统的稳态响应，我们将发现，该稳态响应也是一个具有相同频率的正弦信号，只是幅值和相角与正弦输入信号有所不同。这种不同是输入信号频率的函数。为此，我会继续研究用图示的方法表示系统频率响应随频率的变化情况，这里面包括乃氏图、波德图和对数幅相图。我还将从系统频率响应出发，重新讨论几种时域指标，并引入系统带宽的概念。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orgef293d5}]{Introduction}
\begin{itemize}
\item System response: described in terms of the complex frequency variable \(s\) and the location of the poles and zeros on the \(s\)-plane.
\item Frequency response method 频率响应法
\begin{itemize}
\item The frequency response of a system is defined as \emph{the steady-state response of the system to a sinusoidal input signal}.
\item The sinusoid is a unique input signal, and the resulting output signal for a linear system, as well as signals throughout the system, is sinusoid in the steady state.
\item It differs from the input waveform only in amplitude and phase angles.
\end{itemize}
\end{itemize}

\note{前面各章利用复变量s及s平面上的零、极点分布描述系统在时域里的响应和性能，本章将介绍一种非常重要且实用的系统分析和设计方法，频率响应法。系统的频率响应定义为，系统对正弦输入信号的稳态响应。正弦信号是一种独特的输入信号，在它的激励下，线性系统的输出信号，以及经过系统产生的其他信号，在达到稳态时也均是正弦信号，只是与输入信号相比，它们的频率相同，而幅值和相角不同。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org769ff7a}]{Frequency Response}
\begin{itemize}
\item Consider \(Y(s) = T(s)\cdot R(s)\) with \(r(t) =A \sin\omega t\) or \(\displaystyle R(s) = \frac{A\omega}{s^2 +\omega^2}\)
\item Assume \(\displaystyle T(s) = \frac{m(s)}{q(s)} =\frac{m(s)}{\prod_{i=1}^{n} (s+p_i)}\) , then in partial fraction form
\end{itemize}
\[Y(s) = \frac{k_1}{s+p_1} + \cdots + \frac{k_n}{s+ p_n} + \frac{\alpha s+\beta}{s^2+\omega^2} \rightarrow \]\vspace{-1em}
\[y(t) =k_1 e^{-p_1 t} + \cdots + k_n e^{-p_n t} +\alpha \cos\omega t + \frac{\beta}{\omega} \sin\omega t\]\vspace{-1em}
\begin{itemize}
\item If the system is \alert{stable}, i.e., all \(p_i\) have positive real parts, then as \(t \rightarrow \infty\),
\end{itemize}
\begin{equation*}
\begin{aligned}
y(t) & = \alpha \cos\omega t + \frac{\beta}{\omega} \sin\omega t\\
& = A |T(j\omega)| \sin(\omega t +\angle T(j\omega))
\end{aligned}
\end{equation*}\vspace{-1em}
\begin{itemize}
\item The steady-state output signal depends only on the magnitude and phase of \(T(j\omega)\) at a specific frequency \(\omega\).
\end{itemize}
\note{假设输入信号是幅值为A、频率为omega的正弦信号，其对应的拉氏变换式为r s。如果传递函数的极点已知，那么输出响应可以写成部分分式展开的形式，进一步得出系统的时域响应y t。我们发现，如果系统是稳定的，极点具有负实部，因此当时间趋于无穷时，时域响应只剩余弦和正弦两项的和，其中阿尔发和贝塔是待定参数，取决于所给定的问题。进一步研究，我们发现，系统的稳态输出信号只取决于频率特性函数T j omega在特定频率上的幅值和相角。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orga0f93f1}]{Frequency Response}
\begin{itemize}
\item Advantages
\begin{itemize}
\item Availability of sinusoid test signals for various ranges of frequencies and amplitudes
\item The design of a system in the frequency domain provides the designer with control of the bandwidth of the system, as well as some measure of the response of the system to undesired noise and disturbances.
\item The transfer function describing the sinusoidal steady-state behavior of a system can be obtained by replacing \(s\) with \(j\omega\) in the system transfer function.
\end{itemize}
\item Disadvantages
\begin{itemize}
\item Indirect link between frequency and time domain.
\item Initial state response is not considered.
\end{itemize}
\end{itemize}

\note{频率响应方法的一个突出优点是，可以很方便地获取各种频率及幅值的正弦输入信号，在频域内进行系统设计，能够为设计者控制系统带宽提供便利，也能为抑制噪音和干扰提供有效途径。此外，只要用j omega替代复变量s，就能由传递函数直接得到系统的频率特性函数，进一步可针对频率特性函数研究系统的频率响应。频率响应法的不足之处是，频率域和时间域之间没有直接的联系，而且没有考虑系统初始状态的输出响应。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org15217a1}]{Frequency Response Plots}
\begin{itemize}
\item The transfer function of a system \(G(s)\) can be described in the frequency domain by
\end{itemize}
\[G(j\omega) = G(s)|_{s=j\omega} = R(\omega) +jX(\omega)\] \vspace{-2em}
\begin{itemize}
\item The transfer function can also be represented by a magnitude and a phase.
\end{itemize}
\[G(j\omega) = |G(j\omega)|e^{j\phi(\omega)} = |G(\omega)| \angle \phi(\omega)\] \vspace{-2em}
\begin{itemize}
\item Relationship
\end{itemize}
\[\phi(\omega) = \arctan\frac{X(\omega)}{R(\omega)}\ {\rm and}\ |G(\omega)|^2 = [R(\omega)]^2+[X(\omega)]^2\] \vspace{-1em}
\begin{itemize}
\item Two plots will be discussed
\begin{itemize}
\item \emph{Polar plot} 乃氏图，或极坐标图: imaginary part versus real part
\item \emph{Bode plots} 波德图: magnitude and phase versus frequency
\end{itemize}
\end{itemize}

\note{在频域内，可以将系统传递函数改写成频率特性函数，既可以写成实部、虚部的形式，也可以写成幅值和相角的形式，它们之间可以相互转换，比如，相角的正切就等于虚部除以实部，幅值的平方就等于实部、虚部的平方和。有了频率特性函数，我们就可以用图示的方法研究它，常用的两种图示方法分别是乃氏图和波德图，前者是根据实部和虚部在一张图上绘制不同频率对应的频率特性点，然后连接起来构成；后者是将幅值和相角随频率的变化分别绘制在两张图上形成的。接下来我们会详细展开介绍。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org9538024}]{Polar Plot 乃氏图}
\begin{itemize}
\item Polar plot: the coordinates of the polar plot are the real and imaginary parts of \(G(j\omega)\).
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[page=550, viewport=148 536 324 612, clip,scale=0.85]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\begin{itemize}
\item Limitation of polar plot
\begin{itemize}
\item The addition of poles or zeros to an existing system require the recalculation of the frequency response.
\item tedious and does not indicate the effect of the individual poles or zeros
\end{itemize}
\end{itemize}

\note{乃氏图也称为极坐标图，其坐标点的横、纵坐标分别是频率特性函数的实部和虚部。但是极坐标图有明显不足，主要体现在，当系统增加新的零点或极点时，需要重新计算系统的频率响应才能得到新的极坐标图，这给系统设计带来了诸多不便。另外，极坐标图的绘制也非常繁琐，而且无法明显地看出每个零点或极点对极坐标图的影响。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org0f37574}]{Polar Plot of an RC Filter}
\note{下面我们看几个具体的实例，来说明极坐标图的绘制方法。首先看一下RC滤波器的频率响应。我们已经知道如何获得RC滤波器的传递函数，这里我们只列出结论。再将传递函数里的变量s替换成j omega，得到RC滤波器的频率特性函数。再引入另外一个常数omega 1，表示电阻电容乘积的倒数，然后将频率特性函数写成实部和虚部的形式，我们发现，当频率为零时，实部为1，虚部为零，因此起点位于右实轴上坐标为一的点，再考虑频率为无穷大时，实部为零，虚部也为零，因此终点为原点，当频率等于欧米伽一时，横坐标为二分之一，纵坐标为负二分之一。完整绘出RC滤波器的极坐标图为处于第四象限的半圆，圆心为二分之一、零。如果考虑负频率的情况，极坐标图为处于第一象限的半圆。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.65\columnwidth}
\begin{itemize}
\item The transfer function of a simple RC filter is
\end{itemize}
\[G(s) = \frac{1}{RCs +1}\]\vspace{-1.2em}
\begin{itemize}
\item The sinusoidal steady-state transfer function is
\end{itemize}
\[G(j\omega) = \frac{1}{j\omega RC+1} = \frac{1}{j(\omega/\omega_1) +1}, \quad \omega_1 =\frac{1}{RC}\]\vspace{-1.2em}
\begin{itemize}
\item The polar plot is obtained from
\end{itemize}
\begin{equation*}
\begin{aligned}
G(j\omega) & = R(\omega) + jX(\omega)  |=G(\omega)| \angle \phi(\omega) \\ 
&=\frac{1}{1+(\omega/\omega_1)^2 } -j \frac{\omega/\omega_1}{1+ (\omega /\omega_1)^2}
\end{aligned}
\end{equation*}\vspace{-1em}
\begin{itemize}
\item \(\omega = 0\rightarrow (1,j0);\ \omega =\infty \rightarrow (0,0);\ \omega = \omega_1\rightarrow (1/2,-1/2j)\)
\end{itemize}
\end{column}

\begin{column}{0.35\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=550, viewport=144 44 308 112, clip,scale=0.65]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\begin{center}
\includegraphics[page=551, viewport=108 472 304 612, clip,scale=0.65]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\begin{equation*}
\begin{aligned}
|G(\omega)|  &= \frac{1}{[1+(\omega / \omega_1)^2]^{1/2}} \\
\phi(\omega) & = -\arctan(\omega / \omega_1) 
\end{aligned}
\end{equation*}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org7b0c4e8}]{Another Polar Plot Example}
\note{另一个例子，给定传递函数的形式为G s，再写出对应的频率特性函数G j omega。分别列出频率特性函数的幅值和相角，幅值等于频率特性函数分子的模与分母的模的比值，相角等于分子的相角减去分母的相角。这里要注意，阿克谭杰特负欧米伽套分之一表示的是，横坐为负欧米伽套，纵坐标为一的点与原点连线和正实轴之间构成的角，与派减阿克谭杰特欧米伽套分之一是等价的。也可以写成实部、虚部构成的表达式。我们还是取三个特殊的频率点，零，无穷大，和套分之一。当频率等于零时，我们发现实部、虚部的分子、分母都趋于零，此时根据洛必达法则，对分子、分母分别求导后再求极限，实部、虚部分别趋于负K套和负无穷，当频率等于无穷时，实部、虚部都趋于零，当频率等于套分之一时，实部、虚部相等，均为负二分之K套。将这三个特征点连接起来，形成该系统的极坐标图。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{itemize}
\item Consider the transfer function
\end{itemize}
\[G(s) = \frac{K}{s(\tau s+1)}\ {\rm or}\ G(j\omega) = \frac{K}{j\omega(j\omega \tau+1)} = \frac{K}{-\omega^2\tau^2 + j\omega}\]\vspace{-1.2em}
\begin{itemize}
\item The magnitude and phase are
\end{itemize}
\begin{equation*}
\begin{aligned}
 |G(\omega)| & = \frac{K}{(\omega^2 +\omega^4 \tau^2)^{1/2}} \\
 \phi(\omega) & = -\arctan(\frac{1}{-\omega \tau}) = -\pi +\arctan(\frac{1}{\omega \tau})
\end{aligned}
\end{equation*}
\begin{itemize}
\item In terms of real and imaginary parts,
\end{itemize}
\[G(j\omega) = R(\omega) +jX(\omega) = \frac{-K\omega^2 \tau}{\omega^2 + \omega^4 \tau^2} + j\frac{-\omega K}{\omega^2 +\omega^4 \tau^2}\]\vspace{-1.2em}
\begin{itemize}
\item \(\omega = 0\rightarrow (-K\tau,-j\infty);\ \omega =\infty \rightarrow (0,0);\ \omega = 1/\tau\rightarrow (-K\tau/2,-jK\tau/2)\)
\end{itemize}
\end{column}
\begin{column}{0.4\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=552, viewport=144 408 340 612, clip,scale=0.65]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org2ff1613}]{Bode Plots or Logarithmic Plots 伯德图或对数坐标图}
\begin{itemize}
\item The frequency response is represented as two curves
\begin{itemize}
\item The logarithm of magnitude versus \(\log \omega\) 幅频
\item The phase versus \(\log \omega\) 相频
\end{itemize}
\item Advantages of Bode plot
\begin{itemize}
\item Bode plots of system in series simply add
\item A much wider range of system behavior, from low to high frequency behavior, can be displayed on a single plot
\item Bode plot can be determined experimentally
\item Stability margins (gain and phase margins 幅值裕量和相角裕量) can be extracted from the Bode plot
\item Dynamic compensation design can be based entirely on Bode plot
\item Bode's phase-gain relationship is given in terms of logarithms of gain and phase 对数幅相图
\end{itemize}
\end{itemize}

\note{系统的频率响应分别用两条曲线来表示，一条是对数幅值增益对对数频率的变化曲线，称为幅频曲线，另一条为相角随对数频率的变化曲线，称为相频曲线。伯德图的优点有很多。系统伯德图能用简单叠加的方式进行拓展；由于采用了对数频率，一张图上可以显示由低频到高频很宽范围内的系统行为；而且可以通过实验的方法来确定伯德图；从伯德图上可以提取出稳定裕量，包括幅值裕量和相角裕量；也可基于伯德图进行系统的动态补偿设计；我们还可以直接建立对数幅值与相角的关系，也就是对数幅相图，用对数幅相图研究闭环反馈控制系统的相对稳定性更为方便，这一点我们将在下一章节进行介绍。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org7a0087b}]{Bode Plot}
\begin{itemize}
\item The transfer function in the frequency domain is
\end{itemize}
\[G(j\omega) = |G(\omega)|e^{j\phi(\omega)}\]\vspace{-1.2em}
\begin{itemize}
\item The natural logarithm of \(G(j\omega)\) is
\end{itemize}
\[\ln G(j\omega) = \ln|G(\omega)| +j \phi(\omega)\]\vspace{-1.2em}
\begin{itemize}
\item The logarithm of the magnitude is normally expressed in terms of the logarithm to the base 10, thus
\end{itemize}
\[{\rm logarithm\ gain} = 20\log_{10} |G(\omega)|\] \vspace{-1.2em}
\begin{itemize}
\item where the units are in decibels (dB).
\end{itemize}

\note{频率特性函数我们写成幅值和相角组成的指数形式，对其取自然对数，我们可以得到幅值自然对数为实部，相角为虚部的新的复数，它与原频率特性函数是等价的。在对数坐标图中，我们通常用以十为底的对数来表示频率响应的幅值，也就是对数幅值，表示成20倍的log G，其单位为分贝。接下来我们举几个具体的伯德图的例子。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org5ed3330}]{Bode Plot Example}
\begin{itemize}
\item For the transfer function \(\displaystyle G(j\omega) = \frac{1}{j\omega RC+1} = \frac{1}{j\omega \tau +1}\)
\item The logarithm gain is
\end{itemize}
\[20\log|G| = 20\log\frac{1}{\sqrt{1+(\omega \tau)^2}} = -10\log[1+(\omega \tau)^2]\]
\begin{itemize}
\item For small frequencies, i.e., \(\omega << 1/\tau\) , the logarithm gain is
\end{itemize}
\[20\log|G| \approx -10\log(1) = 0 \rm dB\]\vspace{-1.2em}
\begin{itemize}
\item For large frequencies, i.e., \(\omega>>1/\tau\) , the logarithm gain is
\end{itemize}
\[20\log|G| \approx -20\log\omega \tau\ {\rm dB} = -20\log\omega -20\log\tau\]\vspace{-1.2em}
\begin{itemize}
\item When \(\omega = 1/\tau\) , \(20\log|G| = -10\log2 = -3.01\ {\rm dB}\)
\item The phase angle is
\end{itemize}
\[\phi(\omega) = -\arctan\omega \tau\]

\note{还举前面提过的RC滤波器的例子。首先列出其频率特性函数，对数幅值增益为20倍的log G，将频率特性函数的幅值表达式代入，当频率远小于套分之一时，对数后面括号里的平方项可以忽略，只剩下一，一的对数为零，所以对于RC滤波器，在频率很小时，幅频曲线为零分贝线；相反，当频率很大时，对数后面括号里的一可以忽略，所以幅频曲线斜率趋近于负二十的一条直线。我们也可以计算出频率为套分之一时，对数幅值增益的准确值为负三点零一分贝。列出相角的表达式，负的阿克谭杰特omega tau，根据相角表达式绘制相频特性图。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgd4239ef}]{Bode Plot Example}
\begin{itemize}
\item The frequency \(\omega = 1/\tau\) is called the break frequency or corner frequency 转角频率或转折频率.
\end{itemize}
\note{套分之一处的频率我们称为转角频率或转折频率。依据前述分析，可以得出系统的幅频和相频特性图。以转角频率为中心，左侧为十分之一转角频率，右侧为十倍转角频率，低频时趋于0分贝线，高频时曲线斜率趋于负二十，转角频率处幅频曲线上的点约为负三分贝，相频曲线上的点为负四十五度，低频时相角趋于零度，高频时，相角趋于负九十度。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.4\columnwidth}
\[G(j\omega) = \frac{1}{j\omega \tau +1}\]
\[20\log|G| = -10\log[1+(\omega \tau)^2]\]
\[\phi(\omega) = -\arctan\omega \tau\]
\end{column}

\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=554, viewport=144 384 464 612, clip,scale=0.65]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orgc49644d}]{Decade in Bode Plot 十倍频程}
\note{两个频率点之间相比为十时记为一个十倍频程。当频率由omega一变到omega二时，而且后者是前者的十倍，我们就说频率变化了一个十倍频程。在频率远大于转角频率时，频率变化一个十倍频程，对数幅值增益的近似变化量可以计算出为20分贝。所以一阶系统的伯德图渐近线的斜率为负二十分贝每十倍频程。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{itemize}
\item \emph{Decade}: An interval of two frequencies with ratio equel to 10 is called a decade 十倍频.
\begin{itemize}
\item The difference between the logarithmic gains, for\(\omega>>1/\tau\), over a decade is 20 dB. Suppose that \(\omega_2=10\omega_1>>1/\tau\), then
\end{itemize}
\end{itemize}
\begin{equation*}
\begin{aligned}
& 20\log|G(\omega_1)|-20\log|G(\omega_2)| \\
& =-20\log\omega_1\tau-(-20\log\omega_2\tau)\\
& =-20\log\frac{\omega_1\tau}{\omega_2\tau}\\
& =20 {\rm dB}
\end{aligned}
\end{equation*}\vspace{-1.2em}
\begin{itemize}
\item The slope of the asymptotic line 渐近线 is −20 dB/decade
\end{itemize}
\end{column}
\begin{column}{0.4\columnwidth}
\begin{figure}[htbp]
\centering
\includegraphics[page=555, viewport=108 48 280 148, clip,scale=0.9]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\caption{Asymptotic curve for \(\displaystyle \frac{1}{j\omega\tau + 1}\)}
\end{figure}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgc0b0b66}]{Octave in Bode Plot 二倍频程}
\begin{itemize}
\item \emph{Octave}: The frequency interval \(\omega_2=2\omega_1\) is called an octave of frequencies. 
\begin{itemize}
\item The difference between the logarithmic gains, for \(\omega>>1/\tau\), for an  octave, is
\end{itemize}
\end{itemize}
\[20\log|G(\omega_1)|-20\log|G(\omega_2)|=-20\log\omega_1\tau-(-20\log\omega_2\tau)=6.02 {\rm dB}\]\vspace{-1.2em}
\begin{itemize}
\item The slpoe of asymptotic line for the first-order transfer function is -6.02dB/octave
\item The primary advantage of the logarithmic plot is the conversion of multiplicative factors such as \(|j\omega\tau+1|\) into additive factor \(20\log |j\omega \tau+1|\).
\end{itemize}

\note{同样，我们也可以定义二倍频程的概念，当两个频率点之间相比为二时记为一个二倍频程，此时我们也可以计算出一个二倍频程之间对应的对数幅值的变化量为六点零二分贝，所以一阶系统伯德图渐近线的斜率约为负六分贝每二倍频程。使用伯德图的主要优点是通过对数运算可以将频率特性函数中的乘法因子转化为加法因子，这也是伯德图为什么能进行叠加拓展的主要原因。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orgbbcfe43}]{Log magnitude and phase for general TF}
\begin{itemize}
\item Consider the transfer function
\end{itemize}
\begin{equation*}
G(j \omega)=\frac{K_{b} \prod_{i=1}^{Q}\left(1+j \omega \tau_{i}\right) \prod_{l=1}^{P}\left[\left(1+\left(2 \zeta_{l} / \omega_{n_{l}}\right) j \omega+\left(j \omega / \omega_{n_{l}}\right)^{2}\right)\right]}{(j \omega)^{N} \prod_{m=1}^{M}\left(1+j \omega \tau_{m}\right) \prod_{k=1}^{R}\left[\left(1+\left(2 \zeta_{k} / \omega_{n_{k}}\right) j \omega+\left(j \omega / \omega_{n_{k}}\right)^{2}\right)\right]}
\end{equation*}
\begin{itemize}
\item The logarithm magnitude of \(G(j\omega)\) is
\end{itemize}
\begin{equation*}
\begin{aligned}
20 \log |G(j \omega)|=20 \log K_{b}+20 \sum_{i=1}^{Q} \log \left|1+j \omega \tau_{i}\right| \\
-20 \log \left|(j \omega)^{N}\right|-20 \sum_{m=1}^{M} \log \left|1+j \omega \tau_{m}\right| \\
+20 \sum_{l=1}^{P} \log \left|1+\frac{2 \zeta_{l}}{\omega_{n_{l}}} j \omega+\left(\frac{j \omega}{\omega_{n l}}\right)^{2}\right|-20 \sum_{k=1}^{R} \log \left|1+\frac{2 \zeta_{k}}{\omega_{n_{k}}} j \omega+\left(\frac{j \omega}{\omega_{n_{k}}}\right)^{2}\right|
\end{aligned}
\end{equation*}
\begin{itemize}
\item The Bode diagram can be obtained by adding the plot due to each individual factor.
\end{itemize}
\note{考虑频率特性函数的一般形式，在原点处有N重极点，有M个非零实极点，R对共轭复极点，Q个实零点，和P对共轭零点，我们可以看，频率特性函数是位于分子、分母不同类型的多项式相乘的形式，绘制其极坐标图将面临很大困难。采用对数幅值增益，可以将乘积的形式转化为加和的形式，这样只要将各项的对数幅值增益曲线叠加起来，就能得到频率特性函数的对数幅值增益曲线。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org77e57bc}]{Log magnitude and phase for general TF}
\begin{itemize}
\item The separate phase is obtained as
\end{itemize}
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\phi(\omega)=&+\sum_{i=1}^{Q} \tan ^{-1}\left(\omega \tau_{i}\right)-N\left(90^{\circ}\right)-\sum_{m=1}^{M} \tan ^{-1}\left(\omega \tau_{m}\right) \\
&-\sum_{k=1}^{R} \tan ^{-1} \frac{2 \zeta_{k} \omega_{n_{k}} \omega}{\omega_{n_{k}}^{2}-\omega^{2}}+\sum_{l=1}^{P} \tan ^{-1} \frac{2 \zeta_{l} \omega_{n_{l}} \omega}{\omega_{n_{l}}^{2}-\omega^{2}}
\end{aligned}
\end{equation*}
\begin{itemize}
\item which is simply the summation of the phase angle due to each individual factor of the transfer function.
\end{itemize}

\note{频率特性函数的相角函数可以表示成如下的式子，也是求和的形式，同样只需要将各项的相频特性曲线叠加起来，就可以得到频率特性函数的相频特性曲线。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org1bc1e8e}]{Four kinds of factors in Bode Plot}
\begin{itemize}
\item Four kinds of factors
\begin{itemize}
\item constant gain \(K_b\) 常数增益
\item Poles(or zeros) at the origin \(j\omega\) 原点处的零极点
\item Poles(or zeros) on the real axis \(j\omega\tau+1\) 实轴上的零极点
\item Complex conjugate poles(or zeros) \(1+(2\zeta/\omega_n)j\omega+(j\omega/\omega_n)^2\) 共轭复极点、复零点
\end{itemize}
\item We can determine the logarithmic magnitude plot and phase angle for these four factors and then utilize them to obtain a Bode diagram for any general form of a transfer function.
\item Typically, the curve for each factor are obtained and then added together graphically to obtain the curves for the complete transfer fuction.
\item Furthermore, the procedure can be simplified by using the asymptotic approximation to these curves and obtaining the acutual curves only at specific important frequencies.
\end{itemize}

\note{从前面的分析可以看出，频率特性函数中有四类不同的基本因子项。包括常数增益项，原点处的零点或极点项，实轴上的零点或极点项，共轭复极点或复零点项。如果我们确定了这四种基本环节的对数幅值增益曲线和相频特性曲线，就可以用它来得到任意形式的传递函数所对应的伯德图。也就是，先得到每一个典型环节的伯德图曲线，然后在图上将它们叠加起来就可以得到完整传递函数的伯德图曲线了。最重要要的，利用曲线的渐近线进行近似，可以简化叠加过程，只需要在特定的重要频率点上获得真实曲线即可，比如转角频率处等。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orgb979ba3}]{Bode Plot of a Constant Gain}
\begin{itemize}
\item The logarithmic gain is
\end{itemize}
\[20\log K_b= {\rm constant\ in\ dB}\]\vspace{-2em}
\begin{itemize}
\item the phase angle is zero.
\item The gain is simply a horizontal line on the Bode diagram
\item if the gain is negative, the logarithmic gain remains the same and the phase becomes \(-180^\circ\).
\end{itemize}

\note{常数项的对数增益仍然是一个常数，其单位为分贝，在幅频特性曲线上是一条水平线。而相角为零度。如果增益为负值，其对数增益与正增益时相同，但相角变为负一百八十度。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgac5708c}]{Bode Plot of Pole/Zero at the orign}
\begin{center}
\includegraphics[page=558, viewport=140 484 504 612, clip,scale=0.85]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\note{原点处的零点或极点项，对应的频率特性函数就是一个纯虚数，如果考虑多重零、极点的情况，不管是原点处零点还是极点，我们可以统一用纯虚数的正负指数来表达，虚数也可写成指数的形式，因此，对简单零、极点和多重零、极点分别计算其对数增益和相角，列在这个表里。我们发现，对于简单极点，对数增益曲线是斜率为负二十、过一、零点的直线，相角为负九十度；对于多重极点，对数增益曲线的斜率为负的二十倍N，相角为负的N倍九十度。简单零与多重零点的幅频曲线和相频曲线相似，只是斜率和相角的符号相反。}
\begin{block}{Bode Plot of Pole/Zero at the Origin \((j\omega)^{\pm N} = \omega^{\pm N} e^{\pm N\cdot 90^\circ j}\)}
\begin{center}
\begin{tabular}{llll}
\hline
 & Logarithmic gain & phase & slope\\
\hline
A simple pole & \(-20\log\omega\) & \(-90^\circ\) & -20 dB/decade\\
Multiple pole & \(-20N\log \omega\) & \(-N\cdot 90^\circ\) & -20N dB/decade\\
A simple zero & \(20\log \omega\) & \(+90^\circ\) & +20 dB/decade\\
Multiple pole & \(20N\log \omega\) & \(+N\cdot 90^\circ\) & +20N dB/decade\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orga4dcc73}]{Bode Plot of a Real-Axis Pole 实极点}
\begin{itemize}
\item The logarithmic magnitude of the pole factor \((1+j\omega\tau)^{-1}\) is
\end{itemize}
\[20\log\Big|\frac{1}{1+j\omega\tau}\Big|=-10\log(1+\omega^2\tau^2)\]\vspace{-1.0em}
\begin{itemize}
\item The asymptotic curves 渐近线
\begin{itemize}
\item For \(\omega<<1/\tau\), \(20\log1=0\) dB
\item For \(\omega>>1/\tau\), \(-20\log\omega\tau\) dB. The high-frequency slope is -20dB/decade.
\end{itemize}
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[page=559, viewport=100 488 468 612, clip,scale=0.8]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\begin{center}
\includegraphics[page=559, viewport=100 348 468 364, clip,scale=0.8]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\note{实极点的情况我们在前面举的RC滤波器中已进行了说明。现在再重新回顾一下。先看幅频特性，幅值取对数后的形式是这样的，接下来分别讨论低频和高频时的情况，用渐近折线替代真实的幅频特性曲线。频率远小于转角频率时，渐近线为零分贝线，频率远大于转角频率时，渐近线为过转角频率对应的零分贝点，斜率为负二十的直线。我们可以看出，渐近线与真实曲线非常接近，但绘制方法得到极大简化。实际绘制时，只要找到转角频率，向上找到零分贝点，过这一点，往左画一条零分贝线，往右画一条斜率为负二十的直线即可。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org83604f3}]{Bode Plot of a Real-Axis Pole 实极点}
\begin{itemize}
\item The intersection of the two curves occurs when \(\omega = 1/\tau\), which is the break frequency.
\item The acutual logarithmic gain when \(\omega = 1/\tau\) is -3dB for this factor.
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[page=559, viewport=100 488 468 612, clip,scale=0.8]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\begin{center}
\includegraphics[page=559, viewport=100 348 468 364, clip,scale=0.8]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\note{两条折线的交点正好是转角频率。转角频率处对应的真实对数增益我们在前面内容里也介绍过，为负三分贝。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orge1f5d1f}]{Bode Plot of a Real-Axis Pole 实极点}
\begin{itemize}
\item The phase angle is \(\phi(\omega)=-\tan^{-1} \omega\tau\)
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[page=559, viewport=100 336 468 464, clip,scale=0.8]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\note{我们也可以根据相频特性函数绘制相频曲线，重要的是如何用渐近线来代替准确曲线。显然在转角频率处的正切为一，因此对应的相角为负四十五度，在转角频率两侧的两个十倍程内，相频曲线近似为过负四十五和零度的一条直线，两个十倍程外，相角分别近似为零度和负九十度。我们发现，渐近线只与实际曲线在转角频率处相交，在其他频率点上，两条曲线之间存在六度以内的误差，这通常可以满足工程实际需要。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org1a5fb1f}]{Bode Plot of a Real-Axis Zero 实零点}
\begin{itemize}
\item Bode diagram of a zero factor \(1+j\omega\tau\)
\begin{itemize}
\item Obtained in the same manner as that of the pole.
\item The slope is postitive at +20 dB/decade(beyond the break frequency)
\item the phase angle is \(\phi(\omega)=\tan^{-1} \omega\tau\)
\end{itemize}
\end{itemize}

\note{实零点的伯德图与实极点类似，转角频率左侧的曲线都一致，右侧的曲线只是斜率和角度的符号相反。这里就不再赘述了。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org2bf54f0}]{Bode Plot of Complex Conjugate Pole/Zero}
\begin{itemize}
\item The quadratic factor for a pair of complex conjugate poles can be written in normalized form as
\end{itemize}
\[(1+(2\zeta/\omega_n)j\omega+(j\omega/\omega_n)^2)^{-1}\longrightarrow(1+j2\zeta u-u^2)^{-1},\ u=\omega/\omega_n\]\vspace{-1.2em}
\begin{itemize}
\item The logarithm magnitude and the phase angle are respectively
\end{itemize}
\[20\log|G(\omega)|=-10\log((1-u^2)^2+4\zeta^2 u^2)\]\vspace{-1.2em} 
\[\phi(\omega)=-\tan^{-1}(\frac{2\zeta u}{1-u^2})\]\vspace{-1.2em}
\begin{itemize}
\item when \(u\ll 1\), the magnitude is 0dB and the phase angle approaches 0.
\item when \(u\gg 1\), the logarithmic magnitude approaches \(-40\log u\), which results in a curve with a slope of -40 dB/decade.
\item The phase angle,when \(u\gg 1\), approaches \(-180^\circ\).
\item The magnitude asymptotes meet at the 0-dB line when \(u=\omega/\omega_n =1\).
\end{itemize}

\note{与共轭复极点对应的二阶基本因式可以写成频率归一化的形式，归一化的参数为u。对数幅频函数和相角函数分别用下面两个式子表达。我们再次讨论归一化参数沿两个方向变化时，伯德图的渐近线趋势。当u远小于一时，u及其高阶项均可忽略，对数幅值趋于零分贝，相角趋于零度。当u远大于一时，对数幅频函数里的一及含阻尼的相可被忽略，只剩下u的四次方，所以对数幅频曲线趋于斜率为负四十的直线。u很大时，相角正切值的分母为负值，分子为正值，所以相角处于第二象限，而且u值越大，越趋于负实轴，而且相角前还有负号，因此是趋于负一百八十度。低频和高频段幅频曲线渐近线的交点为一、零点。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org0117563}]{Bode Plot of Complex Conjugate Pole/Zero}
\begin{center}
\includegraphics[page=560, viewport=148 392 504 612, clip,scale=0.95]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\note{这幅图显示了不同阻尼比下，具有共轭复极点的系统的幅频伯德图，可以看出，在归一化频率一附近，真实幅频曲线随阻尼比的变化情况，阻尼比越小，幅值的峰值越大，鼓包越大。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org45ed655}]{Bode Plot of Complex Conjugate Pole/Zero}
\begin{center}
\includegraphics[page=560, viewport=148 192 504 364, clip,scale=0.95]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\note{根据相频函数的表达式，当归一化频率u为一时，相角等于负九十度，根据前面的分析可知，低频时相角趋于零度，高频时相角趋于负一百八十度，因此，相角呈镜像s形分布，阻尼比越小，曲线转折越急，阻尼比越大，曲线越平缓。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orgd0a73a7}]{Bode Plot of Complex Conjugate Pole/Zero}
\begin{itemize}
\item The maximum value of the frequency response \(M_{p\omega}\) 谐振峰值 occurs at the resonant frequency \(\omega_r\) 谐振角频率
\item When the damping radio \(\zeta\) approaches zero, then \(\omega_r\) approaches \(\omega_n\), the natural frequency.
\item With respect to the magnitude of frequency response \(\displaystyle |G(j\omega)|= \frac{1}{\sqrt{(1-u^2)^2+4\zeta^2 u^2)}}\), we have
\end{itemize}
\[\frac{{\rm d}|G(u)|}{{\rm d}u} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{-2(1-u^2)\cdot 2u + 8\zeta^2 u}{[(1-u^2)^2+4\zeta^2 u^2)]^{3/2}} = 0\rightarrow u = \sqrt{1-2\zeta^2} =\frac{\omega_r}{\omega_n}\]\vspace{-1.2em}
\begin{itemize}
\item So the resonant frequency is
\end{itemize}
\[\omega_r=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2},\ \zeta<0.707\]\vspace{-1.2em}
\begin{itemize}
\item Introducing the resonant frequency into the magnitude, we have maximum value of the frequency response
\end{itemize}
\[M_{p \omega}=\left|G\left(j \omega_{r}\right)\right|=\left(2 \zeta \sqrt{1-\zeta^{2}}\right)^{-1}\]

\note{值得注意的是，频率响应的峰值，也称为谐振峰值，对应的频率称为谐振角频率，并不等于归一化频率为一时对应的无阻尼自振角频率omega n。只有当阻尼比趋于零时，两者才趋于一致。下面我们看一下谐振频率和谐振峰值的具体表达式。根据幅频函数的表达式，要想使其达到峰值，其前提条件是关于自变量u的导数为零，以归一化的参数为自变量求导，可以得出u的表达式，我们发现，它只与阻尼比有关。根据u的表达式，可以得出谐振角频率omega r。要想使频率有意义，需使阻尼比小于根号二分之一，近似小于零点七零七。将谐振角频率代入幅频函数，可以得到谐振峰值，可以看出，谐振峰值仅与阻尼比有关，而且阻尼比越小，谐振峰值越大，这与前面显示的幅频曲线一致。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org58228cf}]{Bode Plot of Complex Conjugate Pole/Zero}
\begin{center}
\includegraphics[page=561, viewport=108 240 396 612, clip,scale=0.55]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\note{谐振峰值和谐振角频率与阻尼比之间的关系可以绘制到一张图上，如果我们通过实验手段已确定出了系统的频率响应特性，根据此图能快速估算出系统的阻尼比，这对系统设计非常有用。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org227d953}]{Frequency Response  evaluated on the s-plane}
\begin{itemize}
\item The frequency response curves can be evaluated on the \(s\)-plane by determining the vector lengths and angles at various frequencies \(\omega\) along the \(s=j\omega\)-axis.
\item Consider the second-order factor
\end{itemize}
\[G(s)=\frac{1}{(s/\omega_n)^2+2\zeta s/\omega_n+1}=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}\]
\begin{itemize}
\item The transfer function evaluated for real frequency \(s=j\omega\) is
\end{itemize}
\[G(j\omega)=\frac{\omega_n^2}{(s-s_1)(s-s_1^*)}\Big|_{s=j\omega}=\frac{\omega_n^2}{(j\omega-s_1)(j\omega-s_1^*)}\]
\begin{itemize}
\item where \(s_1=-\zeta\omega_n+j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\) and \(s_1^*\) are the complex conjugate poles.
\end{itemize}
\note{接下来我们再讨论一种绘制频率响应曲线的新方法，s平面法。考虑与共轭复极点对应的二阶因子项，其形式表达成含阻尼比和无阻尼自振角频率的标准式，分母特征式可用两个共轭复极点进行因式分解，通过变量替换，转化成频率特性函数。这一式子具有明显的几何意义。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org6351a6a}]{Frequency Response evaluated on the s-plane}
\note{构成分母的两个单项式分别表示从两个共轭复极点到指定频率点的两个向量。所以我们可以沿s平面的虚轴取不同的频率点，这里我们给出了三个不同频率点的位置，如b、c、d图所示，包括原点和其他两个不同大小的频率。频率响应的幅值就等于无阻尼自振角频率的平方除以两个极点到被研究频率点向量长度的乘积，而相角则是两个极点到被研究频率点相角和的相反数。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.5\columnwidth}
\begin{itemize}
\item The vectors \(j\omega-s_1\) and \(j\omega-s_1^*\) are vectors from the poles to  the frequency \(j\omega\). The magnitude and phase may be evaluated for various specific frequencies.
\item The magnitude is
\end{itemize}
\[|G(\omega)|=\frac{\omega_n^2}{|j\omega-s_1||j\omega-s_1^*|}\] \vspace{-1.2em}
\begin{itemize}
\item and the phase
\end{itemize}
\[\phi(\omega)=-\angle(j\omega-s_1)-\angle(j\omega-s_1^*)\]
\end{column}
\begin{column}{0.5\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=562, viewport=140 348 376 612, clip,scale=0.7]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org56fa221}]{Frequency Response evaluated on the s-plane}
\begin{itemize}
\item Bode diagram for complex conjugate poles
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[page=563, viewport=108 447 368 612, clip,scale=0.9]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\note{依据前述s平面法求解幅值和相角的过程，我们至少在频率为零、谐振角频率和omega d频率等三个特殊频率点上分别求出其幅值和相角来，然后将其绘制在幅频曲线和相频曲线上。这张图是将幅频曲线和相频曲线绘制在一张图上的结果，而且横坐标未采用对数坐标。还需要注意一点，极点到特定频率点的向量对应的相角是有正负的，比如频率为零时，两个相角刚好相反，其和为零，所以频率为零时相角为零度。图d显示的频率点处，两个向量对应的相角均为正，可以看出，频率越高，两向量对应的相角均趋于九十度，其和趋于一百八十度，取反后对应系统的相频特性曲线将趋于负一百八十度。c图显示的两个相量，其相角对应一正一负的情况。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orgf950431}]{Example: Twin-T Network 双T型陷波滤波器}
\begin{columns}
\begin{column}{0.55\columnwidth}
\begin{itemize}
\item Physical model
\end{itemize}

\begin{equation*}
\begin{aligned}
\frac{V_{in} - V_1}{R} &= \frac{V_1}{\frac{1}{2Cs}} + \frac{V_1 - V_{o}}{R} \\
\frac{V_{in} - V_2}{\frac{1}{Cs}} &= \frac{V_2}{R/2} + \frac{V_2 - V_o}{\frac{1}{Cs}} \\
\frac{V_1 - V_o}{R} &= \frac{V_o - V_2}{\frac{1}{Cs}}
\end{aligned}
\end{equation*}

\note{有时我们需要滤除特定频率的噪音，比如在进行心电图测量时，很容易受到周围电源五十赫兹工作频率的干扰，为此抑制特定频率的干扰就非常必要。这时就需要用到陷波滤波器了。双T型陷波滤波器就是最常见的陷波滤波器。我们首先推导一下该模型的传递函数。假设两个电阻和电容之间交点处的电压为V一，两个电容和电阻交点之间的电压为V二。经过第一个电阻R的电流将分两路，分别经过二C电容和R电阻，为此可列出第一个物理模型方程，方程左端为R两端的压差除以电阻，是经过R的总电流，方程右端第一项，二C两端的压差为V一，等效电阻为二C s分之一，两者之比为经过电容二C的电流，方程右端第二项，电阻R两端的压差除以电阻，是经过电阻R的电流。这里我们将电容等效成为电阻进行处理。}<1>
\note{同理，经过第一个电容的电流也将分为两路，分别经过二分之一R的电阻和电容C，为此列出了第二个物理模型；第三个物理模型表明，经过第二个电阻的电流与经过第二个电容的电流是相等的。我们可以消去中间变量，V一和V二，然后推导出输出电压与输入电压的比值，即可得到系统传递函数。但这一过程也比较繁琐。这里我们应用方框图的解题思路进行求解。为此，我们需要对物理模型进行变换，写成输入与反馈求和后得到输出的形式。}<2>
\end{column}

\begin{column}{0.45\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=563, viewport=104 44 308 140, clip,scale=0.8]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orgc5b6593}]{Block diagram}
\note{将上述物理模型变换后，方程左端是输入加减反馈的形式，右端是输出变量，根据方程组很容易画出对应的方框图。前两个方程表明，输出作为正反馈加到了输入端，而且输入同时进入到两个支路中，一个有负反馈二倍的V一，另一个有负反馈二倍的V二。方程左边括号前面的系数即为方框里的传递函数。第三个方程式表明输出电压与V一和V二之间的关系。有了这个方框图，我们应用梅逊公式，很容易求出系统的传递函数。计算前，我们先将两个负反馈回路消去，简化成红字所示的传递函数。然后该系统简化成两个回路、两条前向通路，没有相互接触的回路，所以列出梅逊公式里的相关变量。由于是单位反馈，所以前向通路的传递函数与环路传递函数是相等的，也就L一等于P一，L二等于P二。}

\begin{columns}
\begin{column}{0.75\columnwidth}
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\frac{1}{2RCs}(V_{in} - 2V_1 + V_o) &= V_1\\
\frac{RCs}{2}(V_{in} - 2V_2 + V_o) &= V_2\\
\frac{1}{RCs+1}(V_1 + RCsV_2) &=V_o
\end{aligned}
\end{equation*}

\begin{center}
\includegraphics[width=9cm]{./twinnetworkblock.png}
\end{center}
\end{column}

\begin{column}{0.25\columnwidth}
\begin{equation*}
\begin{aligned}
L_1 &= \frac{1}{2(RCs + 1)^2}\\
L_2 &= \frac{(RCs)^2}{2(RCS+1)^2}\\
P_1 &= \frac{1}{2(RCs + 1)^2}\\
P_2 &= \frac{(RCs)^2}{2(RCS+1)^2}\\
\Delta &= 1-L_1-L_2\\
\Delta_1 &= 1\\
\Delta_2 &= 1
\end{aligned}
\end{equation*}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org1bf0696}]{Transfer function and Bode plot}
\[\displaystyle G(s)= \frac{P_1\Delta_1 + P_2\Delta_2}{\Delta} = \frac{V_0(s)}{V_{in}(s)}=\frac{(s\tau)^2+1}{(s\tau)^2+4s\tau+1}\ {\rm where}\ \tau=RC\]

\note{根据梅逊公式计算出双 T 型陷波滤波器的传递函数。我们分别将系统的零点和极点绘制在s平面上。使用s平面法绘制波德图时，分别找三个特征频率点，零频率、无穷大频率和系统零点对应的频率。频率为零时，两个零点到零频率点的距离都是套分之一，所以频率特性函数分子对应的模为套的平方分之一，再看两个极点到零频率点的向量模的乘积，结果也是套的平方分之一，分子分母相比结果为一，所以频率为零时，系统增益为一。再看相角，两个零点指向频率为零时的点，两向量均沿虚轴方向，但方向相反，所以分别是正、负九十度，因此其和为零度，两极点指向零频率点的向量同向、且位于实轴上，因此均为零度，因此频率为零时相角为零度减零度，仍然为零度。}<1>

\note{频率为套分之一时，刚好位于零点的位置，因此分子的模有一项为零，所系统频率特性函数的模也为零。该频率点处，相角变化比较复杂。频率在零到套之间变化时，两零点指向被研究频率点的向量始终方向相反，分别为正负九十度，其和为零度，但在此范围内，两极极点指向被研究频率点的两相角和会越来越大，当达到套分之一频率时，达到最大九十度，因此相角变化是由零度逐渐达到负九十度。但当频率点刚跨越套分之一时，零点指向被研究频率的向量将由异向转为同向，所以相角和将由零度直接跨越到一百八十零度，减去极点对应相角和在套分之一频率时的最大值九十度，系统频率特性函数的相角在套分之一时，将由负九十度跳跃到正九十度。}<2>

\note{频率趋于无穷时，极点和零点至无穷远处的距离将趋于相等，所以其比值也将趋于一。零点至被研究频率点的相角和为一百八十度，极点至被研究频率点的相角和也将趋于一百八十度，因此其差值也将趋于零，也就是系统频率特性函数在频率趋于无穷时，相角也将趋于零度。}<3>
\begin{columns}
\begin{column}{0.55\columnwidth}
\begin{itemize}
\item At \(\omega=0\), the gain is 1 and the phase is \(0^\circ\).
\item At \(\omega=1/\tau\), the gain is 0 and the phase angle of the vector from the zero at \(s=j1/\tau\) passes through a transition of \(180^\circ\)
\item When \(\omega\) approaches \(\infty\), the gain becomes 1 and the phase is \(0^\circ\) again.
\end{itemize}
\end{column}
\begin{column}{0.45\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=565, viewport=108 504 284 612, clip,scale=0.9]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org9c55f4a}]{Bode plot}
\begin{center}
\includegraphics[page=565, viewport=296 436 468 600, clip,scale=1.2]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\note{这就是我们应用s平面法绘制出的双 T 型陷波滤波器的波德图。我们可以看出，在套分之一频率处，系统增益为零，信号被滤除，两侧的信号逐渐增强，犹如陷阱一般。为了增强特定频率的滤除效果，还可以对电路进行进一步的改进，使幅频曲线深陷程度更加陡峭，有兴趣的同学可以查阅相关的资料进行深入研究。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orge4628f3}]{Minimum Phase and Non-minimum Phase}
\begin{itemize}
\item Consider two transfer functions
\end{itemize}
\[T_1(s)=\frac{s+z}{s+p}\ {\rm and} \ T_2(s)=\frac{s-z}{s+p}\]\vspace{-1.2em}
\begin{itemize}
\item The magnitudes are the same, while the phases are different.
\end{itemize}
\[|T_1(j\omega)|=\frac{\sqrt{\omega^2+z^2}}{\sqrt{\omega^2+p^2}}=|T_2(j\omega)|\]\vspace{-1.2em}
\begin{itemize}
\item A transfer function is called a \alert{minimum phase transfer function} (最小相位传递函数) if al its zeros lie in the left-hand s-plane. It is called a \alert{nonminimum phase transfer function} if it has zeros in the right-hand s-plane.
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[page=566, viewport=148 520 500 612, clip,scale=0.7]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}


\note{前面我们所讲的示例中，系统的零点和极点都位于复平面的左半平面，实际上，也有零点位于右半平面而仍然稳定的系统。我们把在复平面右半平面有零点的传递函数称为非最小相位传递函数。如果两个系统的零点关于虚轴对称，也就是一个位于左半平面，另一个位于右半平面，那么它们的幅频特性是相同的，只是相角特性不一样。比如这两个传递函数。根据前面介绍的s平面法绘制波德图的相关知识，我们可以知道，零点位于左半平面时，频率由零变到无穷大的过程中，系统的净相移比较小，所以把零点全位于左半平面的传递函数称为最小相位传递函数。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org23d984f}]{Minimum Phase and Non-minimum Phase}
\note{对于给定的幅频曲线，最小相位传递函数的相移范围是最小的，相比之下，非最小相位传递函数的相移却是最大的。切记不要混淆，对于稳定系统，要求其所有极点位于复平面的左半平面。如果右半平面有极点，则系统将变得不稳定。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{itemize}
\item The range of phase shift of a minimum phase transfer function is the least possible or minimum corresponding to a given amplitude curve, whereas the range of the nonmin-imum phase curve is the greatest possible for the given amplitude curve.
\item A transfer function is stable if all its poles lie in the left-s-plane. It is unstable if it has poles in the right-hand \(s\)-plane.
\end{itemize}
\end{column}
\begin{column}{0.4\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=566, viewport=148 368 324 492, clip,scale=0.8]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org42fa211}]{An Example of Drawing the Bode Diagram}
\begin{itemize}
\item The Bode diagram of a transfer function \(G(s)\), which contains several zeros and poles, is obtained by adding the plot due to each individual pole and zero.
\item Consider the transfer function
\end{itemize}
\[G(j\omega) = \frac{5(1+j0.1\omega)}{j\omega(1+j0.5\omega)(1+j0.6(\omega/50)+(j\omega/50)^2)}\]\vspace{-1.2em}
\begin{itemize}
\item The factors, in order of their occurrence as frequency increases, are
\begin{itemize}
\item Constant gain
\item Pole at the origin
\item Pole at \(\omega=2\)
\item Zero at \(\omega=10\)
\item A pair of complex poles at \(\omega=50\)
\end{itemize}
\item The total  asymptotic can be plotted by adding the  asymptotes due to each factor.
\end{itemize}

\note{含有多个零点和极点的传递函数，其波德图可以通过独立零、极点波德图来获得。比如有这样一个传递函数，包含比例增益、一个实零点、一个零极点、一个实极点、一对共轭复极点，按照其出现的先后顺序，其排列如下。我们对不同环节的波德图形态已经很熟悉。分别将每一个独立环节的波德图绘制出来，每一个环节的转折点不一样，我们将在下一页面进行展示。幅频曲线渐近线可以通过加和独立波德图幅频曲线的方式得到。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org0392c2e}]{Bode Diagram Example}
\begin{itemize}
\item The exact magnitude curve is obtained by adding the correction terms.
\end{itemize}
\note{我们对照上面这张图。常数增益是一条水平线，其值对应二十倍劳格五，近似为十四分贝。曲线二对应零极点，是过一、零点，斜率为负二十的直线，曲线三对应实极点，转折点在频率二处，起始幅值为零分贝线，频率二时转折成斜率负二十的直线，曲线四对应实零点，与曲线三相似，但在频率十时转折成斜率正二十的直线，最后一条曲线五，对应复极点，转折频率五十前为零分贝线，频率五十转折成斜率为负四十的直线。将所有拆折线加和起来就得到了总体的波德图。}<1>
\note{波德图在实际绘制时，并不需要单独给出每一个环节的波德图，只要能准确确定起点位置，然后在频率转折点处进行相应的转折即可。就拿本例而言，此系统为一型系统，起始段应该为斜率负二十的直线，但起点位置应该位于一、二十倍劳格五的位置，然后绘制一条斜率负二十的直线，在转折频率二处，对应实极点，斜率在原基础上继续转折负二十，变成负四十，直至频率十时，对应实零点，斜率增加正二十，所以又变成了负二十，再到频率五十时，对应复极点，在原斜率负二十基础上继续转折负四十，变成负六十。这样一路转折下来，就得到了整体系统的幅频曲线渐近线，可以看出，与真实曲线相比，非常接近。}<2>
\begin{columns}
\begin{column}{0.4\columnwidth}
\begin{enumerate}
\item Constant gain
\item Pole at the origin
\item Pole at \(\omega=2\)
\item Zero at \(\omega=10\)
\item A pair of complex poles at \(\omega=50\)
\end{enumerate}
\end{column}
\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=567, viewport=96 48 464 200, clip,scale=0.5]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\begin{center}
\includegraphics[page=568, viewport=144 48 444 248, clip,scale=0.5]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org9154a0c}]{Phase characteristic}
\begin{itemize}
\item The total phase characteristic \(\phi(\omega)\)is obtained by adding the phase due to each factor.
\item The linear approximation of the phase characteristic for a single pole or zero is suitable for the initial analysis 初步分析和设计.
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[page=569, viewport=88 400 464 612, clip,scale=0.8]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\note{同样，也可以将各因子项的相频特性曲线叠加而得到系统的相频特性曲线。但相频曲线的渐近线只能用于初步的分析和设计，准确性较差。这里我们就不展开介绍了。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org13ada30}]{Bode Diagram Example}
\begin{itemize}
\item One may obtain approximate curves for the magnitude and  phase shift of a transfer function in order to determine the important frequency ranges.
\item Within the relatively small important frequency ranges, the exact magnitude and phase shift can be evaluated by using the exact equation.
\item On the other hand, computer-aided tools can often be used.
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[page=570, viewport=144 488 492 612, clip,scale=0.8]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\note{我们通常用波德图确定重要的频率点和频率范围，然后再在较小的频率范围内，用准确公式计算系统的实际幅值和相角。此外，我们也可以用计算机辅助工具绘制幅频和相频曲线，更加方便快捷。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orgd883145}]{Frequency Response Measurements}
\begin{itemize}
\item A sine wave can be used to measure the open-loop frequency response of a control system.
\item In practice, a plot of amplitude versus frequency and phase versus frequency will be obtained.
\item From these two plots, the open-loop transfer function \(G_c(j\omega)G(j\omega)\) can be deduced.
\item Similarly the closed-loop frequency response of a control system, \(T(j\omega)\), may be obtained and the actual transfer function deduced.
\item Key for the determination of transfer function based on frequency response data
\begin{itemize}
\item Form of the transfer function: poles, zeros, complex or real.
\item Gain
\item Pole and zero locations
\item Damping ratio and resonant frequency.
\end{itemize}
\end{itemize}

\note{正弦曲线可以用来测量控制系统的开环频率响应，实际的测量结果通常是幅值和相角随频率的变化曲线。利用这两条曲线，就可以推导出系统的开环频率特性函数。同样，也可以通过测量系统的闭环频率响应推导出真实的系统传递函数。基于频率响应数据确定传递函数的关键包括以下几点。首先要确定传递函数的形式，零点、极点分布，实根还是复根；增益大小；零极点的位置；阻尼比和共振频率。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org99fe3a7}]{Frequency Response Measurements}
\begin{itemize}
\item A device called a \emph{wave analyzer} can be used to measure the amplitude and phase variations as the frequency of the input sine wave is altered.
\item A device called a \emph{transfer function analyzer} can be used to measure the loop transfer function and closed-loop transfer functions.
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{./freqanaly.jpg}
\end{center}

\note{我熟悉的示波器主要用于观察信号的时域特性，也就是电压随时间的变化特性，适用于基带信号的分析，如正弦波，方波，比特流等未调制信号等，而频谱分析仪主要针对射频信号，尤其是带了调制的复杂信号或者多频率信号，这样的信号在时间轴上几乎看不出任何规律。还有一种设备叫传递函数分析仪，可用于测量开环传递函数或闭环传递函数，使用更加方便、快捷。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgae75937}]{Deduction of Transfer Function 传递函数推导}
\note{我们实测出了右图所示的频率特性曲线，我们以此为例说明如何由伯德图确定系统的传递函数。由图可知，频率由一百增加到一千时，对数幅频曲线的渐近线是斜率为负二十的直线，转折频率为300，此频率下对应的真实对数幅值增益为负三分贝，相角为负四十五度，由此推断，该系统含有一个实极点；接下来再看，频率两千四百五十处，对应相角为零度，而且相频曲线在该频率处急剧由负转正，差值约一百八十度，对数幅频特性曲线在该频率处也出现转折，斜率由负二十变成了正二十，推断系统有一对共轭复零点；曲线的第三个特点，系统频率在超过五万后，对数幅频特性曲线渐近线斜率又回到了零分贝每十倍程，可以断定系统存在第二个极点，而且频率为两万时，对数幅值增益为负三分贝，对应相角为正四十五度，是由第一个极点在该频率处的相角负九十度、共轭复零点在该频率处的相角正一百八十度、和该极点在该频率处的相角负四十五度相加而得的。由以分析，先得到系统传递函数的基本形式。接下来就要计算传递函数的具体参数了。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{itemize}
\item Observations:
\begin{itemize}
\item The magnitude declines at about –20dB/decade as \(\omega\)  increased between 100 and 1000, and because the  phase is \(-45^\circ\) and the magnitude is  –3dB at 300 rad/s, one factor is a pole at \(p_1=300\).
\item A pair of quadratic zeros with \(\zeta=0.16\) exist at \(\omega_n=2450\) because that the phase changes abruptly by nearly \(+180^\circ\), passing through \(0^\circ\) at \(\omega_n=2450\).
\end{itemize}
\item The proposed transfer function \(T(s)\) is
\end{itemize}
\[T(s)=\frac{(s/\omega_n)^2+(2\zeta/\omega_n)s+1}{(s/p_1+1)(s/p_2+1)}\]
\end{column}

\begin{column}{0.4\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=571, viewport=104 224 376 612, clip,scale=0.55]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org1afb74b}]{Deduction of Transfer Function}
\begin{columns}
\begin{column}{0.5\columnwidth}
\begin{itemize}
\item The difference in magnitude from the corner frequency (\(\omega_n=2450\)) of the asymptotes to the minimum response is 10 dB, which indicates that \(\zeta=0.16\).
\end{itemize}
\[10^{10/20} = M_{p \omega}=\left|G\left(j \omega_{r}\right)\right|=\left(2 \zeta \sqrt{1-\zeta^{2}}\right)^{-1}\]\vspace{-1.2em}
\begin{itemize}
\item The transfer function is thus
\end{itemize}
\[T(s)=\frac{(s/2450)^2+(0.32/2450)s+1}{(s/300+1)(s/20000+1)}\]
\end{column}
\begin{column}{0.5\columnwidth}
\begin{figure}[htbp]
\centering
\includegraphics[page=166, viewport=340 164 456 264, clip,scale=1.1]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\caption{习题p2.8}
\end{figure}

\[\frac{V_{\mathrm{o}}(s)}{V_{\mathrm{in}}(s)}=\frac{1+2 R_{1} C s+R_{1} R_{2} C^{2} s^{2}}{1+\left(2 R_{1}+R_{2}\right) C s+R_{1} R_{2} C^{2} s^{2}}\]
\note{首先，我们考察对数幅频特性渐近线的近似误差。在转折频率二四五零处，近似误差约为十分贝，根据谐振峰值与阻尼比之间的关系，确定出阻尼比约为零点一六。结合前面分析，其最终传递函数的形式为T s。注意，根据谐振峰值计算阻尼比时，伯德图上给出的是对数幅值，需将其转化为绝对幅值大小，十分贝对应的绝对幅值应该是十的零点五次方。此外，转折频率、阻尼比、单独环节的方程形式及伯德图要不断熟悉，经常演练，应用才能得心应手。事实上，本例其实是针对前面第二章习题P二点八所示的T桥网络实测得到的曲线。}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orgdf2e47c}]{Performance Specification in the Frequency Domain}
\note{如何将系统的频率响应与时域响应联系起来。换句话说，在给定一组时域指标的设计要求后，如何转化为对系统频域响应的设计要求。接下来我们就此问题展开讨论。比如，当系统为简单的二阶系统时，对应的闭环传递函数为T s。对应的幅频特性曲线如右下图所示，谐振峰值出现在谐振频率处，它只与阻尼比有关。低频时，幅值趋于零分贝，表明输出幅值基本跟随输入幅值，能再现输入信号的特征，但随着频率的增加，信号衰减非常严重，幅值下降三分贝后，输出小到基本可以忽略，无法再现输入信号的特征，所以，相对低频幅值，下降三分贝对应的频率称为截止频率，零至截止频率之间的范围为系统带宽。它表示超过此频率后，输出就急剧衰减，跟不上输入，形成系统响应的截止状态。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.65\columnwidth}
\begin{itemize}
\item For the second-order system, the closed-loop transfer function is
\end{itemize}
\[T(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n}\]\vspace{-1.2em}
\begin{itemize}
\item At the resonant frequency \(\omega_r\), a maximum value of the frequency response \(M_{p\omega}\) is attained.
\item The bandwidth is the frequency \(\omega_B\) at which the frequency  response has declined 3 dB  from its low frequency value.
\end{itemize}
\end{column}

\begin{column}{0.35\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=572, viewport=140 44 332 216, clip,scale=0.75]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org369e914}]{Time Response and Frequency Response}
\begin{itemize}
\item As the bandwidth \(\omega_B\) increases, the rise time of the step response of the system will \emph{decrease}.
\item The overshoot to a step input can be related to \(M_{p\omega}\) through the damping ratio \(\zeta\).
\item As the resonant peak \(M_{p\omega}\) increases in magnitude, the overshoot to a step input increases.
\end{itemize}
\note{值得注意的是，增加系统带宽，将导致系统时域单位阶跃响应上升时间的减小，增加系统的快速性。此外，二阶系统对阶跃输入的超调量与频域里的谐振峰值有关，两者均取决于阻尼比的大小，谐振峰值增加时，系统超调也会增加。谐振峰值还能反映系统的相对稳定性，谐振峰值越大，系统阶跃响应的超调量也越大，意味着系统的平稳性变差。系统带宽与标准二阶系统无阻尼自振角频率之间可以通过下式与阻尼比建立线性近似关系 。阻尼比一定时，无阻尼自振角频率越大，对应系统带宽越宽，系统响应越迅速。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.5\columnwidth}
\begin{itemize}
\item The magnitude \(M_{p\omega}\) indicates the relative stability of the system.
\item The bandwidth  \(\omega_B\) of a system can be approximately related to the natural frequency of the system.
\end{itemize}
\[\frac{\omega_B}{\omega_n}\approx-1.1961\zeta+1.8508\]
\end{column}

\begin{column}{0.5\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=573, viewport=124 48 348 220, clip,scale=0.75]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org42cfb2c}]{Frequency Response Specifications}
\begin{itemize}
\item Frequency domain specifications 频域指标
\begin{itemize}
\item Relative small resonant magnitude: \(M_{p\omega}<1.5\) for example
\item Relative large bandwidth so that the system time constant \(\tau=1/\zeta\omega_n\) is sufficiently small
\end{itemize}
\item The steady-state error for a specific test signal can be related to the gain and number of integrations (poles at the origin) of the open loop transfer function.
\item The stead steady-state error for a ramp input is specified in terms of \(K_v\), the velocity constant. The steady-state error is
\end{itemize}
\[\lim\limits_{t\rightarrow\infty}e(t)=\frac{A}{K_v}\]
\begin{itemize}
\item where \(A\) is the magnitude of the ramp input.
\end{itemize}
\note{常用频域指标有两个，谐振峰值和带宽，前者一般小于一点五，后者要尽可能宽。前面我们介绍过，对于特定的测试信号，系统的稳态误差与开环传递函数的增益和积分环节的个数有关。比如，斜坡输入信号的稳态误差可以根据速度误差常数来计算，其中，A为斜坡输入信号的斜率大小。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orgf9cb059}]{Frequency Response Specifications}
\begin{itemize}
\item The velocity constant is
\end{itemize}
\[K_v=\lim\limits_{s\rightarrow0}sG(s)=\lim\limits_{s\rightarrow0}s\frac{\omega_n^2}{s(s+2\zeta\omega_n)}=\frac{\omega_n}{2\zeta}\]
\begin{itemize}
\item This transfer function can be rewritten as
\end{itemize}
\[G(s)=\frac{\omega_n/2\zeta}{s(s/(2\zeta\omega_n)+1)}=\frac{K_V}{s(\tau s+1)}\]
\begin{itemize}
\item In general, if the open loop transfer function of a feedback system is written as
\end{itemize}
\[G(j\omega)=\frac{K\prod_{i=1}^{M}(1+j\omega\tau_i)}{(j\omega)^N\prod_{k=1}^{Q}(1+j\omega\tau_k)}\]
\begin{itemize}
\item then the system is type \(N\) and the gain \(K\) is the gain constant for the steady-state error.
\end{itemize}
\note{速度误差系数定义为，开环传递函数乘以微分算子s，再对s趋于零时取极限。本例当中，开环传递函数有一个积分环节，所以速度误差系数可以写成G s，与无阻尼自振角频率和阻尼比有关。将开环传递函数进一步改写为含速度误差系数的形式，其中增益常数为速度误差常数。更一般的情况，反馈控制系统开环频率特性函数可以写成G j omega，系统类型为N，稳态误差计算中的增益常数为K。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org05bda9d}]{Type-zero system}
\begin{itemize}
\item For a type-zero system that has an open-loop transfer function
\end{itemize}
\[G(j\omega)=\frac{K}{(1+j\omega\tau_1)(1+j\omega\tau_2)}\]
\begin{itemize}
\item \(K = K_p\) is the low frequency gain on the Bode diagram.
\item The gain constant for a type-one system appears as the gain of the low frequency section of the magnitude characteristic. Indeed, \(K_v\) is equal to the frequency at which this portion of the magnitude characteristic intersects the 0-dB line.
\end{itemize}

\note{比如，零型开环系统的传递函数如果为这个表达式，那么K就是位置误差常数，也是波德图上低频区的增益值。相应的，K也是一型系统的增益常数，对应速度误差常数，也是幅频特性低频区的增益，事实上，频率特性曲线的低频部分或其延长线与零分贝线相交的频率点就等于一型系统开环增益或速度误差系数。道理非常简单，一型系统开环传递函数在频率很小时，幅值为积分环节分之增益系数，与零分贝线相交意味着幅值为一，所以对应的频率就等于增益。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org485971e}]{Frequency Response Specifications}
\begin{itemize}
\item For the open-loop transfer function
\end{itemize}
\[G(j\omega)=\frac{5(1+j\omega\tau_2)}{j\omega(1+j\omega\tau_1)(1+j0.6(\omega/\omega_n)+(j\omega/\omega_n)^2)}\]
\begin{itemize}
\item Its velocity constant is \(K_v=5\). The low frequency asymptote
\end{itemize}
\[G(j\omega)=(\frac{5}{j\omega})=(\frac{K_v}{j\omega}),\ \omega<1/\tau_1\]
\begin{itemize}
\item intersects the 0-dB line at \(\omega= 5\).
\end{itemize}
\note{比如有这样一个一型系统，其速度误差系数为五，低频率时传递函数近似为，显然，伯德图首段与零分贝线相交于频率五处，与系统增益相等。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org03def18}]{LOG-MAGNITUDE AND PHASE DIAGRAMS}
\begin{itemize}
\item Plot the logarithmic magnitude in dB versus the phase angle for a range of frequencies.
\item This curve can be obtained by utilizing the Bode plots.
\item The shape of the locus of the frequency response on a log-magnitude–phase diagram is particularly important as the phase approaches −180\(^\circ\) and the magnitude approaches 0 dB.
\end{itemize}
\[GH_2(j\omega)=\frac{5(0.1j\omega+1)}{j\omega(0.5j\omega)(1+j0.6(\omega/50)+(j\omega/50)^2)}\]
\[GH_1(j\omega)=\frac{5}{j\omega(0.5j\omega+1)(j\omega/6+1)}\]
\note{对数幅相特性图是第三种频率特性的图示方法。该图纵坐标表示频率特性的对数幅值，以分贝为单位；横坐标表示频率特性的相位角。对数幅相图可以利用波德图得到，该图在相角趋于负一百八十度、幅值趋于零分贝时对应的频率响应轨迹非常重要。这里列出两个频率特性函数，我们对比一下它们对应的对数幅相图可以发现其差别很大。对数幅相图与我们后面将介绍的闭环传递函数的M圆、N圆结合起来构成尼柯尔斯图，可以方便地实现由开环频率特性确定出系统的闭环频率特性，在系统稳定性分析及系统校正中有广泛应用。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org95fff43}]{}
\note{这两张图分别表示了两个不同传递函数对应的对数辐相图，可以发现具有明显的差异。具体应用我们将在后续章节进行介绍。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.5\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=576, viewport=68 312 240 612, clip,scale=0.7]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\begin{column}{0.5\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=576, viewport=324 312 504 612, clip,scale=0.7]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orga9e183f}]{Design Examples use software}
\begin{itemize}
\item Engraving machines employ two drive motors and associated lead screws to position the engraving scribe in the desired direction. Select \(K\) to yield acceptable step response.
\end{itemize}
\note{现在举一个应用软件进行设计的例子。雕刻机是用两个驱动电机和相关丝杠定位雕刻针沿着指定方向运动。这是雕刻机控制系统的框图。本例的设计目标是，用频率响应法选择增益K值，使系统阶跃响应的各项指标保持在可以接受的范围内。}
\begin{columns}[b]
\begin{column}{0.45\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{./fig0845.png}
\end{center}
\end{column}
\begin{column}{0.55\columnwidth}
\begin{figure}[htbp]
\centering
\includegraphics[page=589, viewport=104 528 388 616, clip,scale=0.75]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\caption{Engraving Machine Control System}
\end{figure}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org9573351}]{Frequency design functional block diagram}
\begin{center}
\includegraphics[page=589, viewport=104 40 420 496, clip,scale=0.45]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\note{这张图给出了在频域内设计该控制系统的流程图。首先对参数K进行初始化，比如选择初值二，根据方框图计算出闭环传递函数，将闭环传递函数表示的系统用Matlab程序语言来表达，分别将分子、分母多项式的系数赋值给两个行向量，利用程序命令计算闭环系统的波德图参数，确定出谐振峰值和谐振频率，再利用谐振峰值、谐振频率与阻尼比及无阻尼自振角频率之间的关系，确定出系统的阻尼比和无阻尼自振角频率，最后计算系统的时域指标，调整时间和超调量，检查其是否满足设计要求，如果不满足，继续更新K值，进行迭代运算，直到满足设计要求为止。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org28e31c9},fragile]{Matlab program}
\note{这是Matlab程序的m文件，该程序根据系统模型，计算波德图参数，最终计算出调整时间和超调量来。右面是对应的公式。n u m是闭环系统传递函数的分子多项式系数，此处设为一个变量K；d e n是闭环传递函数的分母多项式系数；t f 命令是根据闭环传递函数的分子、分母系数行列式建立系统传递函数，并将其传递给变量s y s。logspace是建立负零点一到十之间对数空间，共取四百个数据点；b o d e是在给定对数空间建立系统的波德图，分别将幅值、相角和频率赋值给三个变量，然后对幅值求极大值，并确定极大值所对应行列式的序号，然后依据此序号确定出对应的频率为谐振频率，至此就将频域指标计算出来了。然后依据已公式计算出阻尼比和无阻尼自振角频率，继而求出调整时间和超调量。}
\begin{columns}[t]
\begin{column}{0.65\columnwidth}
\begin{block}{Matlab engrave.m file}
\begin{minted}{matlab}
num = [K]; den = [1 3 2 K];
sys = tf(num,den);
w = logspace(-1,1,400);
[mag,phase,w] = bode(sys,w);
[mp,l] = max(mag); wr = w(l);

zeta = sqrt(0.5*(1-sqrt(1-1/mp^2)));
wn = wr/sqrt(1-2*zeta^2);

ts = 4/zeta/wn
po = 100*exp(-zeta*pi/sqrt(1-zeta^2))
\end{minted}
\end{block}
\end{column}

\begin{column}{0.3\columnwidth}
\begin{block}{Related equation}
\[\omega_n = \frac{\omega_r}{\sqrt{1-2\zeta^2}}\]
\[\zeta = \frac{1-\sqrt{1-\frac{1}{M_{p\omega}}}}{2}\]
\[t_s = \frac{4}{\zeta\omega_n}\]
\[P.O. = 100e^{-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}}\]
\end{block}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org114ca10},fragile]{Matlab program}
\note{这是K等于二时的运行结果，调整时间约为十六秒，超调量约为百分之四十。} 
\begin{block}{Results when K = 2}
\begin{minted}{matlab}
>> K = 2;engrave

ts =

   15.7962


po =

   39.4570
\end{minted}
\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orga9bc006}]{Engraving machine step response}
\begin{itemize}
\item the performance predictions are quite accurate and that the closed-loop system performs adequately
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[page=591, viewport=108 428 352 612, clip,scale=0.9]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\note{这是该系统在参数K取二时的阶跃响应，可以看出，刚才系统性能的预测指标还是相当准确的，闭环系统的表现令人满意。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org68e1c70}]{Summary}
\begin{itemize}
\item Frequency response: describes how a linear system responds to sinusoidal inputs in the steady state.
\begin{itemize}
\item Polar plot 极坐标图
\item Logarithmic plot (Bode plot) 对数坐标图
\item Log magnitude versus phase diagram 对数幅相图
\end{itemize}
\item Bode plot:
\begin{itemize}
\item Closed-loop performance (maximum magnitude, resonant frequency)
\item Steady state performance (error constant)
\end{itemize}
\end{itemize}

\note{本章讨论的频率响应特性描述一个线性系统对正弦输入作用下的稳态输出响应问题，可以用三种图示的方法来表达，包括极坐标图、对数坐标图和对数幅相图。重点是波德图的内容，包括闭环系统频率响应的性能指标，谐振峰值和谐振频率，以及用误差常数表征的稳态时的性能。}
\end{frame}
\section{Stability in the Frequency Domain}
\label{sec:org5b4289d}
\begin{frame}[label={sec:org9e3c2ad}]{Chapter Contents}
\begin{itemize}
\item Introduction
\item Mapping contours in the \(s\)-plane
\item The Nyquist criterion
\item Relative stability and the Nyquist criterion
\item Time domain performance criteria in the frequency domain
\item System bandwidth
\end{itemize}

\begin{itemize}
\item Summary
\end{itemize}

\note{本章主要讨论频率稳定性问题，包括复平面上的映射围线，乃氏稳定判据，相对稳定性及对应的乃氏判据，。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org6c5d362}]{Introduction}
\begin{itemize}
\item \emph{Stability}: a very important issue in a control system
\begin{itemize}
\item Transfer function/characteristic equation: Routh-Hurwitz
\item Frequency response: Nyquist
\end{itemize}
\end{itemize}

\begin{itemize}
\item Nyquist stability criterion is based on Cauchy's theorem which is concerned with the mapping contours in the complex \(s\)-plane.
\item To ensure stability, we must ascertain that all the zeros of the characteristic equation \(F(s)=1+L(s)\) lie in the left-hand \(s\)-plane.
\item Nyquist criterion: a mapping of the right-hand \(s\)-plane into the \(F(s)\)-plane (through the polar plot of \(L(s))\).
\end{itemize}

\note{稳定是控制系统里需要考虑的首要事项。前面讲过的劳斯赫尔维茨判据是根据系统的特征方程来判定系统稳定性的。本章将介绍基于频率响应判定系统稳定性的方法，也就是乃氏稳定判据。乃氏稳定判据依据的是复变函数理论中的柯西定理，该定理关心的是复平面上的围线映射。我们知道，为保证系统稳定，必须确保闭环系统特征方程的所有零点均在复平面的左半平面。乃氏判据是将整个复平面的右半平面映射到特征方程构成的复平面上，具体是通过开环传递函数的极点来判定的。在没有理解乃氏判据前理解这段论述显然是比较困难的，我们可以在学完本章相关内容后再回过头来看这段表述。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orga25b119}]{Mapping Contour in the s-Plane}
\begin{itemize}
\item A contour map is a trajectory in one plane mapped into another plane by a relation \(F(s)\).
\begin{itemize}
\item Note: from complex number to complex number
\end{itemize}
\item \(s\)-plane \[s=\sigma+j\omega\]
\item \(F(s)\) - plane \[F(s)=u+jv\]
\end{itemize}

\note{围线映射是指利用复变函数将一个复平面上的闭合曲线或轨迹映射到另一个平面上，相当于由一个复数经复变函数变成了另一个复数，在s平面上某一复数具有一定的位置，该点映射到新的复平面后，会有对应的点与其映射，它们之间是一一对应的关系，在s平面内一系列点构成的轨迹也会在F s平面上有对应的映射曲线，这就是映射围线。我们可以通过一系列例子进行说明。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orgeeeb27e}]{An Example of Contour Mapping}
\note{比如有这样一个复变函数F s，在s平面上是围绕原心、边长为二的正方形，映射到F s平面后仍然是一个正方形，只是边长变成原来的两倍，并且不再围绕原心对称，而是向右偏移了一个单位。我们可以看出，这个例子当中的封闭围线映射后仍为封闭围线，且方向没有发生没变。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{itemize}
\item Consider \(F(s)=2s+1\).
\end{itemize}
\[s=\sigma+j\omega  \longrightarrow  F(s)=(2\sigma+1)+j2\omega\]\vspace{-1.2em}
\begin{itemize}
\item This is a conformal mapping as it retains the angles of the splane contour on the \(F(s)\)-plane.
\item A closed contoutr in the \(s\)-plane results in a closed contour in the \(F(s)\)-plane.
\end{itemize}
\end{column}

\begin{column}{0.4\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=625, viewport=100 56 260 240, clip,scale=0.6]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\begin{center}
\includegraphics[page=625, viewport=280 56 464 240, clip,scale=0.6]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org5a667cc}]{Another Example of Contour Mapping}
\note{另一个例子。复变函数的形式相比前一个例子复杂了一些，但仍为有理分式。s平面上的围线仍为围线原心、边长为二的正方形，这里我们注意到，该复变函数有一个零点、一个极点，而且围线包围了复变函数的零点，但不包围其极点，在F s平面上的映射围线仍然包围原点，且围线方向没有发生改变。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{itemize}
\item Consider \(\displaystyle F(s)=\frac{s}{s+2}\)
\item The contour encloses one zero in the \(s\)-plane.
\item The contour in the \(F(s)\)-plane encloses the origin of the \(F(s)\)-plane.
\end{itemize}
\end{column}

\begin{column}{0.4\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=627, viewport=104 432 304 612, clip,scale=0.6]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\begin{center}
\includegraphics[page=627, viewport=304 432 468 612, clip,scale=0.6]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org65412bc}]{Yet Another Example of Contour Mapping}
\note{再举一个例子，这个例子与上一个相似，只是复变函数的零点、极点都被包围在s平面的正方形围线里，导致在F s平面上的映射围线不再包围原心，而且围线方向与原先围线方向相反，变成了逆时针。我们举的三个例子中，原围线与映射围线之间的关系与复变函数的零、极点分布密切相关，由此我们可以总结出柯西定理。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{itemize}
\item Consider \(\displaystyle F(s)=\frac{s}{s+1/2}\)
\item The contour in the \(s\)-plane encloses one zero and one pole
\item The origin in the \(F(s)\)-plane is no longer enclosed by the contour.
\item Note also the traversal direction of the contour
\end{itemize}
\end{column}

\begin{column}{0.4\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=629, viewport=100 432 284 612, clip,scale=0.6]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\begin{center}
\includegraphics[page=629, viewport=284 432 472 612, clip,scale=0.6]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgc2ea0a7}]{Cauchy's Theorem}
\begin{itemize}
\item \alert{Cauchy's theorem} is concerned with mapping a function \(F(s)\) that has a finite number of poles and zeros within the contour.
\item The theorem (principle of the argument，幅角定理) states
\begin{itemize}
\item If a contour \(\Gamma_s\) in the \(s\)-plane encircles \(Z\) zeros and \(P\) poles of \(F(s)\) and does not pass through any poles or zeros of \(F(s)\) and the traversal is in the clockwise direction along the contour, the corresponding contour \(\Gamma_F\) in the \(F(s)\)-plane encircles the origin of the \(F(s)\)-plane \(N=Z -P\) times in the clockwise direction
\end{itemize}
\item Check the theorem
\end{itemize}
\begin{align*}
F(s) & = 2s+1 \rightarrow Z=1,\ P=0,\ {\rm and}\ N=1\\
F(s) & = \frac{s}{s+2} \rightarrow Z=1,\ P=0,\ {\rm and}\ N=1\\
F(s) & = \frac{s}{s+1/2} \rightarrow Z=1,\ P=1,\ {\rm and}\ N=0
\end{align*}
\note{柯西定理关注的映射是，在s平面闭合曲线内具有有限个零点、极点的复变函数对原闭合曲线的映射情形，这种映射行为可以用定理表述为：如果闭合曲线以顺时针方向为正在s平面上包围了F s函数的Z个零点和P个极点，但不经过任何一个零点或极点，那么对应的映射曲线也以顺时针方向为正在F s平面上包围原点的圈数或周数为Z减P。根据这一定理，我们可以检验一下前面所举的三个例子。第一个例子，s平面的围线包围F s的一个零点，而没有极点，所以N为一，所以映射围线顺时针包围原点1圈；第二个例子，包围一个零点，但不包围极点，所以与第一个例子相同；第三个例子，包围一个零点、一个极点，所以N为零，即映射围线不包围原点。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orga57a307}]{Explanation of the Cauchy's Theorem}
\note{s平面上某闭合曲线上的一点沿着该曲线顺时针移动时，由于零点和极点的影响，对应的在F s平面上的映射点与原点构成向量的相角会发生不同的变化，仔细观察这种变化可以帮助我们更好地理解柯西定理。比如，我们考虑传递函数，分别具有两个零点、两个极点，显然相角的表达式可以写成角F s，代表的意义可以表述为，s平面上F s的零点和极点指向被研究点的四个向量对应相角的代数和差，零点构成的向量相角取正，极点构成的向量相角取负。如果F s的零点和极点在s平面上均被某一围线包围，该围线上某点沿围线顺时针方向运动一周时，零、极点到该点构成的向量均将旋转二派角度，所以在F s平面上对应的映射点将围线原点运动Z减P周，Z代表s平面上F s函数零点的数目，P代表极点的数目，如果Z减P为正，表明运动方向与s平面上围线运动方向一致，否则相反。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.7\columnwidth}
\begin{itemize}
\item \emph{Cauchy's theorem}: comprehended by considering \(F(s)\) in terms of angle due to each pole and zero as the contour \(\Gamma_s\) is traversed in a clockwise direction.
\item Consider
\end{itemize}
\[F(s)=\frac{(s+z_1)(s+z_2)}{(s+p_1)(s+p_2)}\]\vspace{-1.2em}
\begin{itemize}
\item The angle is
\end{itemize}
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\angle F(s) & = \angle(s+z_1)+\angle(s+z_2)-\angle(s+p_1)-\angle(s+p_2)\\
& = \phi_{z1}+\phi_{z2}-\phi_{p1}-\phi_{p2}
\end{aligned}
\end{equation*}\vspace{-1.2em}
\begin{itemize}
\item The net angle increase of \(\Gamma_F\) of the contour in the \(F(s)\)-plane is \(\phi_F=\phi_Z-\phi_P\) or \(2\pi N=2\pi Z-2\pi P\)
\end{itemize}
\end{column}
\begin{column}{0.3\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=629, viewport=108 52 276 240, clip,scale=0.6]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\begin{center}
\includegraphics[page=629, viewport=276 52 444 240, clip,scale=0.6]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orgad2e0ff}]{Two Additional Examples}
\note{我们看另外两个例子。第一个例子，s平面上的围线包围F s的零点三个，极点一个，差值为二，所以在F s平面上的映射围线顺时针包围原心两周；第二个例子，s平面上的围线不包围F s的零点，但包围一个极点，所以零极点差值为负一，所以在F s平面上的映射围线逆时针包围原心一周。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.65\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=630, viewport=164 447 516 612, clip,scale=0.5]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\begin{center}
\includegraphics[page=630, viewport=164 60 516 204, clip,scale=0.5]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\begin{column}{0.35\columnwidth}
\begin{itemize}
\item three zeros and one pole
\begin{itemize}
\item \(Z=3\)
\item \(P=1\)
\item \(N=Z - P = 2\)
\end{itemize}
\item one pole
\begin{itemize}
\item \(Z=0\)
\item \(P=1\)
\item \(N=Z- P = -1\)
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org91c8c90}]{Nyquist Criterion}
\begin{itemize}
\item Consider the characteristic equation
\begin{itemize}
\item Open loop
\end{itemize}
\end{itemize}
\[L(s)=\frac{N(s)}{D(s)}\]
\begin{itemize}
\item Closed loop
\end{itemize}
\[F(s)=1+L(s)=\frac{D(s)+N(s)}{D(s)}=\frac{K\prod_{i=1}^{M}(s+z_i)}{\prod_{K=1}^{M}(s+p_k)}=0\]
\begin{itemize}
\item The poles of \(L(s)\) are the same as the poles of \(F(s)\).
\item For a system to be stable, all the zeros of \(F(s)\) must lie in the left-hand \(s\)-plane
\end{itemize}
\note{判定控制系统稳定性的出发点是闭环系统的特征方程。如果一个系统的开环传递函数为L s，而且具有有理分式的形式，分子、分母分别为N s和D s，那么闭环系统的特征方程F s可以表示为一加L s，显然，开环系统特征方程的极点与对应闭环系统的极点是一样的。系统要稳定，其前提是闭环系统特征方程的所有零点均位于s平面的左半平面。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orgadddc4b}]{Nyquist Criterion}
\begin{itemize}
\item Choose a contour \(\Gamma_s\) in the \(s\)-plane that encloses the entire right-hand s-plane.
\item Plot \(\Gamma_F\) in the \(F(s)\)-plane and determine the number of encirclements of the origin \(N\).
\item The number of zeros of \(F(s)\) within the \(\Gamma_s\) contour (i.e., the unstable zeros of \(F(s)\)) is \(Z=N+P\).
\begin{itemize}
\item If \(P=0\), the number of unstable roots of the system is equal to \(N\), the number of encirclements of the origin in the \(F(s)\)-plane.
\end{itemize}
\end{itemize}

\note{为此，我们首先在s平面上构造一个围线，令其包围整个右半平面，然后在F s平面上绘制F s复变函数对应构造围线的映射围线，并确定映射围线包括原心的圈数N。根据前面介绍的柯西定理，在s平面上构造围线包围F s零点的数目等于映射围线包围原心的数目与构造围线包围F s极点的数目之和。而闭环系统特征方程的极点与开环系统特征方程对应极点是一样的，且F s的映射围线与L s相比也只是多一个常数一而已。因此，只要研究开环系统特征方程极点分布及其映射围线，即可据此对系统稳定性作出判定。如果开环没有右平面上的极点，那么闭环系统右极点的数目，或者闭环系统具有不稳定根的数目就等于F s映射围线包围原心的数目。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org53f403c}]{Contours}
\note{乃氏判据关心闭环系统特征方程F s映射围线及其围绕F s平面原心的数目，这个映射围线实质上就是乃氏图或极坐标图。实际操作中，我们研究F s减一的映射围线更加方便，因为该围线就是开环系统的乃氏图，将围绕原心圈数转化为围绕负一、洁零点的圈数来判定稳定性。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.7\columnwidth}
\begin{itemize}
\item The Nyquist criterion is concerned with the mapping of the characteristic equation \(F(s) = 1+ L(s)\) and the number of encirclements of the origin of the \(F(s)\)-plane.
\item The contour  \(\Gamma_F\) in the \(F(s)\)-plane is known as the Nyquist diagram or polar pole.
\item It is convenience to consider the mapping of \(L(s) = F(s)-1\) and the contour \(\Gamma_L\) in which the number of encirclements of the \((-1,\ j0)\) point of the \(L(s)\)-plane is of interest
\end{itemize}
\end{column}
\begin{column}{0.3\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=631, viewport=128 80 268 248, clip,scale=0.8]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org858d697}]{Nyquist Stability Criterion}
\begin{itemize}
\item A feedback control system is stable \alert{if and only if} the contour \(\Gamma_L\) in the \(L(s)\)-plane does not encircle the \((-1, j0)\) point when the number of poles of \(L(S)\) in the right-half \(s\)-plane is zero.
\item A feedback control system is stable \alert{if and only if}, for the contour \(\Gamma_L\), the number of counterclockwise encirclements of the \((-1, j0)\) point is equal to the number of poles of \(L(s)\) with positive real parts.
\end{itemize}
\[Z=N+P \rightarrow {\ \rm hope\ } Z=0 \rightarrow {\ \rm require\ } N = -P\]

\note{反馈控制系统仅且仅有在开环传递函数没有右极点时乃氏图不包围负一、洁零点的情况下才能稳定；或者，开环传递函数有右极点，且其乃氏图逆时针包围负一、洁零点的圈数就等于开环右极点的个数时，系统才能稳定。这就是乃氏稳定判据的完整表述。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org81764e8}]{Nyquist Stability Criterion: Example 1}
\note{下面我们通过一些具体实例说明如何利用乃氏稳定判据判定系统稳定性。例一，如果一个单回路开环传递函数的形式为L s，其中参数K等于一百，套一、套二分别为一和十分之一。第一步，首先绘制系统的开环乃氏图，s平面的右半平面可以用虚轴和无限大的半圆来表示，虚轴正向用实线表示，虚轴负向用虚线表示，半径无限大的半圆也用实线表示。根据我们前面所学知识，乃氏图绘制时主要考虑正频率部分，负频率对应的乃氏图与正频率对应的乃氏图关于实轴对称。频率为零时，对应乃氏图上的一百、洁零点，频率为无穷时，相当于s平面上的半圆，映射到乃氏图上为L平面上的原点，中间再找几个特殊频率点，可以绘制出乃氏图的轮廓，我们发现，开环传递函数没有右极点，同时乃氏图也不包围负一、洁零点，因此该系统对于正值K都是稳定的。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.7\columnwidth}
\begin{itemize}
\item A single-loop control system with
\end{itemize}
\begin{equation*}
\begin{aligned}
L(s)=\frac{K}{(\tau_1s+1)(\tau_2s+1)} \\
 K=100,\ \tau_1=1,\ {\rm and}\ \tau_2=1/10
\end{aligned}
\end{equation*}
\begin{itemize}
\item The Nyquist contour
\begin{itemize}
\item \(+j\omega\)-axis: solid line
\item \(-j\omega\)-axis: dashed line
\item Semicirlce with \(r\rightarrow\infty\): origin of the \(L(s)\)- plane
\end{itemize}
\end{itemize}
\[ P=0\ {\rm and}\ N=0 \rightarrow Z=0 \]\vspace{-1.2em}
\begin{itemize}
\item The system is stable for all positive \(K\)
\end{itemize}
\end{column}
\begin{column}{0.3\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=633, viewport=112 64 288 224, clip,scale=0.6]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\begin{center}
\includegraphics[page=633, viewport=288 64 472 224, clip,scale=0.6]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orge61034c}]{Nyquist Stability Criterion: Example 2}
\note{第二个例子，有一个零极点，属于一型系统。这时候s平面上的围线不能是完整的右半平面，因为零极点在虚轴上，无法严格区分是包围还是不包围开环的极点。为此，有两种解决途径，一是取s平面上不包围零极点的围线，图上所示的就是这种处理方法，取一段小圆弧绕过圆心；另一种处理方法是，令s平面上的围线包围圆心，与当前处理方法相似，只是小圆弧的开口朝右，与当前状态对称。通常我们取第一种处理方法，零极点用一个新的复数来替换，其模为小量epsilon，相角phi由负九十度变到正九十度，这恰好就是开口朝左的小半圆。}<1>
\note{接下来绘制乃氏图，频率由零正到正无穷变化时，根据开环传递函数表达式，模将由无穷大变到零，相角由负九十度变到负一百八十度，所以乃氏图在第三象限负无穷远处直至由负实轴方向达到原点，然后再对称出负频率部分。接下来判定频率由零正到零负变化时相角的变化，我们在原心处取的是右半小圆弧，相角由负九十度到零再到正九十度，由于在分母上，所以乃氏图由零正频率变到零负频率时，相角将由正九十度变到零再变到负九十度，刚好是通过右半环连起来。由此可以看出，乃氏图在K大于零时不包围负一、洁零点，因此系统稳定。}<2>
\begin{columns}
\begin{column}{0.7\columnwidth}
\begin{itemize}
\item The system under consider is given by \(L(s)=\frac{K}{s(\tau s+1)}\)
\begin{itemize}
\item Type one system (one open-loop pole at the origin)
\end{itemize}
\item The contour \(\Gamma_s\) must be slightly adjusted to exclude pole within the contour.
\begin{itemize}
\item The origin of the \(s\)-plane: \(s=\varepsilon e^{j\phi}\) for \(\phi\) from \(-90^\circ\) to 0 to \(+90^\circ\).
\item From \(\omega=0^+\) to \(\omega=+\infty\)
\item From \(\omega=+\infty\) to \(\omega=-\infty\)
\item From \(\omega=-\infty\) to \(\omega=0^-\)
\end{itemize}
\item It is sufficient to construct the contour \(\Gamma_L\) for the frequency range \(0^+<\omega<+\infty\) order to investigate the stability.
\item The system is stable.
\end{itemize}
\end{column}
\begin{column}{0.3\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=634, viewport=152 447 316 612, clip,scale=0.65]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\begin{center}
\includegraphics[page=634, viewport=316 447 508 612, clip,scale=0.65]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orgb40a1d6}]{Nyquist Stability Criterion: Example 3}
\note{这个例子相比于例二，系统有三个极点，其中一个为零极点。频率为零正和趋于正无穷时的分析与前一个基本相似，乃氏图由第三象限负无穷远处、沿负二分之派方向过来，模将一直趋于零，但相角将趋于负二分之三派，所以相角会经过负派，因此乃氏图必将与负实轴相交，相交点对应的相角为负派。列出相角方程，解出对应的频率应该为根号套一套二分之一，再将此频率代入幅频函数表达式，很容易计算对应的幅值为K倍的套一套二相乘除以套一套二相加的和，这样与负实轴的交点就求出来了。画出正频率区间对应的乃氏图，再通过对称画出负频率区间对应的乃氏图，采用与例二相同的分析思路，将零正、零负连起来，形成封闭围线。可以看出，此时系统的稳定性与参数取值有关，当与负实轴的交点位于负一的右侧时，映射围线不包围负一、洁零点，系统稳定，反之系统不稳定。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.5\columnwidth}
\begin{itemize}
\item The system is given by
\end{itemize}
\[L(s)=\frac{K}{s(\tau_1s+1)(\tau_2s+1)}\]
\begin{itemize}
\item The phase angle of intersection with minor real axis
\end{itemize}
\begin{equation*}
\begin{aligned}
-\frac{\pi}{2} &- \tan^{-1} \tau_1\omega - \tan^{-1} \tau_2\omega = -\pi \\
\omega &= \frac{1}{\sqrt{\tau_1\tau_2}}\\
|L(j(\omega))| &= \frac{K\sqrt{\tau_1\tau_2}}{\sqrt{1+ \frac{\tau_1}{\tau_2}}\cdot\sqrt{1+ \frac{\tau_2}{\tau_1}}}\\
&= \frac{K\tau_1\tau_2}{\tau_1+\tau_2}
\end{aligned}
\end{equation*}
\end{column}


\begin{column}{0.5\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=636, viewport=144 52 360 224, clip,scale=0.85]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org8410bbd}]{Example 3}
\begin{itemize}
\item When \(\tau_1=\tau_2=1\) and \(K\) is varied
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[page=637, viewport=20 68 472 240, clip,scale=0.85]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\note{这是套一、套二等于一的情况下，K值改变时，乃氏图与负实轴交点的变化情况，可以看出，a图不包围负一、洁零点，系统稳定，c图包围负一、洁零点，系统不稳定，b图穿过负一、洁零点，系统临界稳定。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org9a0fc25}]{Nyquist Stability Criterion: Example 4}
\note{例四，跟例二相似，但有两个积分环节，也就是有两个零极点。将频率特性函数写成模与相角的形式，我们注意到，频率为零正时，模趋于无穷大，相角趋于负派，频率趋于正无穷时，模趋于零，相角趋于负二分三派，据此可粗略地估算出乃氏曲线位于第二象限，呈半纺锤形状。对称画出负频率部分，位于第三象限。将零负与零连起来，期间相角由负二分派、到零、再到正二分之派，由于具有两个积分环节，所以频率特性相角将由正派到零再到负派，顺时针构成一个大圆。所以，完整的乃氏图顺时针包围负一、洁零点两圈，所以不管K值取多少，系统均不稳定。需要注意的是，分析中我们假定K值为正，如果K取负值，乃氏图将位于第一、第四象限，不包围负一、洁零点，系统变得稳定。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.5\columnwidth}
\begin{itemize}
\item The system is given by \(L(s)=\frac{K}{s^2(\tau s+1)}\)
\item Note that
\end{itemize}
\begin{align*}
L(j\omega) & = \frac{K}{-\omega^2(j\omega\tau+1)} \\
& = \frac{K}{\sqrt{\omega^4+\tau^2\omega^6}}\angle(-\pi-\tan^{-1}(\omega\tau))
\end{align*}
\begin{itemize}
\item The angle of \(L(j\omega)\) is always \(-180^\circ\) or less and the locus 轨迹 of \(L(j\omega)\) is above the \(u\)-axis for all values of \(\omega\)
\end{itemize}
\end{column}

\begin{column}{0.5\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=639, viewport=116 456 292 612, clip,scale=0.85]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\begin{itemize}
\item Because the contour encircles the \((-1, j0)\) point twice, there are two roots of the closed-loop system in the right-hand plane, and the system, irrespective of the gain \(K\), is unstable.
\end{itemize}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org9ad8c2c}]{Nyquist Stability Criterion: Example 5A}
\note{右图所示，如果内反馈K二等于零，由于开环传递函数有右极点，所以开环不稳定。要想使闭环系统稳定，就要求开环乃氏图逆时针包围负一、洁零点一圈。而事实是，该开环传递函数顺时针包围了负一、洁零点一圈，因此N等于一，所以闭环系统在右半平面的极点数目为二，因此系统不稳定。关于乃氏图的绘制，此处就不再赘述了。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{itemize}
\item Consider the system that is unstable in the open loop
\begin{itemize}
\item Consider \(K_2=0\)
\end{itemize}
\end{itemize}
\[L(s)=\frac{K_1}{s(s-1)}\]
\begin{itemize}
\item As \(P=1\), it is required that \(N=-1\) for the stable closed system.
\end{itemize}
\begin{itemize}
\item The contour \(\Gamma_L\) in the \(L(s)\)-plane encircles the \((-1, j0)\) point once in the clockwise direction so \(N=1\), and there is one pole in the right-half plane so \(P=1\). Hence \(Z=N+P=2\) and the system is unstable.
\end{itemize}
\end{column}
\begin{column}{0.4\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=639, viewport=104 244 352 332, clip,scale=0.65]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\begin{center}
\includegraphics[page=640, viewport=144 428 328 612, clip,scale=0.65]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org7a40555}]{Nyquist Stability Criterion: Example 5B}
\note{当K二不为零时，将K二的引出点后移，反馈环节变成K二乘s，与原有的单位反馈合并成一加K二s，所以开环传递函数就变成这个表达式，前向通路K一、s减一分之一、s分之一三者相乘，再与合并反馈K二s加一相乘。将开环传递函数写成频率特性函数，并转化成实部、虚部相加的形式，虚部为零时乃氏图与实轴相交，显然对应的频率为根号K二分之一，再计算一下该频率下的实部，即可得到乃氏图与实轴的交点位置，为负K一、K二的乘积，当K一、K二乘积大于一时，乃氏图将逆时针包围负一、洁零点一圈，N等于负一，满足前面提到的闭环稳定条件的要求，系统稳定。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.58\columnwidth}
\begin{itemize}
\item For the unstable system with positive \(K_2\)
\end{itemize}
\[L(s)=\frac{K_1(1+K_2s)}{s(s-1)}\]
\[L(j\omega)=\frac{-K_1(\omega^2+\omega^2K_2)+jK_1(\omega-K_2\omega^3)}{\omega^2+\omega^4}\]
\begin{itemize}
\item The \(L(j\omega)\) locus intersects the \(u\)-axis at a point where the imaginary part of \(L(j\omega)\) is zero, i.e., \(\omega^2=1/K_2\)
\item The value of the real part of \(L(j\omega)\) at the intersection is then
\end{itemize}
\[u|_{\omega^2=1/K_2}=\frac{-K_1(\omega^2+\omega^2K_2)}{\omega^2+\omega^4}=-K_1K_2\]
\end{column}

\begin{column}{0.45\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=641, viewport=104 452 312 612, clip,scale=0.75]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\begin{itemize}
\item When \(K_1K_2>1\), the contour \(\Gamma_L\) encircles the \((-1, j0)\) point once in a counterclockwise direction and therefore \(N=-1\). The system becomes stable.
\end{itemize}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orgd1bf3b0}]{Relative Stability and the Nyquist Criterion}
\begin{itemize}
\item Relative stability of a system in the time domain
\begin{itemize}
\item Real part of the roots 闭环特征根的实部
\item Related to the settling time
\item Defined as how far the roots are to the \(j\omega\)-axis
\end{itemize}
\item Relative stability in the frequency domain
\begin{itemize}
\item Defined as how far the Nyquist contour is away from the -1 point.
\item More applicable 应用更广
\end{itemize}
\item The Nyquist stability criterion is defined in terms of the \((-1, j0)\) point on the polar plot or the 0-dB, \(-180^\circ\) point on the Bode diagram or log-magnitude-phase diagram.
\item The proximity 相近程度 of the \(L(j\omega)\) locus to this stability point is a measure of the relative stability of a system.
\end{itemize}

\note{接下来我们讨论一下相对稳定性的概念。时域内的相对稳定性与特征方程根的实部位置有关，离虚轴越远，稳定性越好。还跟调整时间有关，调整时间越短，相对稳定性越好。频域里的相对稳定性定义为乃氏曲线与负一点的远近程度，其应用更为广泛。极坐标图上，乃氏稳定判据根据负一、j 零点确定，波德图或对数幅相图上，根据零分贝、负一百八十度对应的点进行确定。开环频率特性曲线离这些稳定点的相近程度可以作为系统相对稳定性的度量指标。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org9d4cb65}]{Relative Stability}
\begin{itemize}
\item Consider \(\displaystyle L(s)=\frac{K}{s(\tau_1s+1)(\tau_2s+1)}\) for some different \(K\).
\item As \(K\) increases, the polar plot approaches the \((-1, j0)\) point and eventually encircles the \((-1, j0)\) point.
\item The locus intersects the u-axis at a point
\end{itemize}
\[u=\frac{-K\tau_1\tau_2}{\tau_1+\tau_2}\]\vspace{-1em}
\begin{itemize}
\item The system has roots on the \(j\omega\) -axis when \(u= -1\) or
\end{itemize}
\[K=\frac{\tau_1+\tau_2}{\tau_1\tau_2}\]\vspace{-1em}
\begin{itemize}
\item The margin between the critical gain \(K=\frac{\tau_1+\tau_2}{\tau_1\tau_2}\) and a gain \(K = K_2\) is a measure of the relative stability.
\end{itemize}

\note{考虑开环传递函数在K值不同时的相对稳定性问题。前面我们已讨论过该函数的稳定性判据问题，已经得出结论，随着K值的增加，极坐标图不断趋近于负一、洁零点，最终会包围该点。与实轴的交点坐标我们也已经知道，可以表示成u，u等于负一时，对应闭环系统临界稳定，在虚轴上有极点存在，此时的K值可以表示成tau 1、tau 2的和与其积的比值。不同K值与临界K值之间的差值是系统相对稳定性的一种度量指标。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org1ac3656}]{Gain Margins 幅值裕量}
\begin{itemize}
\item \emph{The gain margin} is defined as the reciprocal of the gain \(|L(j\omega)|\) at the frequency at which the phase angle reaches \(-180^\circ\).
\item \emph{The gain margin} is the increase in the system gain when phase is \(-180^\circ\) that will result in a marginally stable system with intersection of the \((-1, j0)\) point on the Nyquist diagram.
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[page=643, viewport=108 44 316 224, clip,scale=0.75]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\note{幅值裕度定义为，相角达到一百八十度时，对应频率下幅值的倒数，其值越大，稳定裕度越好。幅值裕度可以理解为，系统在达到临界稳定之前，能够容许的系统增益的放大倍数。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orgcb7a36a}]{Gain Margin}
\note{用右图来解释幅值裕量，为了使极坐标曲线恰好经过负一点，系统增益允许增加的最大放大倍数。就拿K二对应的红色极坐标曲线为例进行说明，红色极坐标曲线与实轴相交时虚部为零，相角为负一百八十度，对应频率为根号套一套二分之一。根据幅值裕量的定义，与实轴交点坐标与原点的距离为d，代表该频率下的幅值大小，其倒数即为幅值裕量。以分贝形式进行表达就是负二十倍的log d。比如，套一、套二均为一时，临界K值为二，如果系统增益为零点五，说明系统有一定的稳定裕度，可以计算出来稳定裕度为四，表明系统在变得不稳定之前，在原来增益的基础上还以提高到原增益的四倍。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{itemize}
\item The gain margin is a measure of the factor by which the system gain would have to be increased for the \(L(j\omega)\) locus to pass through the \(u=-1\) point.
\item For \(K=K_2\), the gain margin is equal to the reciprocal of \(L(j\omega)\) when \(v = 0\).
\item When the phase shift is \(-180^\circ\), the corresponding frequency is \(\omega=\frac{1}{\sqrt{\tau_1\tau_2}}\)
\item The gain margin is thus
\end{itemize}
\[\frac{1}{|L(j\omega)|}=\left[\frac{K_2\tau_1\tau_2}{\tau_1+\tau_2}\right]^{-1}=\frac{1}{d}\]\vspace{-1.2em}
\begin{itemize}
\item In terms of dB, the gain margin is \(-20\log d\) dB.
\end{itemize}
\end{column}
\begin{column}{0.4\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=643, viewport=108 44 316 224, clip,scale=0.75]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\begin{itemize}
\item \(\tau_1=\tau_2=1\)，the critical gain \(K = \frac{\tau_1 +\tau_2}{\tau_1\tau_2}\) is 2. If \(K_2 = 0.5\)，gain margin is 4.
\end{itemize}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org11b7317}]{Phase Margin 相角裕量}
\begin{itemize}
\item \emph{The phase margin} is defined as the phase angle through which the \(L(j\omega)\) locus must be rotated so that the unity magnitude point will pass through the \((-1, j0)\) point in the \(L(j\omega)\) plane.
\end{itemize}
\note{相角裕度定义为，为了使极坐标曲线的单位幅值点通过L平面上的负一、洁零点，极坐标曲线绕原点需要转过的角度。实际上，相角裕量给出了避免系统失稳最大冗余相角。比如，还以红色极坐标曲线为例，系统失稳前，可以引入的额外相角为phi 二，所以相角裕量为phi 二，而绿色的极坐标曲线对应的相角裕量就phi 一。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.45\columnwidth}
\begin{itemize}
\item The phase margin is the additional phase lag required before the system becomes unstable.
\item For \(K= K_2\), an additional phase angle \(\phi_2\) may be added to the system before the system becomes unstable; the phase margin is thus \(\phi_2\).
\item For the gain \(K_1\), the phase margin is equal to \(\phi_1\).
\end{itemize}
\end{column}
\begin{column}{0.55\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=643, viewport=108 44 316 224, clip,scale=0.95]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org4e6bb9a}]{Phase Margins}
\begin{itemize}
\item \emph{The phase margin} is the amount of phase shift of the \(L(j\omega)\) at unity magnitude that will result in a marginally stable system with the intersection of the \((-1, j0)\) point on the Nyquist diagram.
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[page=643, viewport=108 44 316 224, clip,scale=0.75]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\note{总的来讲，相角裕量是指，系统达到临界稳定之前，开环传递函数的单位幅值点允许的相移量。也就是，在原有单位幅值点对应相角上再增加一定的相移量，乃氏图将与负一、j 零点相交，达到临界稳定。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orge24bb48}]{Gain and Phase Margins on Bode Diagram}
\note{与极坐标曲线相比较，我们更倾向于使用伯德图来表征系统的稳定裕量。在极坐标平面上的临界稳定点是负一、洁零点，等效到伯德图上是零分贝线和负一百八十度线。所以，根据幅频特性曲线与零分贝线的交点对应在相频特性曲线上的相角与负一百八度角之间的差值即可估算出系统的相角裕量；同样的，根据相频特性曲线与负一百八十度线交点对应在幅频特性曲线上的对应点估算出系统的幅值裕量。比如，考虑这一形式的幅频特性函数，绘制出其伯德图，具体绘制方法这里我们就不介绍了。我们发现，零分贝时对应相角负一百三十七度，与负一百八相差四十三度，所以相角裕量为四十三度。负一百八十度相角对应的幅值为负十五分贝，所以幅值裕量为十五分贝。可以看出，幅值裕量和相角裕量都很容易从伯德图上近似得到，非常方便。}
\begin{itemize}
\item The critical point for stability is \(u=-1\) and \(v=0\) in the \(L(j\omega)\) plane, which is equivalent to a logarithmic magnitude of 0 dB and a phase angle of \(-180^\circ\) on the Bode diagram.
\end{itemize}
\begin{columns}
\begin{column}{0.4\columnwidth}
\begin{itemize}
\item Consider
\end{itemize}
\[L(j\omega)=\frac{1}{j\omega(j\omega+1)(0.2j\omega+1)}\]\vspace{-1.2em}
\begin{itemize}
\item The phase angle when the gain is 0 dB is \(137^\circ\).
\item The gain when the phase is \(-180^\circ\) is -15 dB.
\item Phase margin: \(43^\circ\).
\item Gain margin: 15 dB
\end{itemize}
\end{column}

\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=645, viewport=100 404 364 612, clip,scale=0.75]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org6f51231}]{Margins on Log-Magnitude-Phase Diagram}
\begin{itemize}
\item For the log-magnitude-phase diagram, the critical stability point is the 0-dB, \(-180^\circ\) point, and the gain margin and phase margin can be easily determined and indicated on the diagram.
\end{itemize}
\note{对于对数幅相图来说，临界稳定点变为零分贝、负一百八十度点，幅值裕量和相角裕量更容易从图上得出。比如，我们比较一下两个频率特性函数对应的对数幅相图。过零分贝线、负一百八十度点分别作水平和垂直线，找到与对数幅相曲线相交的点，测量出与起始点的绝对距离，水平距离即为相角裕量，垂直距离即为幅值裕量。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.55\columnwidth}
\begin{itemize}
\item Consider \(\displaystyle L_1(j\omega)=\frac{1}{j\omega(j\omega+1)(0.2j\omega+1)}\)
\begin{itemize}
\item Phase margin: \(43^\circ\)
\item Gain margin: 15 dB
\end{itemize}
\item Consider \(\displaystyle L_2(j\omega)=\frac{1}{j\omega(j\omega+1)^2}\)
\begin{itemize}
\item Phase margin: \(20^\circ\)
\item Gain margin: 5.7 dB
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{column}
\begin{column}{0.45\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=646, viewport=144 300 432 612, clip,scale=0.5]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org008274b}]{Phase Margin of a Second-Order System}
\begin{itemize}
\item Consider the loop transfer function
\end{itemize}
\[L(s)=\frac{\omega_n^2}{s(s+2\zeta\omega_n)}, \quad L(j\omega)=\frac{\omega_n^2}{j\omega(j\omega+2\zeta\omega_n)}\]
\begin{itemize}
\item The magnitude of the frequency response is equal to 1 at a frequency \(\omega_c\) (the gain cross-over frequency 剪切频率); thus
\end{itemize}
\[\frac{\omega_n^2}{\omega_n\sqrt{\omega_c^2+4\zeta^2\omega_n^2}}=1 \rightarrow\frac{\omega_c^2}{\omega_n^2}=\sqrt{4\zeta^4+1}-2\zeta^2\]
\begin{itemize}
\item The phase margin is
\end{itemize}
\begin{align*}
\phi_{\rm pm}& = 180^\circ -90^\circ -\tan^{-1}\frac{\omega_c}{2\zeta\omega_n}\\
& = 90-\tan^{-1}(\frac{1}{2\zeta}\sqrt{\sqrt{4\zeta^4+1}-2\zeta^2})=\tan^{-1}(\frac{2}{\sqrt{\sqrt{4+(1/\zeta^4)}-2}})
\end{align*}

\note{下面我们专门讨论一下二阶系统。考虑以下的开环传递函数及对应的频率特性函数。令其幅值为一，找到对应的频率omega c，我们称之为剪切频率。相角裕量可以表示成phi pm，这样，我们就可以得到了二阶欠阻尼系统相角裕量与阻尼系数之间的关系。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org6365430}]{Phase Margin of a Second-Order System}
\begin{itemize}
\item For an under-damped second order system, the phase margin is
\end{itemize}
\[\phi_{\rm pm}=\tan^{-1}(\frac{2}{\sqrt{\sqrt{4+(1/\zeta^4)}-2}})\]\vspace{-1.2em}
\begin{itemize}
\item The relationship between the phase margin and damping ratio can be approximated as \(\zeta=0.01\phi_{\rm pm}\) 相解裕量近似阻尼比的100倍
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[page=647, viewport=100 36 384 196, clip,scale=0.7]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\note{将相角裕量与阻尼比的关系式绘制成曲线，我们发现，这一曲线可以用一条直线来近似表达，相角裕量近似是阻尼比的一百倍，如果阻尼为零点五，相角裕量近似为五十度。所以阻尼比越大，稳定程度越高。更多的时候，我们是根据相角裕量来估算阻尼比的，进而再计算系统的时域指标，比如超调量或调整时间等。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org77d7b5b}]{Time-Domain Performance Criteria the Freq. Domain}
\begin{itemize}
\item The closed-loop frequency response is the frequency response of the closed-loop transfer function \(T(j\omega)\).
\end{itemize}
\[T(j\omega)=\frac{G_c(j\omega)G(j\omega)}{1+G_c(j\omega)G(j\omega)H(j\omega)}\]\vspace{-1.2em}
\begin{itemize}
\item \emph{The Nyquist criterion and phase margin index} are defined for the loop transfer function
\end{itemize}
\[L(j\omega)=G_c(j\omega)G(j\omega)H(j\omega)\]\vspace{-1.2em}
\begin{itemize}
\item The maximum magnitude of the closed-loop frequency response can be related to the damping ratio of a second-order system of
\end{itemize}
\[M_{p\omega}=|T(j\omega_r)|=(2\zeta\sqrt{1-\zeta^2})^{-1},\ \zeta<0.707\]\vspace{-1.2em}
\begin{itemize}
\item Objective: to obtain the closed-loop frequency response from the open-loop frequency response.
\end{itemize}

\note{系统的响应是根据闭环传递函数来确定的，但是乃氏判据及相角裕量指标却是依据开环传递函数确定的。之前我们也讨论了二阶系统闭环频率响应的最大幅值与阻尼比之间的关系，阻尼比可以通过开环传递函数的相角裕量进行估算，因此，我们希望在考察开环乃氏图时就能确定谐振峰值，也就是由开环频率响应得到闭环频率响应，从而简化分析过程。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org4b10078}]{Constant Magnitude M Circles 等幅值M圆}
\begin{itemize}
\item In the unity feedback case, key performance indicators such as \(M_{p\omega}\) and \(\omega_r\) can be determined from the magnitude-phase plot using M-circles which are circles of constant magnitude of the closed-loop transfer function.
\item The relation
\end{itemize}
\[T(j\omega)=M(\omega)e^{j\phi(\omega)}=\frac{G_c(j\omega)G(j\omega)}{1+G_c(j\omega)G(j\omega)}\]\vspace{-1em}
\begin{itemize}
\item When \(G_c(j\omega)G(j\omega)=u+jv\), the magnitude becomes
\end{itemize}
\[M(\omega)=\left|\frac{G_c(j\omega)G(j\omega)}{1+G_c(j\omega)G(j\omega)}\right|=\left|\frac{u+jv}{1+u+jv}\right|=\frac{\sqrt{u^2+v^2}}{\sqrt{(1+u)^2+v^2}}\]\vspace{-2em}

\note{对于单位反馈系统，谐振峰值和谐振频率等关键指标可以利用闭环传递函数的等幅值圆在幅相图中进行确定。接下来我们分析一下具体步骤。比如，闭环传递函数的形式是T j omega，显然其幅值和相角均是频率的函数，如果开环传递函数写成实部与虚部相加的形式，闭环幅值可以推导出关于开环实部与虚部的函数。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org7958995}]{Constant Magnitude M Circles}
\note{我们再对幅值M进行变换，当M不等于一且固定不变时，开环实部、虚部满足以下方程，不难发现，该方程是u、v平面上的一个圆方程，其圆心为M平方除以一减M平方，半径是M平方除以一减M平方的绝对值。M取值不同时，可以画出一系列的圆，它们关于负二分之一垂线对称，M小于一时，位于垂线右侧，M大于一时位于垂线左侧，M等于一时就是垂线本身。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.5\columnwidth}
\begin{itemize}
\item For a given M the variables \(u\) and \(v\) satisfy
\end{itemize}
\[\left(u-\frac{M^2}{1-M}\right)^2+v^2=\left(\frac{M^2}{1-M^2}\right)^2\]
\begin{itemize}
\item In the \((u,v)\)-plane, this is a circle
\begin{itemize}
\item center: \(\displaystyle (u,v)=(\frac{M^2}{1-M^2},0)\)
\item radius: \(|\frac{M^2}{1-M^2}|\)
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{column}
\begin{column}{0.5\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=650, viewport=152 48 408 208, clip,scale=0.75]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orgac5bea9}]{Implication of M Circles}
\begin{itemize}
\item The maximum magnitude of the closed-loop frequency response \(M_{p\omega}\) is the value of the \emph{M} circles that is tangent to the \(L(j\omega)\) locus.
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[page=651, viewport=36 460 468 612, clip,scale=0.93]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\note{闭环频率响应的谐振峰值就是与开环乃氏图相切的M圆对应的幅值。比如，左侧图上显示，对应开一、开二乃氏图的两个相切M圆分别是M一和M二，所以闭环系统的谐振峰值分别为M一和M二。如果找到开环极坐标图不同频率点处相交的其他等挨木圆，就可以得到完整的闭环频率响应幅频特性。比如K二极坐标图，与M一圆有两个交点，分别对应omega一和omega二，再加上谐振频率，就可以确定K二对应闭环幅频特性曲线上的三个点，找到与更多M圆的交点，就可以更准确地反映闭环系统的频率特性曲线。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orge07e259}]{Constant Phase N Circles 等相角N圆}
\begin{itemize}
\item The phase relation is
\end{itemize}
\[\phi(\omega)=\angle T(j\omega)=\angle(u+jv)-\angle(1+u+jv)=\tan^{-1}(\frac{v}{u})-\tan^{-1}(\frac{v}{1+u})\]\vspace{-1.5em}
\begin{itemize}
\item Let \(N=\tan\phi\), we have \(\displaystyle u^2+v^2+u-\frac{v}{N}=0\) or \footnote{\(\tan (A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A\tan B}\)}
\end{itemize}
\[(u+\frac{1}{2})^2+(v-\frac{1}{2N})^2=\frac{1}{4}(1+\frac{1}{N^2})\]\vspace{-1.3em}
\begin{itemize}
\item This gives constant phase N circles
\begin{itemize}
\item center: \(\displaystyle (u,v)=(-\frac{1}{2},\frac{1}{2N})\)
\item radius: \(\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{1}{N^2}}\)
\end{itemize}
\end{itemize}

\note{类似地，我们可以推导出闭环相角为常值时的等N圆。根据前面提到的闭环传递函数表达式，推导出相角关于开环传递函数实部、虚部的函数，两边同时取正切，并令闭环相角的正切为N，利用两角和差的正切公式可以得到，u平方 加 v平方 加 v 再减v除以u等于零，或者可以整理成下式。两边同时加一个常数，左边配成两个完全平方的和，这样也转变为一个圆方程，很容易确定出圆心坐标和圆的半径。N变化时，等相角N圆的圆心和半径会发生相应的变化。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org907bfe4}]{Nichols Chart}
\note{M圆和N圆是开环传递函数平面上的等幅值和等相角圆，主要应用于极坐标图。在对数幅相图上，也可以绘制等幅值和等相角曲线，这样就得到了尼科尔斯图。右图中，蓝色粗线代表等相角曲线，单位为度，浅色灰线代表等幅值曲线，单位为分贝。对开环系统而言，对应图中水平与垂直的网络线，对闭环系统而言，对应图中的等挨木线和等嗯线。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{itemize}
\item \emph{M} and \emph{N} circles are constant magnitude and constant phase in the \(L(j\omega)\) plane, applicable to polar plot.
\item In the log-magnitude-phase diagram, the constant magnitude and constant phase contours can also be drawn, leading to the Nichols chart.
\begin{itemize}
\item Open loop system: horizontal and vertical axes
\item Closed-loop system: constant M lines and constant N lines
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{column}

\begin{column}{0.4\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=653, viewport=96 124 456 612, clip,scale=0.43]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org2e1d5f4}]{Nichols Chart Application 1}
\note{接下来我们讨论一下如何用尼科尔斯图获得系统的闭环频率响应。比如有这样一个开环频率特性函数，将其绘制在尼科尔斯图上，我们发现，与开环对数幅相图相切的等M圆应该介于二至三分贝之间，所以谐振峰值约为二点五分贝，相切点的频率为零点八，所以谐振频率为零点八。再看谐振峰值处对应的相角，介于负六十度到负九十度之间，取中间值是负七十五度，但相切点靠近负六十度，所以近似取负七十二度。我们再看，负三分贝等幅曲线相交点处的频率，靠近一点三五但比其小一点，所以近似取一点三三，对应闭环系统的带宽，关于带宽的概念随后会介绍。带宽频率下对应的相角靠近负一百五十度略小，近似取为负一百四十二度。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.45\columnwidth}
\begin{itemize}
\item Consider
\end{itemize}
\[G_c(j\omega)G(j\omega)=\frac{1}{j\omega(j\omega+1)(0.2j\omega+1)}\]\vspace{-1.5em}
\begin{itemize}
\item The maximum magnitude
\begin{itemize}
\item At frequency \(\omega_r=0.8\)
\item \(M_{p\omega}:\ 2.5 {\rm dB}\)
\item Phase: \(-72^\circ\)
\end{itemize}
\item The 3-dB closed-loop bandwidth
\begin{itemize}
\item Bandwidth \(\omega_B=1.33\)
\item Phase: \(-142^\circ\)
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{column}

\begin{column}{0.55\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=654, viewport=156 264 424 612, clip,scale=0.6]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orgbf198fb}]{Nichols Chart Application 2}
\note{再看尼科尔斯图的第二个应用。如果单位反馈系统的开环传递函数的形式G c G，在尼科尔斯图上找到与开环幅相图相切的等幅曲线，对应谐振峰值，不难发现是频率零点九附近的九分贝等幅曲线，所以谐振频率近似为零点八八，谐振峰值为九分贝。再看幅值裕量和相角裕量，找到与开环零分贝线和开环负一百八十度相角相交的开环幅相曲线上的交点，距离临界稳定点的水平距离即为相角裕量，从图上可以读出为三十度，垂直距离即为幅值裕量，从图上可以读出约为三点五分贝。由前面所学知识可知，根据谐振峰值和相角余量都可以估算出阻尼比，但我们发现，这个例子中，由两者估算出的阻尼比是不同的，由相角裕量估算出的阻尼比为零点三，而由谐振峰值估算出的阻尼比为零点一八，这也表明了，频域指标和时域指标之间的联系并不完全清晰和准确。估算结果差异较大的原因与频率特性曲线的形状有关，它从零分贝线迅速滑向了负一百八十度等N线。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.45\columnwidth}
\begin{itemize}
\item Consider a unit feedback system with a loop transfer function
\end{itemize}
\[G_c(j\omega)G(j\omega)=\frac{0.64}{j\omega[(j\omega)^2+j\omega+1]}\]\vspace{-1.5em}
\begin{itemize}
\item The maximum magnitude 9 dB at \(\omega_r=0.88\)
\item The gain margin: 3.5 dB
\item The phase margin: \(30^\circ\)
\end{itemize}
\end{column}

\begin{column}{0.55\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=655, viewport=168 268 432 612, clip,scale=0.6]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org91168a5}]{System Bandwidth}
\note{闭环控制系统的带宽是度量系统的信号复现能力的最好参数。而且系统带宽与系统的阶跃响应速度成正比，与调整时间成反比。具体而言，系统带宽定义为，波德图低频段为零分贝的系统，幅值下降至负三分贝时对应的频率范围。比如这两个二阶闭环系统，它们的阻尼比是相同的，都是零点五，但自然频率分别是十和三十，根据调整时间的计算公式，阻尼相同的情况下，频率越高，调整时间越短，而对应的带宽越大，从图上可以看出，系统二的带宽明显大于系统一，与前面的分析吻合。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.5\columnwidth}
\begin{itemize}
\item The bandwidth \(\omega_B\) of the closed-loop control system
\begin{itemize}
\item Range of fidelity 保真度 of response of the system
\item Speed of response to a step input: proportional to \(\omega_B\)
\item Settling time: inversely proportional to \(\omega_B\)
\end{itemize}
\item In systems where the low-frequency magnitude is 0dB on the Bode diagram, the \alert{bandwidth} is measured at the -3dB frequency.
\end{itemize}
\end{column}

\begin{column}{0.5\columnwidth}
\begin{itemize}
\item Compare \(\displaystyle T_1(s)=\frac{100}{s^2+10s+100}\quad {\rm and}\quad  T_2(s)=\frac{900}{s^2+30s+900}\)
\end{itemize}
\begin{center}
\includegraphics[page=657, viewport=108 460 424 612, clip,scale=0.6]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\begin{itemize}
\item The system with the larger bandwidth provides the faster response.
\end{itemize}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orgd59fa61}]{System Bandwidth}
\begin{itemize}
\item The system with a larger bandwidth provides a faster response.
\end{itemize}


\begin{center}
\includegraphics[page=657, viewport=108 264 424 436, clip,scale=0.9]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\note{这是两系统时域响应的对比，可以看出，带宽更大的系统二反应更快，调整时间更短，也验证了前面的分析结果。}
\end{frame}


\begin{frame}[label={sec:orgd60cbc4}]{The Stability of Control Systems with Time Delays}
\begin{itemize}
\item Many control systems have a time delay within the closed loop of the system that affects the stability (and performance) of the system.
\item A time delay is the time interval between the start of an event at one point in a system and its resulting action at another point in the system.
\item The transfer function of a pure time delay (without attenuation) is
\end{itemize}
\[G_d(s)=e^{-sT}\]\vspace{-1.5em}
\begin{itemize}
\item where \(T\) is the delay time.
\end{itemize}

\note{许多控制系统有延时环节，会影响系统的稳定性和性能。时间延迟是系统某一时刻点上事件发生与另外一个时间点上产生结果之间的时间间隔。纯延时环节的传递函数可以表示成G d，时间T表示延迟时间。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org5d20959}]{}
\begin{itemize}
\item The time delay does not introduce any additional poles or zeros within the contour, implying that the Nyquist criterion remains valid.
\item The Nyquist criterion can be utilized to determine the effect of the time delay on the relative stability of the feedback system.
\item The delay results in a phase shift \(\phi(\omega)=-\omega T\)
\item The loop transfer function is altered
\end{itemize}
\[L(j\omega)=G_c(j\omega)G(j\omega)e^{-j\omega T}\]

\note{时间延迟并未引入额外的零点或极点，表明乃氏判据仍然适用，仍可用乃氏判据确定延时作用对反馈系统稳定性的影响。延时会导致相移增加，引入延时环节的开环传递函数为L j omega。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org48211af}]{Liquid Level Control System}
\note{比如，常见的液位控制系统，在阀门调节和液体流出之间就会引入时间延迟，其开环传递函数为L s。时间延迟常数T由流体流动速度与阀门至出口的距离决定，与流速成反比，与距离成正比。时间延迟引入额外相角滞后，会导致系统不稳定。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.5\columnwidth}
\begin{itemize}
\item A level control with time delay
\begin{itemize}
\item Time delay: between the valve adjustment and the fluid output
\end{itemize}
\item The loop transfer function
\end{itemize}
\[L(s)=\frac{31.5}{(s+1)(30s+1)((s^2/9)+(s/3)+1)}e^{-sT}\]
\begin{itemize}
\item The time delay between the valve adjustment and the fluid output is \(T = d/v\)
\item A time delay introduces an additional phase lag and results in a less stable system.
\end{itemize}
\end{column}
\begin{column}{0.5\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=659, viewport=156 448 404 612, clip,scale=0.7]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org6eb1b68}]{Liquid Level Control System}
\begin{center}
\includegraphics[page=659, viewport=100 316 452 424, clip,scale=0.8]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\note{这是液位控制系统的方框图。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orgec63f98}]{Bode plot for liquid level control system}
\[L(s)=\frac{31.5}{(s+1)(30s+1)((s^2/9)+(s/3)+1)}\]
\begin{center}
\includegraphics[page=659, viewport=104 48 344 252, clip,scale=0.6]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\[20\log ? = 5 \rightarrow ?= 10^{5/20} = 1.77 \rightarrow \frac{31.5}{1.77} = 17.8\]

\note{这是液位控制系统的开环波德图，为了方便对比，我们将引入延迟前后的相频特性曲线同时绘制在图上。如果不考虑延迟，系统的频率特性函数为L s。该系统有三个转折频率点，分别是三十分之一、一和三。这幅图的幅频特性曲线略去了低频水平部分，低频水平直线的幅值应该为二十倍的log三十一点一五，近似为三十分贝。经过频率三十分之一处，将转折负二十分贝每十倍频斜率，然后在频率一处再转折负二十斜率，在频率三处再转折负四十斜率，由此从起始低频率段逐个得出完整的幅频特性曲线渐近线。如果只考虑图示的频率段，起点应该这样计算，计算零点一频率处的幅值，分子比例环节仍取三十一点五，分母取第二个惯性环节，三十s加一分之一，因为该环节时间常数最短，这样，零点一频率时，分子三十一点五，分母的模为根号十，所以对应幅值应该为二十倍的三十一点五除以根号十，近似二十分贝，由此开始转折负二十，再在频率一处转折负二十，最后在频率三处再转折负四十。}<1>

\note{红色、蓝色分别为考虑延时和不考虑延时的相频特性曲线，我们可以看出，零分贝线对应相角较负一百八十度近似大三十五度，此即为相角裕量，但是引入延迟后，相角将接近负二百二十度，相角裕量变成负值，系统变得不稳定。为了使延迟系统仍有近三十度的相角裕量，必须减小系统增益，从图上可以估算至少得减少约五分贝，对应的增益系数为一点七七，所以，系统增益得调整为三十一点五除以一点七七，为十七点八。}<2>
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org4838c61}]{\alert{Pad​e} Approximation 帕德近似}
\begin{itemize}
\item The time delay \(e^{-sT}\) is nonrational (transcendental) funtion.
\item Pade approximation: approximate the time delay using a rational transfer function 使用有理函数近似超越函数.
\item By matching the coefficients based on the Maclaurin series
\end{itemize}
\[e^{-s T}=1-s T+\frac{(s T)^{2}}{2 !}-\frac{(s T)^{3}}{3 !}+\frac{(s T)^{4}}{4 !}-\frac{(s T)^{5}}{5 !}+\cdots\]
\[e^{-sT}\approx\frac{n_1s+n_0}{d_1s+d_0}=\frac{n_0}{d_0}+(\frac{d_0n_1-n_0d_1}{d_0^2})s+(\frac{d_1^2n_0}{d_0^3}-\frac{d_1n_1}{d_0^2})s^2+\cdots\]
\begin{itemize}
\item A first order Pade approximation of the time delay is
\end{itemize}
\[e^{-sT}\approx\frac{-\frac{T}{2}s+1}{\frac{T}{2}s+1}\]

\note{我们知道，延时环节是一个无理函数，我们可以使用帕德近似将其转化为有理函数。将延时函数写成麦克劳林级数的形式，这是一种特殊的泰勒级数展开式。如果将延时环节近似为有理式，且将其也进行麦克劳林级数展开，根据上下两式对应系数相等的原则，可以得出n零等于d零，都等于一，n一等于负二分之T，d一等于二分之T。这就是延时环节的帕德近似表达式。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org0a21700}]{Design Example: Remotely Controlled Vehicle}
\note{接下我们讨论一个具体的设计实例。我们的设计目标是，获得较小的稳态误差，以及对阶跃响应的较小的超调量，达到良好的总体控制效果。b图是控制系统的方框图，如果取增益为二十，系统的开环传递函数可以表示成L s。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.45\columnwidth}
\begin{itemize}
\item Design goal of the speed control system: achieve good overall control with a low steady-state error and a low-overshoot response to step commands.
\item Loop transfer function when \(K = 20\)
\end{itemize}
\begin{equation*}
\begin{aligned}
L(s) & = G_c(s)G(s) \\
& = \frac{10(1+s/2)}{(1+s)(1+s/2+s^2/4)}
\end{aligned}
\end{equation*}
\end{column}

\begin{column}{0.55\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=665, viewport=120 48 428 328, clip,scale=0.65]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org1689dd3}]{Nichols chart for EXAMPLE 9.11}
\begin{columns}
\begin{column}{0.5\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[angle=-90, page=561, viewport=116 236 396 612, clip,scale=0.4]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\begin{center}
\includegraphics[page=329, viewport=104 48 320 232, clip,scale=0.5]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\begin{column}{0.5\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=666, viewport=148 44 412 388, clip,scale=0.65]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\note{这是在不同K值情况下的尼柯尔斯图。我们发现，K等于二十时，与十二分贝对应的等幅曲线相切，所以谐振峰值为十二分贝，此外，与零分贝线相交点处近似位于负一百五到负一百八十度之间，所以相角裕量约为十五度，所以阻尼比约为零点一五，根据左下图阻尼比与超调量的关系，可以估算出零点一五阻尼比对应的超调量约为百分之六十。为减小超调量，可以减小增益。如果限定超调量不超过百分之二十，根据左下图阻尼比与超调量的关系，可以确定系统主根的阻尼比约为零点四五，再由左上图确定对应的谐振峰值为一点二五，转化为分贝值为两分贝。由尼柯尔斯图可以看出，K为二十对应的曲线，在频率二点八时与两分贝的等幅曲线相交，减小增益，使曲线下移，直至与两分贝等幅曲线相切，曲线整体下移约十三分贝，对应比例系数约为四点五，所以开环比例系数应调整为四点五分之二十，也就是四点四。调整后的曲线与零分贝线交点距负一百八十度垂线约为四十五度，对应阻尼比约为零点四五，与初始期望相吻合。}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orge81f4c8}]{The response for EXAMPLE 9.11}
\begin{columns}
\begin{column}{0.5\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=667, viewport=112 172 412 428, clip,scale=0.65]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\begin{column}{0.5\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=666, viewport=148 44 412 388, clip,scale=0.65]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\note{这是不同K值时，系统的时域响应曲线，可以看出，随着K值的减小，超调量减小了，但稳定误差却增加了。K取二十，超调量太大，K取四点四，稳态误差又太大，都不适合。取两者之间的中间值十。增益减小到十时，相比于原来的增益二十，是原来的零点五倍，二十倍的log零点五，是负六分贝。所以在尼柯尔斯图上，K为二十的曲线整体下移六分贝就得到K为十时的曲线。从尼柯尔斯图上可以看出，K为十时，对应的谐振峰值为七分贝，相角裕量约为二十六度，所以阻尼比约为零点二六，再查阻尼比与超调量的关系可知，对应的超调量约为百分之四十。}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orga377a9f}]{The response for EXAMPLE 9.11}
\begin{itemize}
\item Steady state error
\end{itemize}
\begin{equation*}
\begin{aligned}
e_{s s} &=\lim _{s \rightarrow 0} s E(s)=\lim _{s \rightarrow 0} s\left[\frac{R(s)}{1+L(s)}\right] \\
&=\lim_{s \rightarrow 0}\frac{1}{1+L(s)}=\frac{1}{1+K / 2}
\end{aligned}
\end{equation*}

\begin{center}
\includegraphics[page=667, viewport=100 52 464 148, clip,scale=0.8]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\note{由前面章节的知识我们知道，系统误差定义为期望输出减去实际输出，可以推导出来为，一加开环增益分之一再乘以输入。稳态误差是系统误差趋于稳定时候的值，根据终值定理，稳态误差存在的条件下，其值为系统误差乘以s，在s趋于零时的取值。不难得出，本例中稳态误差为一加二分之K的和分之一。将不同K值代入稳态误差公式，可以求出对应的稳态误差值，显然K值越大，稳态误差越小。这张表里显示了，不同K值对应的系统真实输出响应参数，包括超调量、调整时间、峰值时间以及稳态误差。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org3fb8e60}]{Steady-state effect of a unit step disturbance}
\begin{center}
\includegraphics[page=665, viewport=120 60 428 144, clip,scale=0.65]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\begin{itemize}
\item Steady-state effect of a unit step disturbance can be determined by using the final-value theorem with \(R(s) = 0\)
\end{itemize}
\[y(\infty)=\lim _{s \rightarrow 0} s\left[\frac{G(s)}{1+L(s)}\right]\left(\frac{1}{s}\right)=\frac{1}{4+2 K}\]
\begin{itemize}
\item The unit disturbance is reduced by the factor \(4 + 2K\). For \(K = 10\), we have \(y(\infty) = 1/24\), or the steady-state disturbance is reduced to 4\% of the disturbance magnitude.
\end{itemize}
\note{此外，我们考虑单位阶跃扰动下，系统的稳态输出。我们假定输入为零，且只有单位阶跃扰动时，应用终值定理计算系统的稳态输出，可以采用的计算式为y无穷。以扰动为输入时，系统的传递函数是表达式里方括号包含的部分，这可以根据梅逊公式轻易得出，因为前向通路增益为G，环路的增益为Gc G，且为负反馈。由此可以看出，单位扰动作用的缩小系数为四加二K，K为十时，缩小系数为二十四分之一，相当于扰动幅值减小约为原来的百分之四。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org159e89d}]{Hot Ingot Robot Control Example}
\begin{itemize}
\item Hot ingot robot control system subject to time delay
\item \emph{Goal}: minimize the tracking error in the presence of external disturbances while accounting for the known time delay.
\item Specifications
\begin{itemize}
\item Achieve a steady-state tracking error less than 10\% for a step input
\item Phase margin greater than 50\(^\circ\) with the time-delay \(T=\pi/4\) s
\item Percent overshoot less than 10\% for a step input
\end{itemize}
\item Consider P control and PI control.
\end{itemize}

\note{热锭机器人控制系统也具有时间延迟特性。我们的设计目标是，考虑时间延迟的条件下减少外部干扰输入导致的跟踪误差。具体包括以下三个指标，第一，阶跃输入作用下稳态跟踪误差要小于百分之十；第二，四分之派延迟作用下，相角裕量要大于五十度；第三，阶跃输入时超调量低于百分之十。实现途径可以是比例控制，或是比例积分控制。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org382bbe3}]{Artist's depiction of the system}
\begin{center}
\includegraphics[page=668, viewport=148 432 448 608, clip,scale=0.9]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\note{这是热锭系统的示意图。机器人拾起热锭，将其置于淬火池中，视觉传感器测量热锭的实时位置，机器手抓取器的位置随导轨移动，也通过另外一个位置传感器进行测量，控制器根据热锭位置及抓取器位置的差值定位机器手到热锭的正上方，抓取热锭后沿导轨移动到淬火池上方，然后抓取器下移将热锭浸入淬火池，一定时间后提起，再沿轨道继续移动，将热锭释放到另一条传送带上。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orgfa9a422}]{Hot Ingot Robot Control with P Controller}
\begin{itemize}
\item When P control is used \(G_c(s)=K\) and ignoring the time-delay for the moment
\end{itemize}
\[L(s)=G_c(s)G(s)=\frac{K}{s^2+2s+1}\]\vspace{-1.5em}
\begin{itemize}
\item The steady-state tracking error
\end{itemize}
\[e_{ss}=\lim\limits_{s\rightarrow0}sE(s)=\frac{a}{1+K}\]\vspace{-1.5em}
\begin{itemize}
\item For the error to be less than 10\%, it is required that \(K\geq 9\).
\end{itemize}
\note{先考虑比例控制的情形，且忽略时间延迟，此时系统开环传递函数为L s。零型系统、阶跃输入条件下的稳态误差可以表示成一加K分之a，要想使稳态误差小于百分之十，要求K值不小于九。关于稳态误差计算可以参照前面四点六节和五点六节的内容。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orgcbcc634}]{}
\begin{itemize}
\item When the gain \(K\) is 9
\end{itemize}
\[L(j\omega)=G_c(j\omega)G(j\omega)=\frac{9}{1-\omega^2+2j\omega}\rightarrow \frac{9}{\sqrt{4\omega^2 + (1-\omega^2)^2}} = 1\]\vspace{-1.em}
\begin{itemize}
\item The phase margin is 38.9\(^\circ\) at \(\omega=2.83\)rad/s
\end{itemize}
\[\phi_{pm} = 180^\circ - (180^\circ - \arctan\frac{2\omega}{\omega^2 - 1}) = \arctan\frac{2\times 2.83}{2.83^2 - 1} = 38.9^\circ\]\vspace{-1.em}
\begin{itemize}
\item The time delay \(T\) causes a phase lag without changing the magnitude plot
\end{itemize}
\[\phi_{pm} = 180^\circ - (180^\circ - \arctan\frac{2\omega}{\omega^2 - 1}) - \omega T = \frac{\pi 38.9^\circ}{180^\circ} - 2.83T = 0.679 - 2.83T > 0\]\vspace{-1.em}
\begin{itemize}
\item which implies that \(T < 0.24s\),  the system is stable.
\item As \(T\) is \(\pi/4\)s, larger than 0.24s, so the system can not be stabilized by P control.
\end{itemize}

\note{当K等于九时，计算乃氏图与单位幅值圆相交点处的剪切频率，根据开环频率特性函数，列出其幅值表达式，且令其为一，略去一个不合理根，解得剪切频率为二点八三弧度每秒。再计算剪切频率处对应的相角裕量，等于剪切频率对应相角与负一百八十度的差值，也就是一百八十度与剪切频率处相角的和。注意此处开环频率特性函数相角的表达式，分母实部与虚部的和，但是实部为负，相角处于第二象限，所以分母相角可以写成一百八十度减去锐角补角的形式，又因为在分母上，所以前面加负号。代入剪切频率可以得出K等于九时的相角裕量为三十八点九度，不满足设计要求。如果考虑时间延迟，幅频特性不会改变，但相角会进一步滞后，要想使系统稳定，相角裕量要大于零，这就要求时间延迟不能超过零点二四秒，而系统要求的四分之派秒远大于系统稳定需要的零点二四秒，所以单纯使用比例控制无法使系统在达到设计要求的条件下还满足稳定条件。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org37d759a}]{Bode plot with \(K = 9\)}
\begin{center}
\includegraphics[page=671, viewport=108 48 392 264, clip,scale=0.9]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\note{这是K等于九时，不考虑延迟条件下的开环系统的波德图。可以清楚地看出，幅频曲线与零分贝线相交的二点八频率处，此即剪切频率，对的相角高于负一百八十度三十八点九度，此即相角裕量，相角无限趋近于负一百八十度而不相交，所以对应的幅值裕量为无穷大。也就是不引入延迟的条件下系统是稳定的。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org1d7b308}]{Hot Ingot Robot Control with P Controller}
\note{再看只有比例控制时的乃氏图。我们仍先不考虑时间延迟，开环不具有右极点，所以P等于零，此时的乃氏图也不包围负一点，因此N也等于零，由此计算出Z等于零，所以可以推导出闭环系统也不具有右零点，因此无延迟的比例控制是稳定的，与前面波德图的分析结论是一致的。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{itemize}
\item The Nyquist plot of the P-controlled system in the absence of time delay
\end{itemize}
\[L(s)=\frac{K}{(s+1)^2}\]\vspace{-1.em}
\begin{itemize}
\item The number of openloop poles of \(L(s)\) in the right half-plane, \(P = 0\).
\item The net number of encirclement of the -1 point, \(N = 0\)
\item The number of closed-loop poles in the tight half-plane, \(Z = N+P = 0\).
\item The delay-free system is stable when \(K = 9\).
\end{itemize}
\end{column}

\begin{column}{0.4\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=672, viewport=148 52 428 264, clip,scale=0.5]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:orge1eb6ea}]{Hot Ingot Robot Control with P Controller}
\note{如果考虑延迟，同样开环系统不具有右极点，P等于零，而加入四分之派延迟环节的乃氏图将顺时针包围负一点两圈，所以N等于二，由此可计算出Z等于二，所以可以推断出对应闭环系统有两个右极点，所以四分之派延迟，比例系数九时系统不稳定。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.55\columnwidth}
\begin{itemize}
\item In the presence of time delay, the loop transfer function becomes
\end{itemize}
\[L(s)=\frac{Ke^{-sT}}{(s+1)^2}\]
\begin{itemize}
\item The number of openloop poles of \(L(s)\) in the right half-plane, \(P = 0\).
\item The net number of encirclement of the -1 point, \(N = 2\).
\item The number of closed-loop poles in the right half-plane, \(Z=N+P=2\).
\item The system is unstable when \(K = 9\) and time-delay is \(\pi/4\)s.
\end{itemize}
\end{column}
\begin{column}{0.45\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=673, viewport=104 48 392 272, clip,scale=0.6]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org1fb670e}]{Nyquist plot with various time-delays K = 9}
\begin{center}
\includegraphics[page=674, viewport=140 360 492 608, clip,scale=0.8]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\note{事实上，在不改变比例系数的情况下，可以调节延迟时间使系统达到稳定。T等于零就是不加入延时，T为零点二四将达到边界稳定，T等零点七八，也就是系统设计目标四分之派，系统将变得不稳定。}
\end{frame}

\begin{frame}[label={sec:org37b3cef}]{Hot Ingot Robot Control with PI Controller}
\begin{columns}
\begin{column}{0.6\columnwidth}
\begin{itemize}
\item Consider the PI control
\end{itemize}
\[G_c(s)=K_p+\frac{K_l}{s}\]
\[L(s)=G_c(s)G(s)=\frac{K_Ps+K_l}{s}\frac{K}{(s+1)^2}e^{-sT}\]\vspace{-1.em}
\begin{itemize}
\item The steady-state error requirement can be easily met as the system is of type 1.
\item For \(P.O.\leq10\%\), the corresponding damping ratio \(\zeta\geq 0.59\)
\item Note that \(\zeta\) is related to the phase margin by
\end{itemize}
\[\zeta\approx\frac{P.M.}{100}\]
\begin{itemize}
\item A phase margin of 60\(^\circ\) is thus desired.
\end{itemize}
\end{column}

\begin{column}{0.4\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=329, viewport=104 48 320 232, clip,scale=0.7]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}

\note{如果使用比例积分控制器，其开环传递函数可以写成G c，该开环系统为一型系统，对阶跃输入的稳态误差为零，自然能达到系统设计要求。超调量不超过百分之十，对应阻尼比要大于零点五九。根据阻尼比与相角裕量的关系，可以得出相角裕量至少要六十度。}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orged2e5be}]{The uncompensated system}
\note{如果不使用控制器对系统进行调控，我们可以计算出延时四分之派秒时系统的相角裕量为负八十八点四五度，显然系统无法稳定。要想使系统稳定且还具有六十度的相角裕量，其相角本身应为负一百二十度，我们在波德图上找到负一百二十度相角对应的频率，为零点八七，向上反推出幅值对应为十四点五分贝。经过上述分析可知，要达到设计要求，幅值应衰减十四点五分贝，也就是让幅频曲线下移，以使其剪切频率减小到零点八七，这样才能保证相解裕量为六十度。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.45\columnwidth}
\[L(s)=\frac{9}{(s+1)^2}e^{-sT}\quad T =\pi/4\]\vspace{-1.em}

\begin{itemize}
\item Phase margin  at \(\omega_c=2.83\): \(\phi_{pm} = 38.9^\circ - 2.83\times \frac{\pi}{4} \times \frac{180^\circ}{\pi} = -88.45^\circ\)
\item The frequency is \(\omega=0.87\) when the phase is -120\(^\circ\)
\item At this frequency, the magnitude is about 14.5 dB.
\item A reduction of gain of 14.5 dB is required.
\end{itemize}
\end{column}
\begin{column}{0.55\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=676, viewport=140 364 476 608, clip,scale=0.6]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org663bcf5}]{Hot Ingot Robot Control with PI Controller}
\begin{itemize}
\item The PI controller must be designed to provide the gain reduction
\end{itemize}
\[G_c(s)=K_P+\frac{K_I}{s}=K_P\frac{s+\frac{1}{\tau}}{s} = K_I\frac{1 + \tau s}{s}\quad \tau=\frac{K_P}{K_I}\]
\vspace{-1.5em}
\begin{itemize}
\item Low pass nature
\item High gain and -90\(^\circ\) phase at low frequency
\item Place the break frequency \((1/\tau)\) below the crossover frequency so that the phase margin is not reduced significantly.
\end{itemize}
\begin{itemize}
\item To have 14.5 dB gain reduction
\end{itemize}
\[20\log K_P = -14.5 \rightarrow K_P=10^{-(14.5/20)}=0.188\]\vspace{-2em}
\begin{itemize}
\item To avoid phase margin degradation
\end{itemize}
\[1/\tau=K_I/K_P=0.1\omega_c \longrightarrow \omega_c=0.87 \ \text{and}\ K_I=0.0164\]\vspace{-2em}
\begin{itemize}
\item The PI controller is
\end{itemize}
\[G_c(s) = \frac{0.188s+0.0164}{s}\]

\note{接下来我们就看如何能使幅频特性曲线下移十四点五分贝。对控制环节进行变形，提出一个比例常数K p来，如果用K p来进行增益补偿，使原系统幅值有十四点五的减小，可以确定出K p的取值。为避免相角裕量减少太多，转角频率要尽量远离剪切频率零点八七，通常取零点一倍的剪切频率，这样可以确定出积分常数来。最后确定的比例积分控制器为G c。}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:org8a55c61}]{Hot Ingot Robot Control with PI Controller}
\begin{itemize}
\item The resulting gain margin is 5.3 dB and phase margin is 56.5\(^\circ\).
\item The P.O. is evaluated to be 4.2\%.
\end{itemize}

\note{最后我们绘制出系统的波德图，可以发现，其幅值裕量为五点三分贝，相角裕量为五十六点五度，超调量百分之四点二，满足设计要求。}
\begin{columns}
\begin{column}{0.5\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=677, viewport=108 364 436 608, clip,scale=0.5]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\begin{column}{0.5\columnwidth}
\begin{center}
\includegraphics[page=677, viewport=108 120 436 348, clip,scale=0.5]{./ModernControlSystems14th.pdf}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[label={sec:orgab5692c}]{Summary}
\begin{itemize}
\item The stability of a feedback control system can be determined in the frequency domain by utilizing Nyquist's criterion.
\item Nyquist's criterion provides the assessment of relative stability: gain margin and phase margin.
\item The correlation between frequency domain and transient response
\begin{itemize}
\item Constant M and constant N circles
\item Nichols chart
\end{itemize}
\item Time delay systems
\end{itemize}

\note{最后总结一下本章的内容。重点和难点是利用乃氏判据进行反馈控制系统频域内的稳定性判定。乃氏稳定性判据也能提供相对稳定性的评估，主要包括两个指标，幅值裕量和相角裕量。我们还讨论了频域响应及瞬态响应之间的关联性，主要通过M圆和N圆来表征，以及M圆和N圆在对数幅相图上同时显示时所形成的尼柯尔斯图。最后我们讨论了考虑延时因素的系统稳定性问题及校正途径。}
\end{frame}
\end{document}
